反比例函数一、选择题1．（2022江苏苏州，8，3分）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝(x＞0)的图象经过顶点B，则k的值为（）．A．12B．20C．24D．32【答案】D．【解析】过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据点C坐标求出OD、CD、BC的值，进而求出B点的坐标，即可求出k的值．解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D．∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4．∴OC=OD2+CD2=32+42=5．∴OC=BC=5．∴点B坐标为（8，4），∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，∴k=32．所以应选D．【方法指导】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题难度有一定难度，是一道不错的习题．【易错警示】不能综合运用菱形的性质、勾股定理、反比例函数图象的性质而出错．2．（2022浙江台州，5，4分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m2）与体积V（单位：m3）满足函数关系式（k为常数，k0），其图象如图所示，则k的值为（）OVρA（6,1.5）第5题A．9B．－9C．4D．－4【答案】：A．【解析】反比例函数经过A（6,1.5），利用待定系数法将V=6、代入解析式即可求出解析式。62\n【方法指导】本题考查待定系数法求反比例函数解析式。先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。3.（2022贵州安顺，7，3分）若是反比例函数，则a的取值为（）A．1 B．－1 C．±1 D．任意实数【答案】：A．【解析】∵此函数是反比例函数，∴，解得a=1．【方法指导】本题考查的是反比例函数的定义，先根据反比例函数的定义列出关于a的不等式组，求出a的值即可．【易错警示】解答时易把系数a+1≠0漏掉而错得a=±1．4．（2022山东临沂，13，3分）如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y＝在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是（）OxyBACA．（1，）B．（，1）C．（2，）D．（，2）【答案】：C．【方法指导】【易错警示】5．（2022山东滨州，6，3分）若点A(1，y1)、B(2，y2)都在反比例函数y=(k＞0)的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1≤y2C．y1＞y2D．y1≥y2【答案】：C．【解析】根据反比例函数的图象.由k＞0可知图象在第一象限内y随x的增大而减小；因为1＜2，所以y1＞y2．【方法指导】本题考查反比例函数的图象及性质.当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大.”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立.6.2022广东省，10，3分）已知，则函数和的图象大致是62\n【答案】A.【解析】因为，所以直线经过一、三、四象限，由此，可以排除选项B和D；又因为，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，只有选项A符合．由此确定答案只能选A．【方法指导】在同一坐标系中综合考查几种函数图象的问题比较常见，因为这类题通常涉及到地待定系数比较多，而且范围不定，如果把步骤规划好，不理清思路，就会弄糊涂．7.(2022湖南邵阳,7,3分)下列四个点中，在反比例函数y=－的图象上的是( ） A．(3，－2) B．(3，2) C．(2，3) D．(－2，－3)【答案】：A．【解析】：A、∵3×（﹣2）=﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；B、∵3×2=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、∵2×3=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵（﹣2）×（﹣3）=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选A．【方法指导】：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键.8.(湖南株洲,7,3分)已知点A（1，）、B（2，）、C（－3，）都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】：D【解析】：将A（1，）、B（2，）、C（－3，）代入得到=6,=3,=－2,则大小关系是.【方法指导】本题考查了反比例函数的图像，将值代入求出即可.9．（2022山东德州，8，3分）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是（）A、y=－x+1B、y=x2－1C、y=D、y=－x2+1【答案】B62\n【解析】A、函数y=－x+1，当x>0时，y随x的增大而减小；B、函数y=x2－1，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而增大；C、函数y=，当x>0（第－象限）时，双曲线一分支y随x的增大而减小；D、抛物线y=－x2+1，当x>0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而减小.【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质.解答本题需要了解各函数图象的增减性特点，解题时不妨画个示意图进行直观判断.10．（2022四川凉山州，12，4分）如图，正比例函数与反比例函数相交于点（，2），若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）-101A．-101B．-101C．-101D．xyOEy1y22-1（第12题图）【答案】A.【解析】先利用函数的图象可知,当时,的取值范围是x＜－1,所以其在数轴上表示为A.【方法指导】本题考查利用函数图象比较大小及在数轴上如何表示不等式的解集的问题.利用图象比较大小时,图象在上方的函图值大,函数图象的交点即为函数值相等,函数图象在下方的函数值小.在数轴上表示不等式的解集是,一般有等号时有实数点表示,没有等号是圆表示.11．（2022江西，4，3分）如图，直线y=x+a－2与双曲线y=交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（）．A．0B．1C．2D．562\n【答案】C【解析】把原点（0，0）代入中，得.选C..【方法指导】要求a的值，必须知道x、y的值（即一点的坐标）由图形的对称性可直观判断出直线AB过原点（0，0）时，线段AB才最小，把原点的坐标代入解析式中即可求出a的值.12．（2022兰州，5，3分）当x＞0时，函数的图象在（ ） A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限考点：反比例函数的性质．分析：先根据反比例函数的性质判断出反比例函数的图象所在的象限，再求出x＞0时，函数的图象所在的象限即可．解答：解：∵反比例函数中，k=﹣5＜0，∴此函数的图象位于二、四象限，∵x＞0，∴当x＞0时函数的图象位于第四象限．故选A点评：本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限． 13．（2022兰州，11，3分）已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ） A．m＜0B．m＞0C．m＞﹣D．m＜﹣考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．62\n分析：将A（﹣1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y=，求出y1与y2的表达式，再根据y1＞y2则列不等式即可解答．解答：解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y=得，y1=﹣2m﹣3，y2=，∵y1＞y2，∴﹣2m﹣3＞，解得m＜﹣，故选D．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，反比例函数图象上的点符合函数解析式． 14．（2022贵州安顺，7，3分）若是反比例函数，则a的取值为（ ） A．1B．﹣lC．±lD．任意实数考点：反比例函数的定义．专题：探究型．分析：先根据反比例函数的定义列出关于a的不等式组，求出a的值即可．解答：解：∵此函数是反比例函数，∴，解得a=1．故选A．点评：本题考查的是反比例函数的定义，即形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数． 15．（2022贵州毕节，13，3分）一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ） A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＞0C．k＜0，b＜0D．k＞0，b＜062\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：本题需先判断出一次函数y=kx+b与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可．解答：解：∵一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限，∴k＜0，b＜0又∵反比例函数的图象经过二、四象限，∴k＜0．综上所述，k＜0，b＜0．故选C．点评：本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意图象在哪个象限内，是解题的关键．16．（2022湖北孝感，11，3分）如图，函数y=﹣x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（ ） A．2B．4C．6D．8考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．解答：解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC=S△ODB=|k|=2，又∵OC=OD，AC=BD，∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2，∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8．故选D．点评：本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．62\n17．（2022湖北宜昌，11，3分）如图，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（ ） A．1B．2C．3D．4考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．解答：解：∵点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，∴故矩形OABC的面积S=|k|=2．故选B．点评：主要考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．18..[2022湖南邵阳，7，3分]下列四个点中，在反比例函数y=-的图象上的是( ） A．(3，-2) B．(3，2) C．(2，3) D．(-2，-3)知识考点：反比例函数图象上的点的坐标.审题要津：此题可将y=-转换为6=-xy即可解答.满分解答：解：A.∵3×（-2）=-6，∴此点在反比例函数图象上；B.∵3×2=6，∴此点不在反比例函数图象上；C.∵2×3=6，∴此点不在反比例函数图象上；D.∵（-2）×（-3）=6，∴此点不在反比例函数图象上.故选A.名师点评：解决此题还应熟练掌握反比函数解析式的三种形式的转换：y=y=kxk=xy(k≠0，k为常数).19.．（2022湖南张家界，13，3分）如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是 ．62\n考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：先分别求出A、B两点的坐标，得到AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出△PAB的面积．解答：解：∵把x=2分别代入、，得y=1、y=﹣．∴A（2，1），B（2，﹣），∴AB=1﹣（﹣）=．∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线BC的距离为2，∴△PAB的面积=AB×2=AB=．故答案是：．点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，求出AB的长度是解答本题的关键，难度一般．20..（2022江苏南京，5，2分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y=的图像没有公共点，则(A)k1+k2<0(B)k1+k2>0(C)k1k2<0(D)k1k2>0答案：C解析：当k1>0，k2<0时，正比函数经过一、三象限，反比函数在二、四象限，没有交点；当k1＜0，k2＞0时，正比函数经过二、四象限，反比函数在一、三象限，没有交点；所以，选C。21．（2022·潍坊，6，3分）设点和是反比例函数图象上的两个点，当＜＜时，＜，则一次函数的图象不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A考点：反比例函数的性质与一次函数的位置．点评：由反比例函数y随x增大而增大，可知k＜0，而一次函数在k＜0，b＜0时，经过二三四象限，从而可得答案．22.（2022•衢州3分）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞062\n【答案】A．【解析】∵函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2，【方法指导】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．23．2022•绍兴4分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ） A．7：20B．7：30C．7：45D．7：50【答案】A．【解析】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟，设一次函数关系式为：y=k1x+b，将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；设反比例函数关系式为：y=，将（7，100）代入y=得k=700，∴y=，将y=30代入y=，解得x=；∴y=（7≤x≤），令y=50，解得x=14．所以，饮水机的一个循环周期为分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．逐一分析如下：选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤时间段内，故可行；62\n选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行．综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．【方法指导】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错24.（2022四川乐山，10，3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，，则k的值为【】A．－3 B．－6 C．－4 D．62\n25.（2022四川内江，11，3分）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ） A．1B．2C．3D．4考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：数形结合．分析：本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．解答：解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，解得：k=3．故选C．62\n点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．26.（2022四川遂宁，5，4分）．已知反比例函数y=的图象经过点（2，﹣2），则k的值为（ ） A．4B．﹣C．﹣4D．﹣2考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：把点（2，﹣2）代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．解答：解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，﹣2），∴k=xy=2×（﹣2）=﹣4．故选C．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．27．（2022贵州省六盘水，10，3分）下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ） A．B．C．D．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可．解答：解：A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3，B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：3，C、根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出：阴影部分面积为：（1+3）=2，D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：×2×6=6，阴影部分面积最大的是6．故选：D．62\n点评：此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法等知识，将图形正确分割得出阴影部分面积是解题关键．28．（2022贵州省黔东南州，10，4分）如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（ ） A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）考点：反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化-旋转．专题：计算题．分析：联立直线与反比例解析式，求出交点A的坐标，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，利用图形及A的坐标即可得到点A′的坐标．解答：解：联立直线与反比例解析式得：，消去y得到：x2=1，解得：x=1或﹣1，∴y=2或﹣2，∴A（1，2），即AB=2，OB=1，根据题意画出相应的图形，如图所示，可得A′B′=A′′B′′=AB=2，OB′=OB′′=OB=1，根据图形得：点A′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选D．62\n点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形变化﹣旋转，作出相应的图形是解本题的关键． 29．（2022河北省，10，3分）反比例函数y＝的图象如图3所示，以下结论：①常数m＜－1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上.其中正确的是A．①②B．②③C．③④D．①④答案：C解析：因为函数图象在一、三象限，故有m＞0，①错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；对于③，将A、B坐标代入，得：h＝－m，k＝，因为m＞0，所以，h＜k，正确；函数图象关于原点对称，故④正确，选C。30．（2022黑龙江省哈尔滨市，6）反比例函数的图象经过点(-2，3)，则k的值为()．(A)6(B)-6(C)(D)考点：反比例函数的图象上的点的坐标．分析：点在曲线上，则点的坐标满足曲线解析式，反之亦然解答：反比例函数的图象经过点(-2，3)，表明在解析式，当x＝-2时，y＝3，所以1-2k＝xy＝3×(－2)＝－6．,解得k=故选C二、填空题1.（2022湖北黄冈，12，3分）已知反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO＝AB，则S△AOB＝．62\n【答案】6．【解析】如下图，过点A作AC⊥OB于点C，∵AO＝AB，∴OC＝BC．而AC＝AC，AO＝AB，∴△AOC≌△ABC．∴S△AOC＝S△ABC．设点A的坐标为(x，y)(x＞0，y＞0)，则xy＝6，AC＝y，OC＝x，∴S△AOB＝2S△AOC＝2××OC·AC＝xy＝6．C【方法指导】本题考查等腰三角形的性质和反比例函数，体现了数形结合的思想．其中，理解反比例函数的系数k的几何意义是求解关键．对于任意反比例函数y＝(k≠0)而言，从其图象上的任意一点向坐标轴作垂线，它们与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，而将此点与坐标原点连接起来，则它分矩形所得Rt△的面积等于|k|．2．（2022江苏扬州，11，3分）在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强与它的体积V成反比例．当V=200时，=50；则当=25时，V=．【答案】400．【解析】首先利用待定系数法求得V与P的函数关系式，然后代入P求得V值即可．解：∵在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，∴设P=．∵当V=200时，p=50，∴k=VP=200×50=10000，∴P=．当P=25时，得V===400．所以应填400．【方法指导】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求得反比例函数的解析式．【易错警示】不能由题意正确判断函数类型，或不理解条件与函数解析式的关系，从而得不出正确答案．3．（2022四川宜宾，16，3分）如图，直线与双曲线交于点A，将直线向右平移个单位后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则k= ．62\n【答案】12．【解析】首先求出平移后直线的解析式，然后直线与双曲线两解析式联立方程组求出点A的纵坐标，平移后的直线解析式－6与双曲线两解析式联立方程组，求出点B的纵坐标，根据相似三角形对应边成比例的性质可得A、B的纵坐标的比等于AO：BC，然后列出方程求解即可．【方法指导】本题考查了（1）直线解析式的求法，平移直线其解析式中的k的值不变；（2）相似三角形的性质；（3）函数图象交点坐标的求法.函数图象的交点坐标是两个函数图象的解析式组成的方程组的解.4.（2022四川泸州，16，4分）如图，，，……在函数的图像上，，，，……都是等腰直角三角形，斜边、、，……都在轴上（n是大于或等于2的正整数），则点的坐标是；点的坐标是（用含n的式子表示）．【答案】；【解析】过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，根据△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标．【方法指导】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律，难度较大．5.（2022重庆市(A)，18，4分）如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，OA＝2，∠AOC＝60°，点D在边AB上，将四边形ODBC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的点B′和点C′处，且∠C′DB′＝60°．若某反比例函数的图象经过点B′，则这个反比例函数的解析式为．62\nOABCxy【答案】y＝－．【解析】连接AC，∵四边形OABC是菱形，∴CB＝AB，∠CBA＝∠AOC＝60°．∴△BAC是等边三角形．∴BC＝BA．现将四边形OABC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，∴BD＝B′D，BC＝B′C′，∠DB′C′＝∠ABC＝60°．∵∠B′DC′＝60°，∴∠DC′B′＝60°．∴△DC′B′是等边三角形．∴B′C′＝B′D．∴BD＝B′C′＝BC＝BA，从而知道A和D重合．∴四边形OABC与四边形OAB′C′关于x轴对称．∴B，B′两点关于x轴对称．过点B作BE⊥x轴于点E，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝OC＝2，∠BDE＝∠AOC＝60°．∴AE＝AB·cos60°＝1，BE＝AE·tan60°＝，则OE＝OA＋AE＝3．∴点B的坐标为（3，），那么点B′的坐标为（3，－）．设经过点B′反比例函数的解析式是y＝，则有－＝，k＝－．故答案为y＝－．OABCxyB′C′DE【方法指导】本题考查轴对称的性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形．由于几何图形具有直观性，根据题目提供的是一个内角为60°，120°，60°，120°的菱形，凭实践操作可以感知到点A与点D重合，据此印象结合填空题型，不证明A，D两点重合，直接拿来使用也可获得正确答案．但如果将此题改造成解答题，那么如何证明点D与点A重合就成为一个难点．6．（2022山东德州，16，4分）函数y=与y=x－2图象交点的横坐标分别为a,b,则的值为。【答案】－2.62\n【解析】∵函数y=与y=x－2图象相交，∴，解得.由于交点的横坐标分别为a,b，∴ab==－1，a+b==2.=.故填－2.【方法指导】本题考查一次函数与反比例函数交点坐标计算与求代数式值.两函数图象相交，其实几个交点的横坐标值就是两函数表达式联立成方程组的解（自变量x值）.7．（2022山东日照，15，4分）如右图，直线AB交双曲线于Ａ、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA.若OM=2MC,S⊿OAC=12.则k的值为___________.【答案】8【解析】过点A作AD⊥x轴于点D,则△ADO的面积为k,∵BM⊥x轴,∴AD∥BM,∵B为线段AC的中点，∴BM为△ADC的中位线，∴DM=MC,∵OM=2MC,∴OD=DM=MC.∴S⊿OAC=3S⊿OAD,=12=，∴k=8.【方法指导】本题考查反比例函数的性质。利用反比例函数中k的几何意义找到关于k的方程，从而结出k的值。8．（2022广东湛江，15，4分）若反比例函数的图像经过点A(1，2)，则k=．【答案】2.【解析】把（1，2）代入，得k=2.【方法指导】求反比例函数的解析有以下两种方法：1.反比例函数中只有一个待定系数，只要有一个独立的条件就可以求出，于是经常利用函数图形上的一个已知点，代入计算即可。有时这个点需要我们通过计算才能求得，中考中在填空题和选择题的最后一题常考这类难题。2.利用反比例函数的几何意义，知晓对应的三角形或矩形的面积就可以求出，即过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两坐标轴围成的矩形的面积为62\n．利用这个方法得注意k的正负。9．(2022四川成都，23，4分)若关于t的不等式组恰有三个整数解，则关于x的一次函数y＝x－a的图象与反比例函数y＝的图象的公共点的个数为______．【答案】0或1．【解析】解不等式组得a≤t≤．∵原不等式组恰有三个整数解，即－1，0，1，∴－2＜a≤－1．一次函数y＝x－a的图象与反比例函数y＝的图象的交点坐标即是方程组的解．消去方程组中的y得，x－a＝．即x2－4ax－4(3a＋2)＝0．其判别式△＝(－4a)2＋16(3a＋2)＝16(a2＋3a＋2)＝16(a＋1)(a＋2)．当－2＜a≤－1时，(a＋1)(a＋2)≤0，即△≤0．∴两个图象的公共点的个数为0或1．【方法指导】此题有一定的综合性，解答时涉及的知识点有：不等式组的解及解不等式组、函数的图象、一元二次方程根的判别式等．10．（2022湖南永州，14，3分）如图，两个反比例函数在第一象限内的图象分别是，设点P在上，PA⊥x轴于点A，交于点B，则△POB的面积为 ．【答案】1.【解析出】根据反比例函数中k的几何意义，得△POA和△BOA的面积分别为2和1，于是阴影部分的面积为1.【方法指导】反比例函数中k的几何意义如图，点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，62\n设点P的坐标为（x，y），则PA＝，PB＝。＝PMPN＝＝∵，∴，∴＝即过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两坐标轴围成的矩形的面积为．利用这个结论解题会很迅速11．（2022贵州毕节，20，5分）一次函数y=kx+1的图象经过（1，2），则反比例函数的图象经过点（2， ）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．分析：把点（1，2）代入一次函数解析式求得k的值．然后利用反比例函数图象上点的坐标特征来填空．解答：解：∵一次函数y=kx+1的图象经过（1，2），∴2=k+1，解得，k=1．则反比例函数解析式为y=，∴当x=2时，y=．故答案是：．点评：本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．12.．（2022湖南娄底，13，4分）如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为 6 ．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．解答：解：根据题意可知：S△ABO=|k|=3，由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=6．62\n故答案为：6．点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．13．（2022•徐州，15，3分）反比例函数y＝的图象经过点（1，－2），则k的值为 ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：把点的坐标代入函数解析式进行计算即可得解．解答：解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，－2），∴＝－2，解得k＝－2．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入计算即可，比较简单．14.（2022•宁波3分）已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为 ．【答案】．y=﹣【解析】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即﹣y=，∴y=﹣故答案为：y=﹣【方法指导】本题考查了反比例函数图象的对称性，是识记的内容15.2022浙江丽水4分如图，点P是反比例函数图象上的点，PA垂直轴于点A（－1，0），点C的坐标为（1，0），PC交轴于点B，连结AB，已知AB=（1）的值是__________；（2）若M（，）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA<∠ABC,则的取值范围是__________62\n62\n62\n16.（2022•宁波3分）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 ．【答案】．（，）．【解析】如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=262\n，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），∴C（a，0），B（a，2），A（2﹣a，0），∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．又∵△BDE∽△BCA，∴∠BDE=∠BCA=90°，∴直线y=x与直线DE垂直，∴点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3．又∵点D在直线AB上，∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0，解得，a=，∴点E的坐标是（，）．【方法指导】本题综合考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意双曲线的对称性的应用．17.2022•绍兴5分）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是 【答案】．2或﹣2【解析】如图所示：∵点A与双曲线y=上的点B重合，点B的纵坐标是1，∴点B的横坐标是，∴OB==2，∵A点可能在x轴的正半轴也可能在负半轴，∴A点坐标为：（2，0），（﹣2，0）．故答案为：2或﹣2．62\n【方法指导】此题主要考查了勾股定理以及反比例函数的性质等知识，根据已知得出BO的长是解题关键．18.（2022陕西，15，3分）如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交，那么值为.考点：正比例函数与反比例函数的交点的对称性的考查。解析：因为A，B在反比例函数上，所以，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此中有，所以19.（2022山西，16，3分）如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线y=x-1经过点C交x轴于点E，双曲线经过点D，则k的值为________.【答案】1【解析】显然C点的纵坐标为1，将y=1代入，直线方程y=x-1，得x=4，即OB=4，又AB=3，所以，OA=1，所以D点坐标为(1,1)，代入双曲线方程，可得k=1。20．（2022山西，1，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上21．（2022湖北省鄂州市，14，3分）已知正比例函数y=﹣4x与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（x，4），则点B的坐标为 （1，﹣4） ．62\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：首先求出A点坐标，进而将两函数联立得出B点坐标即可．解答：解：∵正比例函数y=﹣4x与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（x，4），∴4=﹣4x，解得：x=﹣1，∴xy=k=﹣4，∴y=，则﹣=﹣4x，解得：x1=1，x2=1，当x=1时，y=﹣4，∴点B的坐标为：（1，﹣4）．故答案为：（1，﹣4）．点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据已知得出A点坐标是解题关键．三、解答题1.（2022贵州安顺，22，10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（2，n），连结BO，若.（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积.【思路分析】（1）先由A（﹣2，0），得OA=2，点B（2，n），S△AOB=4，得OA•n=4，n=4，则点B的坐标是（2，4），把点B（2，4）代入反比例函数的解析式为y=62\n，可得反比例函数的解析式为：y=；再把A（﹣2，0）、B（2，4）代入直线AB的解析式为y=kx+b可得直线AB的解析式为y=x+2．（2）把x=0代入直线AB的解析式y=x+2得y=2，即OC=2，可得S△OCB=OC×2=×2×2=2．【解】（1）由A(－2，0)，得OA=2.∵点B（2，n）在第一象限内，.∴OA×n=4，∴n=4.∴点B的坐标为（2，4）………………（2分）设反比例函数的解析式为y=(a≠0)将点B的坐标代入，得4=，∴a=8.∴反比例函数的解析式为y=………………（4分）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)将点A、B的坐标分别代入，得解得∴直线AB的解析式为y=x+2.………………（6分）(2)在y=x+2中，；令x=0，得y=2.∴点C的坐标是（0,2），∴OC=2.∴.………………（10分）【方法指导】本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．2．（2022湖南益阳，16，8分）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图5是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？（2）求k的值；（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？x(时)y(℃)18212O图5ABC【思路分析】（1）A、B两点横坐标的差即为恒温系统在这天保持大棚内温度18℃62\n的时间；（2）因为B点在，所以把B点坐标代入即可以求出k的值；（3）把x=16代入以上求得的反比例函数中，求出y的值即可。【答案】：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时．（2）∵点(12，18)在双曲线上，∴，∴.（3）当x=16时，， 所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．【方法指导】这是一道关于反比例函数的简单的图象信息题，解这类问题既要能根据图象信息理解其实际意义，又要能根据实际问题想象出其图象的特点。另外，还要关注一些特殊点的位置和坐标以及待定系数法运用等。3．（2022广东广州，23，12分）如图11，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2,2），反比例函数（x＞0，k≠0）的图像经过线段BC的中点D.（1）求k的值；（2）若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R,作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围.【思路分析】对于（1），根据题中已知条件求出D的坐标，进而求出k的值；对于（2），需要先分别画出图形，将根据题中的条件求得解析式．【解】（1）依题意知点B的坐标为（2,2），得CB的长为2，且D点纵坐标为2，又因为D为BC的中点，∴D点的坐标为（1,2），代入y＝解得k＝2．（2）分点P在点D的下方和上方，即x＞1和0＜x＜1两种情况讨论；（ⅰ）如答案图1，依题意得，点P的坐标为（x，），所以PR=x，PQ=2－，所以，S=PR·PQ=x（2－）=2x－2.62\n（ⅱ）如答案图2，依题意得，点P的坐标为（x，），所以PR=x，PQ=－2，所以，S=PR·PQ=x（－2）=2－2x，综上，∴PC＝2，∴P1（－1,0），P2（3,0）．S△PAB＝×PC×4＝4，【方法指导】反比例函数与矩形或正方形综合的问题，一般都要根据矩形或正方形的性质求出相应点的坐标，然后以反比例函数为纽带进行计算和转化从而解决各个问题．4．（2022山东德州,21,10分）某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3。（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式。并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？【思路分析】本题考查了图反比例函数、分式方程的应用.（1）结合实际构建符合题意的反比例函数关系式；（2）根据实际比原计划工作的时间差为等量关系列分式方程.【解】（1）由题意得，y=把y=120代入y=，得x=3；把y=180代入y=，得x=2；所以自变量x的取值范围是2≤x≤3.∴y=.(2≤x≤3)(2)设原计划平均每天运送土石方x米3,则实际平均每天运送土石方（x+0.5）米3,由题意得，－=24方程两边同乘以x(x+0.5)得，360（x+0.5）－360x=24x(x+0.5)化简得，x2+0.5x－7.5=062\n解得，x1=2.5,x2=－3，经检验，x1=2.5,x2=－3均为原方程的根，但x2=－3不符合实际意义，故舍去。又2≤x≤3，所以x1=2.5满足条件，即原计划平均每天运送土石方2.5米3,实际平均每天运送土石方3米3【方法指导】构建函数模型、方程模型解决实际问题是中考的热点.本题中构建反比例模型时，注意自变量取值范围，符合实际问题的合理性；（2）问中构建分式方程模型解决实际问题，需要进行“双重”检验：检验是否有增根，根的合理性.5．（2022山东菏泽，17，14分）（每题7分）（1）已知m方程的一个实数根，求代数式的值.【思路分析】根据方程的解为m，的值，－2=0两边同时除以m可以得出可得的值.【解】（1）解法一：∵m方程的一个实数根∴∴，……………………3分∴原式=……………………5分……………………6分……………………7分解法二：解方程得：即：……………………4分当时，把代入当时，把代入……………………6分即：代数式的值为4.……………………7分【方法指导】本题考查了一元二次方程的解与求代数式的值.借助一元二次方程的解及其等式性质变形，巧妙运用整体代入发求出代数式的值.当然可以直接求出一元二次方程的解M的值，再代入计算.（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B两点·62\n①根据图像求k的值;xyOAB（第17题）-1②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标.【思路分析】①根据A点的横坐标代入函数求出其纵坐标，然后将得出的A点坐标代入函数求出k值.（2）可以考虑AB是直角边、斜边进行分析.【解】①把代入得，故∵反比例函数图象过点A·∴………………………………………………………………………………3分②点P所有可能的坐标.、、、.……………………7分【方法指导】本题考查了一次函数与反比例函数本题考查图象与性质.一次函数与反比例函数交点坐标满足两个函数的数学表达式，可以根据一个交点的坐标求出另一交点坐标或某函数的K值.【易错提示】②问属存在型问题探究，一定要分类讨论，做到不重不漏.6．(2022四川成都，19，10分)如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2)．(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)结合图象直接比较：当x＞0时，y1与y2的大小．xyAO第19题图【思路分析】(1)将点A的坐标代入一次函数的解析式求出m的值，再将点A的坐标代入反比例函数的解析式求出k的值．(2)在y轴右边比较两个函数值的大小．【解】(1)将点A(m，2)的坐标代入一次函数y1＝x＋1得2＝m＋1，解得m＝1．即点A的坐标为(1，2)．将点A(1，2)的坐标代入反比例函数y2＝得2＝．即k＝2．∴反比例函数的表达式为y2＝．(2)当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＝1时，y1＝y2；当x＞1时，y1＞y2．【方法指导】62\n函数图象的交点是比较两个函数值大小的关键点．此题中，易知两图象的另一个交点是(－2，－1)．于是可知在y轴左边，当－2＜x＜0时，y1＞y2；当x＝－2时，y1＝y2；当x＜－2时，y1＜y2．7.(2022山东烟台，21,7分)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合．A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4，2)．直线交AB,BC分别于点M,N,反比例函数的图像经过点M，N.（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P坐表标．【思路分析】本题以矩形为载体，考查了矩形的性质、面积、反比例函数中k的几何意义、待定系数法、一次函数、三角形面积以及分类讨论思想，属于综合题.1.现根据矩形的性质可以得出点M的纵坐标，再把此纵坐标代入一次函数解析式中，可求出点M的坐标，再运用待定系数法，即可求出反比例函数的解析式.2.利用S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△NOC即可确定出点P的坐标.注意分类思想方法的运用.【解】(1)由题意，得OA=BC=2．将y=2代入，，解得x=2,∴M(2,2)．∵反比例函数的图像经过点M(2,2)，∴∴k=4.∴反比函数解析式为，由题意，得∴点P的坐标为（0,4）或（0，－4）62\n【方法指导】1.初中阶段，求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数点的坐标，最后代入求解．2.要解好此题，除了熟练应用矩形、三角形面积公式以外，还要全面地分析问题，运用分类讨论思想从两个不同侧面分析点P的位置．3.注意把不规则图形的面积转化成规则的图形面积8.（2022四川泸州，23，9分）如图，已知函数与反比例函数的图象交于点A．将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点B，与轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若，求反比例函数的解析式．【答案】解：（1）向下平移6个单位，得，设点C的坐标为（，0），∴，，∴点C的坐标为（，0）；（2）设点A的坐标（，），点B的坐标（，），若，则，即…………①∵点A、B在上，∴，∴即，…………②把①代入②得：，∴，解得（舍去），或，∴，即点B（6，2），，∴反比例函数的解析式为．【解析】（1）根据一次函数图象的平移问题，由y＝62\nx的图象向下平移6个单位得到直线BC的解析式为y＝x－6，然后把y＝0代入，确定C点坐标；（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，易证得Rt△OAE∽△RtCBF，则OA∶BC＝AE∶BF＝OE∶CF＝2．若设点A（a，a），则CF＝a，BF＝a，得到点B（+a，a），然后根据反比例函数上点的坐标特征得a•a＝（+a）•a，解得a＝3，于是可确定点A为（3，4），再利用待定系数法确定反比例函数的解析式．【方法指导】重点考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的平移问题．9．（2022江西，19，8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(x>0)的图象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6)．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．【思路分析】先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B、C、D三点的坐标，再从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上（这是种合情推理，不必证明），把A、C两点坐标代入y=中，得到关于a、k的方程组从而求得k的值．[解]（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）如图，矩形ABCD平移后得到矩形A′B′C′D′，设平移距离为a，则A′（2，6－a），C′（6，4－a）∵点A′，点C′在y=的图象上，∴2(6－a)=6(4－a)，解得a=3，∴点A′（2，3），∴反比例函数的解析式为y=．【方法指导】把线段的长转化为点的坐标，在求k的值的时候，由于k的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6－a)=6(4－a)，求出a后再由坐标求k62\n，实际上也可把A、C两点坐标代入y=中，得到关于a、k的方程组从而直接求得k的值.10．（2022白银，23，10分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A，且点A的纵坐标为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）一次函数是完整的函数，把点A的纵坐标代入即可求得M的坐标；然后把A的坐标代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据交点A的坐标，即可得到当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．解答：解：（1）点A在y=x﹣2上，∴1=x﹣2，解得x=6，把（6，1）代入得m=6×1=6．∴y=；（2）由图象得，当x＞6时，一次函数的值大于反比例函数的值．点评：本题考查用待定系数法求函数解析式；注意：无论是求自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；同时要注意反比例函数的自变量不能取0．11．（2022兰州，25，10分）已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．62\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y1=，再求出B的坐标是（﹣2，﹣2），利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围x＜﹣2或0＜x＜1．（3）根据坐标与线段的转换可得出：AC、BD的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．解答：解：（1）∵函数y1=的图象过点A（1，4），即4=，∴k=4，即y1=，又∵点B（m，﹣2）在y1=上，∴m=﹣2，∴B（﹣2，﹣2），又∵一次函数y2=ax+b过A、B两点，即，解之得．∴y2=2x+2．综上可得y1=，y2=2x+2．（2）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方，∴x＜﹣2或0＜x＜1．（3）62\n由图形及题意可得：AC=8，BD=3，∴△ABC的面积S△ABC=AC×BD=×8×3=12．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．以及三角形面积的求法，这里体现了数形结合的思想． 12（2022年佛山市，21，8分）已知正比例函数y=ax与反比例函数的图象有一个公共点A（1，2）．（1）求这两个函数的表达式；（2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．分析：（1）分别把A点坐标代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出a与b的值，从而确定两函数解析式；（2）先画出y=和y=2x的图象，根据对称性得到两函数的另一个交点B与点A关于原点对称，则B点坐标为（﹣1，﹣2），然后观察图象得到当﹣1＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即正比例函数值大于反比例函数值．解：（1）把A（1，2）代入y=ax得a=2，所以正比例函数解析式为y=2x；把A（1，2）代入y=得b=1×2=2，所以反比例函数解析式为y=；（2）如图，当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值．62\n点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．13．（2022广东珠海，19，7分）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y=的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．（1）求点M的坐标；（2）求直线AB的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．3481324专题：计算题．分析：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，根据M为AB的中点，MC∥OB，MD∥OA，利用平行线分线段成比例得到点C和点D分别为OA与OB的中点，从而得到MC=MD，设出点M的坐标代入反比例函数解析式中，求出a的值即可得到点M的坐标；（2）根据（1）中求出的点M的坐标得到MC与MD的长，从而求出OA与OB的长，得到点A与点B的坐标，设出一次函数的解析式，把点A与点B的坐标分别代入解析式中求出k与b的值，确定出直线AB的表达式．解答：解：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，∵AM=BM，∴点M为AB的中点，∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，∴MC∥OB，MD∥OA，∴点C和点D分别为OA与OB的中点，∴MC=MD，62\n则点M的坐标可以表示为（﹣a，a），把M（﹣a，a）代入函数y=中，解得a=2，则点M的坐标为（﹣2，2）；（2）∵则点M的坐标为（﹣2，2），∴MC=2，MD=2，∴OA=OB=2MC=4，∴A（﹣4，0），B（0，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（﹣4，0）和B（0，4）分别代入y=kx+b中得，解得：．则直线AB的解析式为y=x+4．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例，以及中位线定理，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．14．（2022广西钦州，23，7分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D．（1）求这两个函数的解析式：（2）求△ADC的面积．62\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和m的值，从而知A点坐标，进而求一次函数解析式；（2）先求出直线AB与与x轴的交点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．解答：解：（1）∵反比例函数y=的图象过B（4，﹣2）点，∴k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数的解析式为y=﹣；∵反比例函数y=的图象过点A（﹣2，m），∴m=﹣=4，即A（﹣2，4）．∵一次函数y=ax+b的图象过A（﹣2，4），B（4，﹣2）两点，∴，解得∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）∵直线AB：y=﹣x+2交x轴于点C，∴C（2，0）．∵AD⊥x轴于D，A（﹣2，4），∴CD=2﹣（﹣2）=4，AD=4，∴S△ADC=•CD•AD=×4×4=8．点评：本题主要考查对一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 15．（2022贵州安顺，20，10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB=4．62\n（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；待定系数法．分析：（1）先由A（﹣2，0），得OA=2，点B（2，n），S△AOB=4，得OA•n=4，n=4，则点B的坐标是（2，4），把点B（2，4）代入反比例函数的解析式为y=，可得反比例函数的解析式为：y=；再把A（﹣2，0）、B（2，4）代入直线AB的解析式为y=kx+b可得直线AB的解析式为y=x+2．（2）把x=0代入直线AB的解析式y=x+2得y=2，即OC=2，可得S△OCB=OC×2=×2×2=2．解答：解：（1）由A（﹣2，0），得OA=2；∵点B（2，n）在第一象限内，S△AOB=4，∴OA•n=4；∴n=4；∴点B的坐标是（2，4）；设该反比例函数的解析式为y=（a≠0），将点B的坐标代入，得4=，∴a=8；∴反比例函数的解析式为：y=；设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A，B的坐标分别代入，得，解得；∴直线AB的解析式为y=x+2；（2）在y=x+2中，令x=0，得y=2．∴点C的坐标是（0，2），62\n∴OC=2；∴S△OCB=OC×2=×2×2=2．点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．此题有点难度． 16．（2022湖南郴州，20，6分）已知：如图，一次函数的图象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A，B两点，其中A（1，a），求这个一次函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：把A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a，求得A点坐标，然后再把A、C点的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数的解析式．解答：解：∵A（1，a）在y=的图象上，∴a=2，∴A（1，2）．又∵C（0，3）在一次函数的图象，设一次函数的解析式为y=kx+b，则解得：k=﹣1，b=3，故一次函数的解析式为y=﹣x+3．点评：考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本类题目的解决需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式． 17．（2022·聊城，23，?分）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝的图象在第二象限交与点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．（1）求点C的坐标；（2）求一次函数的解析式．62\n考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：探究型．分析：（1）先根据点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上，得出点C的横坐标为－2，再将x＝－2代入y＝，求出y＝4，即可得到点C的坐标；（2）设一次函数的解析式y＝kx＋b，将点A．点C的坐标代入，运用待定系数法即可求出一次函数的解析式．解答：解：∵点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上，∴点A与点C的横坐标互为相反数，即点C的横坐标为－2，∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴y＝－＝4，∴点C的坐标为（－2，4）（2）设一次函数的解析式y＝kx＋b．∵点A（2，0），点C（－2，4）在直线y＝kx＋b上，∴，解得．∴一次函数的解析式y＝－x＋2．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法确定函数的解析式，这是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 18．（2022·泰安，25，?分）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax＋b的图象经过点C，一次函数y＝ax＋b的图象经过点A，（1）求反比例函数与一次函数的解析式；62\n（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，－3），再将C点坐标代入反比例函数y＝中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数y＝ax＋b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；（2）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y＝－，即可求出P点的坐标．解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），∴AB＝5，∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（5，－3）．∵反比例函数y＝的图象经过点C，∴－3＝，解得k＝－15，∴反比例函数的解析式为y＝－；∵一次函数y＝ax＋b的图象经过点A，C，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝－x＋2；（2）设P点的坐标为（x，y）．∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×OA•|x|＝52，∴×2|x|＝25，解得x＝±25．当x＝25时，y＝－＝－；当x＝－25时，y＝－＝．∴P点的坐标为（25，－）或（－25，）．62\n点评：本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键． 19．（2022·鞍山，24，6分）如图所示，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA＝OB＝OD＝1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；数形结合．分析：（1）根据OA＝OB＝OD＝1和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标；（2）将A、B两点坐标分别代入y＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C点在一次函数的图象上可确定C点坐标，将C点坐标代入y＝可确定反比例函数的解析式．解答：解：（1）∵OA＝OB＝OD＝1，∴点A、B、D的坐标分别为A（－1，0），B（0，1），D（1，0）；（2）∵点A、B在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1．∵点C在一次函数y＝x+1的图象上，且CD⊥x轴，∴点C的坐标为（1，2），又∵点C在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，∴m＝2；∴反比例函数的解析式为y＝．点评：本题主要考查用待定系数法求函数解析式，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式． 20（2022•东营，21，9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段OA62\n＝5，C为x轴正半轴上一点，且sin∠AOC＝．x（第21题图）BAOyC（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．分析：（1）过点A作轴，在中，由，OA=5，可得AD=4，由勾股定理得OD=3，故可得点A的坐标为（3，4），把（3，4）分别代入，与中可求得m，n的值．（2）根据直线与x轴的交点可求点B的坐标，故OB可得，所以．解：(1)过A点作AD⊥x轴于点D，x（第21题图）BAOyCD∵sin∠AOC＝＝，OA＝5∴AD＝4．由勾股定理得：DO=3，∵点A在第一象限∴点A的坐标为(3，4)………………2分将A的坐标为(3，4)代入y＝，得，∴m＝1262\n∴该反比例函数的解析式为………………4分将A的坐标为(3，4)代入得：∴一次函数的解析式是…………………………6分(2)在中，令y＝0，即x＋2=0，∴x=∴点B的坐标是∴OB＝3，又DA=4∴，所以△AOB的面积为6．………9分点拨：用待定系数法求函数解析式时，正确求出函数图象上点的坐标是解题的关键．21（2022·济宁，21，?分）阅读材料：若a，b都是非负实数，则a＋b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a－＋b≥0．∴a＋b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y=2x＋的最小值．解：y=2x＋≥=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（＋）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．考点：反比例函数的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度．62\n解答：解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（＋）升．∴y=x×（＋）=（70≤x≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x=90∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x=90时百公里耗油量为100×（＋）≈11.1升，点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料． 22（2022•新疆8分）如图，已知一次函数y1=kx+b与反比例函数的图象交于A（2，4）、B（﹣4，n）两点．（1）分别求出y1和y2的解析式；（2）写出y1=y2时，x的值；（3）写出y1＞y2时，x的取值范围．【思路分析】1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）联立两函数解析式，求出方程组的解即可得到x的值；（3）由两函数交点坐标，利用图形即可得出所求不等式的解集【解析】（1）将A（2，4）代入反比例解析式得：m=8，∴反比例函数解析式为y2=，将B（﹣4，n）代入反比例解析式得：n=﹣2，即B（﹣4，﹣2），将A与B坐标代入一次函数解析式得：，解得：，则一次函数解析式为y1=x+2；62\n（2）联立两函数解析式得：，解得：或，则y1=y2时，x的值为2或﹣4；（3）利用图象得：y1＞y2时，x的取值范围为﹣4＜x＜0或x＞2．【方法指导】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法与数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23.（2022杭州10分）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．【思路分析】（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．（2）从数学思想上考虑解答．【解析】解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，62\n根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），∵BC=3，∴点C（3，+2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴A（1，+2），∵点A也在反比例函数图象上，∴+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）【方法指导】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．24.(2022•嘉兴8分）如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？【思路分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；62\n（2）设一次函数与x轴交点为D点，过A作AE垂直于x轴，三角形ABC面积=三角形BDN面积﹣三口安排下ADE面积﹣梯形AECN面积，求出即可．【解析】（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1，∴一次函数解析式为y=x+1；将A（1，2）代入反比例解析式得：m=2，∴反比例解析式为y=；（2）设一次函数与x轴交于D点，令y=0，求出x=﹣1，即OD=1，∴A（1，2），∴AE=2，OE=1，∵N（3，0），∴到B横坐标为3，将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反比例解析式得：y=，∴B（3，4），即ON=3，BN=4，C（3，），即CN=，则S△ABC=S△BDN﹣S△ADE﹣S梯形AECN=×4×4﹣×2×2﹣×（+2）×2=．【方法指导】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，三角形、梯形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25.（2022浙江丽水8分）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为m，DC的长为m。（1）求与之间的函数关系式；（2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案。62\n26.（2022•衢州6分）如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=（x＞0）的图象交于A（a，1）、B（1，b）两点．（1）求函数y2的表达式；（2）观察图象，比较当x＞0时，y1与y2的大小．【思路分析】1）由函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=（x＞0）的图象交于A（a，1）、B（1，b）两点，把A代入函数y1=﹣x+4，可求得A的坐标，继而求得函数y2的表达式；（2）观察图象可得即可求得：当x＞0时，y1与y2的大小．【解析】（1）把点A坐标代入y1=﹣x+4，得﹣a+4=1，解得：a=3，…（1分）∴A（3，1），把点A坐标代入y2=，∴k2=3，∴函数y2的表达式为：y2=；…（3分）（2）∴由图象可知，62\n当0＜x＜1或x＞3时，y1＜y2，…（4分）当x=1或x=3时，y1=y2，…（5分）当1＜x＜3时，y1=y2．【方法指导】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．27．（2022上海市，21，10分）已知平面直角坐标系（如图6），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点，点（2，1）在这条直线上，联结，△的面积等于1．（1）求的值；（2）如果反比例函数（是常量，）的图像经过点，求这个反比例函数的解析式．图628.（2022四川巴中，30，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．245761专题：计算题．62\n分析：（1）过点A作AD⊥x轴，在直角三角形AOD中，根据已知的三角函数值和线段OA的长求出AD与OD的长，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式；（2）把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到B的坐标，然后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值即可得到一次函数解析式，从而求出点C的坐标，得到OC的长，最后利用三角形的面积公式求出三角形AOC与三角形BOC的面积，相加即可得到三角形AOB的面积．解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，设AD=4x，OD=3x，∵OA=5，在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，∴A（3，4），把A（3，4）代入反比例函数y=中，解得：m=12，则反比例函数的解析式为y=；（2）把点B的坐标为（﹣6，n）代入y=中，解得n=﹣2，则B的坐标为（﹣6，﹣2），把A（3，4）和B（﹣6，﹣2）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0）得，解得，则一次函数的解析式为y=x+2，∵点C在x轴上，令y=0，得x=﹣3即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9．62\n点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角形函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．29.（2022四川乐山，24，10分）如图，已知直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于C、D两点。（1）如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式的解集；（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。30.（2022四川绵阳，22，12分）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。62\n（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；22题图（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值。解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是AB的中点，AE=2，OA=2，，点E（2，2）在双曲线y=上，k=2×2=4,点F在直线BC及双曲线y=，设点F的坐标为（4，f）,f==1,所以点F的坐标为（4，1）.(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，∠EDF=∠EBF=90º，点D在直线OC上，∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED，△EGD∽△DCF；②设点E的坐标为（a,2）,点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=上，k=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）,AE=2b,AB=4,ED=EB=4-2b,EG=OA=CB=2,CF=b,DF=BF=CB-CF=2-b,DC===2,△EGD∽△DCF,=,=,b=,有点F（4，），k=4×=3.31（2022河南省，20，9分）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为。双曲线的图像经过的中点，且与交于点，连接。（1）求的值及点的坐标；（2）若点是边上一点，且，求直线的解析式62\n【解答】（1）在矩形中，∵B点坐标为，∴边中点的坐标为（1,3）又∵双曲线的图像经过点∴，∴∵点在上，∴点的横坐标为2.又∵经过点,∴点纵坐标为，∴点纵坐标为（2）由（1）得，,∵△FBC∽△DEB，∴，即。∴，∴，即点的坐标为设直线的解析式为，而直线经过62\n∴，解得∴直线的解析式为32（2022湖北省十堰市，1，10分）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．考点：反比例函数综合题．分析：（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状．解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴m=﹣1，∴A（﹣1，﹣2），又∵点A在y=上，∴k=﹣2，62\n∴反比例函数的解析式为y=；（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1；（3）四边形OABC是菱形．证明：∵A（﹣1，﹣2），∴OA==，由题意知：CB∥OA且CB=，∴CB=OA，∴四边形OABC是平行四边形，∵C（2，n）在y=上，∴n=1，∴C（2，1），OC==，∴OC=OA，∴四边形OABC是菱形．点评：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题． 33．（2022湖北省咸宁市，1，8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为G，连接OD．已知△AOB≌△ACD．（1）如果b=﹣2，求k的值；（2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式．考点：反比例函数综合题．62\n分析：（1）首先求出直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线y=（x＞0）的图象上求出k的值；（2）首先直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（﹣，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式．解答：解：（1）当b=﹣2时，直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，﹣2）．∵△AOB≌△ACD，∴CD=DB，AO=AC，∴点D的坐标为（2，2）．∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，∴k=2×2=4．（2）直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（﹣，0），B（0，b）．∵△AOB≌△ACD，∴CD=OB，AO=AC，∴点D的坐标为（﹣b，﹣b）．∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，∴k=（﹣b）•（﹣b）=b2．即k与b的数量关系为：k=b2．直线OD的解析式为：y=x．点评：本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数图象的特征，此题难度不大，是一道不错的中考试题．.62
