一元一次方程及其应用一、选择题1．（2022山东滨州，3，3分）把方程x=1变形为x=2，其依据是A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质1【答案】：B．【解析】根据等式的性质2应选B.【方法指导】本题考查等式的基本性质.等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等.2.(湖南株洲,1,3分)一元一次方程的解是（）A.B.C.D.【答案】：B【解析】：本题考查了一元一次方程的解的定义.【方法指导】：根据一元一次方程的解题步骤，直接解答即可.3.．（2022广东湛江，10，4分）由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次降价后售价下调到每斤5元，下列所列的方程中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】第一次下调后的价格为元，第二下调后为元，于是本题选B.【方法指导】本题考查了平均变化率的问题。1．平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，每次增长的平均增长率为x，则第一次增长后的数量为，第二次增长是以为基数的，两次增长后的数量为.2.基数是a，两次平均降低率为x,则一次降低的数量为，第二次降低后的数量为。4．（2022江西，1，3分）－1的倒数是（）．A．1B．－1C．±1D．0【答案】B【解析】根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是用1除以这个数，所以－1的倒数为.【方法指导】根据定义直接计算．5．（2022·济宁，7，3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（ ） A．60元B．80元C．120元D．180元9\n考点：一元一次方程的应用．分析：设这款服装的进价为x元，就可以根据题意建立方程300×0.8－x=60，就可以求出进价，再用标价减去进价就可以求出结论．解答：解：设这款服装的进价为x元，由题意，得300×0.8－x=60，解得：x=180．300－180=120，∴这款服装每件的标价比进价多120元．故选C．点评：本题时一道销售问题．考查了列一元一次方程解实际问题的运用，利润=售价－进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． 6（2022·济宁，15，3分）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有盏灯．考点：一元一次方程的应用．分析：根据题意，假设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出等式，解方程，即可得解．解答：解：假设尖头的红灯有x盏，由题意得：x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x=381，127x=381，x=3（盏）；答：塔的顶层是3盏灯．故答案为：3．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．7.（2022山西，9，2分）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852元。设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（）A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825C．3×4.25%x=33825D．3(x+4.25%x)=33825【答案】A【解析】一年后产生的利息为4.25%x，三年后产生的利息为：3×4.25%x，再加上本金，得到33852元，所以，A是正确的。8.（2022四川绵阳，8，3分）朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（B）A．4个B．5个C．10个D．12个［解析］（x个朋友，3x-3=2x+2,x=5）9．（2022江西，1，3分）－1的倒数是（）．A．1B．－1C．±1D．09\n【答案】B【解析】根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是用1除以这个数，所以－1的倒数为.【方法指导】根据定义直接计算．10．（2022·济宁，7，3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（ ） A．60元B．80元C．120元D．180元考点：一元一次方程的应用．分析：设这款服装的进价为x元，就可以根据题意建立方程300×0.8－x=60，就可以求出进价，再用标价减去进价就可以求出结论．解答：解：设这款服装的进价为x元，由题意，得300×0.8－x=60，解得：x=180．300－180=120，∴这款服装每件的标价比进价多120元．故选C．点评：本题时一道销售问题．考查了列一元一次方程解实际问题的运用，利润=售价－进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． 11．（2022·济宁，15，3分）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有盏灯．考点：一元一次方程的应用．分析：根据题意，假设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出等式，解方程，即可得解．解答：解：假设尖头的红灯有x盏，由题意得：x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x=381，127x=381，x=3（盏）；答：塔的顶层是3盏灯．故答案为：3．点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．12.（2022山西，9，2分）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852元。设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（）A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825C．3×4.25%x=33825D．3(x+4.25%x)=338259\n【答案】A【解析】一年后产生的利息为4.25%x，三年后产生的利息为：3×4.25%x，再加上本金，得到33852元，所以，A是正确的。13.（2022四川绵阳，8，3分）朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（B）A．4个B．5个C．10个D．12个［解析］（x个朋友，3x-3=2x+2,x=5）二、填空题1、（2022深圳，15，3分）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价为元；【答案】2750【解析】设标价为元，实际售价为，依题意有：解之得：【方法指导】以“打折销售”为背景考查一元一次方程的应用及解法。注意实际售价与标价之间的区别与联系2.（2022四川凉山州，14，4分）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是元。【答案】20.【解析】.由题意可列一元一次方程去解决.设这本书的原价为x元,由题意可得0.9x－0.8x=0.2,解得x=20.【方法指导】本题考查是简单的一元一次方程的应用.列方程解应用题的一般步骤是设、列、解、答。3．（2022江苏扬州，9，3分）据了解，截止2022年5月8日，扬泰机场开通一年，客流量累计达到450000人次，数据450000用科学记数法表示为．4．（2022江苏扬州，9，3分）据了解，截止2022年5月8日，扬泰机场开通一年，客流量累计达到450000人次，数据450000用科学记数法表示为．三、解答题1．（2022山东滨州，19，6分）解方程：【答案】：去分母，得3(3x+5)=2(2x－1)．去括号，得9x+15=4x－2．移项、合并同类项，得5x=－17．系数化为1，得x=－．【解析】根据解一元一次方程的基本步骤解答即可.【方法指导】本题主要考查了一元一次方程的解法，属基础题型，容易上手.2．（2022山东临沂，21，7分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A、B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？9\n【思路分析】第（1）问中有两个相等关系：一是购买A、B两种型号的学习用品共1000件；二是购买这批学习用品用了26000元，依据以上两个相等关系列方程或方程组即可求解.第（2）问可以根据购买这批学习用品的钱不超过28000元，列出不等式来解决.【解】（1）设购买A型学习用品x件，则B型学习用品为（1000－x）件，根据题意，得20x＋30(1000－x)＝26000．解方程，得x＝400，则1000－x＝1000－400＝600．答：购买A型学习用品400件，购买B型学习用品600件．（2）设最多购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品为（1000－m）件，据题意，得20(1000－m)＋30m≤28000．解不等式，得m≤800．答：最多购买B型学习用品800件．【方法指导】列方程（组）解应用题的一般步骤是：⑴弄清题意，用字母（如：x、y）表示问题中的未知数；⑵分析题意，找出相等关系（可通过图、表、列语言等式等挖掘信息）；⑶根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程（组）；⑷解这个方程（组），求出未知数的值；⑸检查所得方程（组）的解，是否正确，是否符合实际情形，写出答案（包括单位名称）.3.（2022福建福州，17，每小题8分）（1）（略）（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？（2）【思路分析】根据题意设这个班有x名学生，用含x的代数式分别表示出两种分法时书本的代数式，根据两种分法时书本数目相等列出一元一次方程求解即可．解：设这个班有x名学生，依题意，得3x＋20＝4x－25解得x＝45答：这个班有45名学生．【方法指导】本题是一道“盈不足问题”，解决此类问题的关键是找好等量关系．另外还要掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤：审、设元、列方程、解方程、检验是否符合实际、写答案.4.（2022江苏泰州，21，10分）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m,乙工程队每天整治16m..求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.【思路分析】设甲工程队整治河道xm，则乙甲工程队整治河道（360－x）m.以两工程队合作的时间为等量关系列方程.【解】设甲工程队整治河道xm，则乙甲工程队整治河道（360－x）m.由题意得：解得：当时，答：甲工程队整治河道120m，则乙甲工程队整治河道240m.【方法指导】列方程解应用题的关键是找准等量关系.5．（2022浙江台州，17，8分）计算：．9\n6.（2022湖北宜昌，20，8分）[背景资料]一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图），采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时．[问题解决]（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；（3）在（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有的人自带彩棉机采摘，的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？考点：一元一次方程的应用；代数式．分析：（1）先根据一个人操作采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，求出一个人手工采摘棉花的效率，再乘以工作时间8小时，即可求解；（2）根据一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，列出关于a的方程，解方程即可；（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，先根据张家付给雇工工钱总额14400元，求出采摘的天数为：，然后由王家所雇的人中有的人自带彩棉机采摘，的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，即可得出王家这次采摘棉花的总重量．解答：解：（1）∵一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，∴一个人手工采摘棉花的效率为：35÷3.5=10（公斤/时），∵雇工每天工作8小时，∴一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：10×8=80（公斤）；（2）由题意，得80×7.5a=900，解得a=；（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，其中王家所雇的人中有的人自带彩棉机采摘，的人手工采摘．9\n∵张家雇佣的x人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为14400元，∴采摘的天数为：=，∴王家这次采摘棉花的总重量是：（35×8×+80×）×=51200（公斤）．点评：本题考查了一元一次方程及列代数式在实际生产与生活中的应用，抓住关键语句，找出等量关系是解题的关键，本题难度适中．7.（2022湖南长沙，23，9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线..已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元.（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1，2号线外，长沙市政府规划到2022年还要再建91.8千米的地铁线网，据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？8.．（2022湖南张家界，20，8分）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？考点：一元一次方程的应用．分析：设该市规定的每户每月标准用水量为x吨，根据小明家所交的电费判断出x的范围，然后可得出方程，解出即可．解答：解：设该市规定的每户每月标准用水量为x吨，∵12×1.5=18＜20，∴x＜12，从而可得方程：1.5x+2.5（12﹣x）=20，解得：x=10．9\n答：该市规定的每户每月标准用水量为10吨．点评：本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系得出方程．9．（2022浙江台州，17，8分）计算：．10.（2022湖南长沙，23，9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线..已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元.（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1，2号线外，长沙市政府规划到2022年还要再建91.8千米的地铁线网，据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？11.．（2022湖南张家界，20，8分）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？考点：一元一次方程的应用．分析：设该市规定的每户每月标准用水量为x吨，根据小明家所交的电费判断出x的范围，然后可得出方程，解出即可．解答：解：设该市规定的每户每月标准用水量为x吨，∵12×1.5=18＜20，∴x＜12，从而可得方程：1.5x+2.5（12﹣x）=20，解得：x=10．答：该市规定的每户每月标准用水量为10吨．点评：本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系得出方程．9\n9
