二元一次方程(组)及其应用一、选择题1．（2022广东广州，6，4分）已知两数x,y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（）A.B.C.D.【答案】C.【解析】第一步：求“和”，即相加，所以“已知两数x,y之和是10”即“x+y=10”；第二步：“甲比乙大多少”即“甲－乙=差”或“甲=乙+差”，所以“x比y的3倍大2”即“x=3y+2”．综合上述两步，可知答案选C【方法指导】1.列方程的问题，归根到底就是将数学“文字语言”转化为数学“符号语言”，所以理解数学语言既是学习数学的基础，也是解决数学问题的关键；2.要熟悉常用的数学语言，包括数学文字语言、符号语言和图形语言之间的转化．2．（2022四川凉山州，7，4分）已知方程组则的值为（）A．B．0C．2D．3【答案】D.【解析】方法一:解这个方程组得所以=3.方法二:通过观察方程只要把两个方程相加就直接可以得到的值.把这两个方程相加可得,得到=3.【方法指导】本题考查是二元一次方程组的解法,其解法是通过消元,将其转化成一元一次方程来解.但本题是自己的特殊性,直接把两个方程相加就可以得到的值,所以以后还是要多思考,发现更好更快更准备的解题方法.3．（2022江西南昌，3，3分）某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，下面所列的方程组正确的是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】这里有两个等量关系：井冈山人数+瑞金人数=34，井冈山人数=瑞金人数×2+1.所以所列方程组为．【方法指导】本题考查的是列二元一次方程组解应用题（不要求求出方程组的解），准确找出数量之间的相等关系并能用代数式表示．4．（2022湖南郴州，7，3分）15\n在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60斤，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？（ ） A．B． C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．分析：设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，根据甲种药材比乙种药材多买了2斤，两种药材共花费280元，可列出方程．解答：解：设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，由题意得：．故选A．点评：本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知数找出等量关系．5．（2022·潍坊，11，3分）为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了10000人，并进行统计分析．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2．5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0．5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人．如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为，不吸烟者患肺癌的人数为，根据题意，下面列出的方程组正确的是（）A．B．C．D．答案：B考点：二元一次方程组的应用．点评：弄清题意，找出相等关系是解决本题的关键．6.若a+b=3，a﹣b=7，则ab=（ ） A．﹣10B．﹣40C．10D．40【答案】A．【解析】联立得：，解得：a=5，b=﹣2，15\n则ab=﹣10．【方法指导】此题考查了解二元一次方程组，求出a与b的值是解本题的关键7.（2022四川内江，7，3分）成渝路内江至成都段全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇，小汽车比客车多行驶20千米．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是（ ） A．B． C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．分析：根据等量关系：相遇时两车走的路程之和为170千米，小汽车比客车多行驶20千米，可得出方程组．解答：解：设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时由题意得，．故选D．点评：本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程．二、填空题1．（2022贵州安顺，13，4分）如果是二元一次方程，那么a－b=.【答案】：0.【解析】根据题意得：，解得：．则a﹣b=0．【方法指导】主要考查二元一次方程的概念，根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．2．（2022贵州毕节，16，5分）二元一次方程组的解是 ．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可．15\n解答：解：，①+②得，4x=12，解得x=3，把x=3代入①得，3+2y=1，解得y=﹣1，所以，方程组的解是．故答案为：．点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．3．（2022江西，9，3分）某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组是．【答案】【解析】这里有两个等量关系：井冈山人数+瑞金人数=34，井冈山人数=瑞金人数×2+1.所以所列方程组为．【方法指导】本题考查的是列二元一次方程组解应用题（不要求求出方程组的解），准确找出数量之间的相等关系并能用代数式表示．4．（2022·鞍山，12，2分）若方程组，则3（x+y）－（3x－5y）的值是．考点：解二元一次方程组．专题：整体思想．分析：把（x+y）、（3x－5y）分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．解答：解：∵，∴3（x+y）－（3x－5y）＝3×7－（－3）＝21+3＝24．故答案为：24．点评：本题考查了解二元一次方程组，计算时不要盲目求解，利用整体思想代入计算更加简单． 15\n5．（2022·鞍山，15，2分）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是cm．考点：二元一次方程组的应用．分析：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为220cm，故可的方程：x+y＝220，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程x＝y，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得较长的铁棒的长度，用较长的铁棒的长度×可以求出木桶中水的深度．解答：解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为220cm，故可列x+y＝220，又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x＝y，据此可列：，解得：，因此木桶中水的深度为120×＝80（cm）．故答案为：80．点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．6.（2022•绍兴5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有 只，兔有 只．【思路分析】设鸡有x只，兔有y只，就有x+y=33，2x+4y=88，将这两个方程构成方程组求出其解即可【解析】设鸡有x只，兔有y只，由题意，得，解得：，∴鸡有22只，兔有11只．【方法指导】本题考查了列二元一次方程解生活实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，解答时根据条件找到反应全题题意的等量关系建立方程是关键．7.（2022上海市，20，10分）解方程组：．15\n8．（2022湖北省咸宁市，1，3分）已知是二元一次方程组的解，则m+3n的立方根为 2 ．考点：二元一次方程组的解；立方根．分析：将代入方程组，可得关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值，代入代数式即可得出m+3n的值，再根据立方根的定义即可求解．解答：解：把代入方程组，得：，解得，则m+3n=+3×=8，所以==2．故答案为2．点评：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组及立方根的定义等知识，属于基础题，注意“消元法”的运用．三、解答题1．（2022四川凉山州，22，8分）根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高，，放入一个大球水面升高；15\n（2）如果要使水面上升到50，应放入大球、小球各多少个？55cm26cm放入大球小球共10个50cm32cm32cm（第22题图）【思路分析】(1)利用图形给出的信息就可以得到放入一个小球水面升高多少,放入一个大球水面升高多少.(2)利用(1)中的信息可列方程组可解得.【解】(1)2cm,3cm;(2)设应放入x个在球,y个小球，由题意得解这个方程组得答:应放入4个大球,6个小球.【方法指导】利用图中所给的信息先找到放入一个小球和一个大球水面各升高多少,这是为第二问的试题作铺垫的.所在根据题意读信息时一定要认真思考.2．（2022广东湛江，25，10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发1小时后后达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同的路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南业所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．15\n【思路分析】（1）从图中可读出一小时内小明走了20千米，由此可求速度，从图中也可直接读出小明玩了1个小时；（2）妈妈追上小明时，两个人走的路程相同，由此求出妈妈开车的速度以及直线的解析式。【解】（1）小明骑车的速度为：20千米/小时，在南亚游玩的时间为1小时；（2）设妈妈驾车的速度为x千米/小时，则解得(千米/小时)点C的坐标为（）设直线CD的解析为：所以，解得所以CD的解析式为：【方法指导】1.求某一段线段的解析式，只要知道这条线段上的两个点的坐标，然后用待定系数法即可求得，但有时也会从他们变化的规律来求；2.与行程有关的图形信息题中如果要求速度，一定要从图中读到一定的时间内路程的变化，用路程的变化除以时间的变化即为速度。3.本题中的追及问题就是两人在一定的时间走的路程相等。3．(2022四川成都，15(2)，6分)解方程组：【思路分析】用“加减消元法”先消去未知数y，再代入方程①求出未知数x．【解】①＋②得3x＝6．∴x＝2．将x＝2代入方程①得2＋y＝1．∴y＝－1．∴原方程组的解为【方法指导】此题也可用“代入消元法”求解．解方程组的基本思想是“消元”，消元的方法有加减法和代入法．具体采用何种方法，需根据方程组的特点而定．4．(2022四川成都，16，6分)化简：(a2－a)÷．【思路分析】把除法转化为乘法，然后分解因式再约分．【解】原式＝a(a－1)×＝a．【方法指导】整式的除法可类比整数的除法转化为乘法运算．整式乘除法运算的关键是分解因式．5．（2022浙江台州，19，8分）已知关于x，y的方程组的解为15\n，求m，n的值．【思路分析】由于是方程组的解，根据方程组解的意义，将它代回原方程组，得到一个关于m，n的方程组，解这个新方程组即可。【解】由题意知：将代入方程组中，得，解这个新方程组，得．【方法指导】本题考查方程组的解的意义、二元一次方程组的解法，能够将方程组的解代回到原方程组中，并且会用代入法或加减法解方程组。6.（2022广东省，17，5分）解方程组【思路分析】因为方程①是用含y的式子表示x，所以考虑运用代入法．【解】把方程①代入方程②，得2(y+1)+y=8，解得y=2，再把y=2代入①，得x=3，所以原方程组的解为.【方法指导】解二元一次方程组，唯一的思路就是消元，只不过消元的时候还是要根据方程组的特点灵活选择代入法或者加减法，象本题中，两个方程中的未知数y的系数互为相反数，显然用加减法比较快，当然，如果学生基础不够扎实，运用代入法也可以求解．7.（2022四川雅安，20，8分）甲、乙两人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2．5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．(列方程(组)求解)【答案】解：设乙速为x米/分，则甲速为2．5x米/分，环形场地的周长为y米．由题意知，解得．∴2．5x＝2．5×150＝375(米/分)．答：甲、乙二人的分别为375米/分、150米/分，环形场地周长为900米．【解析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2．5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形周长建立方程求出其解．【方法指导】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．8.(2022湖南邵阳,20,8分)解方程组：.【答案】：解：①+②，得3x=18，解得x=6.把x=6代入方程①，得6+3y=12,解得y=2.所以方程组的解为.15\n【方法指导】：本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组有代入消元法，加减消元法，灵活运用是关键，此题是基础题.9.（2022湖北黄冈，16，6分）解方程组：【答案】原方程组整理得：由①得：x＝5y－3③将③代入②得：25y－15－11y＝－114y＝14y＝1将y＝1代入③得x＝2∴原方程组的解为【解析】首先将两个二元一次方程去分母、去括号、移项、合并同类项，进行整理，然后运用代入法求解．【方法指导】本题考查二元一次方程组的解法．解二元一次方程组的基本方法是代入法和加减消元法，用代入法的题目特征是其中一个方程容易用一个未知的代数式表达另一个未知数；用加减消元法的题目特征是两个方程中某个未知数的系数容易化为相同或相反数．10．(本小题满分6分，（2022山东滨州，19，6分）解方程组：【答案】：解：.由②，得x=4+y，③把③代入①，得3(4+y)+4y=19，12+3y+4y=19，y=1．把y=1代入③，得x=4+1=5．∴方程组的解为：【解析】利用代入消元法解方程组即可.【方法指导】本题主要考查了二元一次方程组的解法及解法的选择.解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法，而本题很容易由第②个方程看出选择代入消元法较为简单.11．（2022江苏苏州，22，6分）15\n苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游．已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团各有多少人？【思路分析】设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，根据题意可得等量关系：甲团＋乙团=55人；甲团人数=乙团人数×2－5，根据等量关系列出方程组，再解即可．【解】设甲旅游团x人，乙旅游团y人，根据题意得：，解得答：甲乙两个旅游团分别有35人，20人．【方法指导】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，列出方程组．【易错警示】理解题意困难，找不到解题方法．12．（2022湖南益阳，19，10分）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．【思路分析】（1）可用方程组求解；（2）建立不等式求解。【答案】：解：（1）设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，根据题意得：，解之得．∴“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，依题意得：，解之得：∵且为整数，∴0,1,2；∴6,5,4．∴车队共有3种购车方案：①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆．【方法指导】方程（组）、不等式是应用问题考查的热点，解这类问题关键是理解题意，设适当的未知数，根据问题中蕴含的数量关系，建立相应的数学模型，然后求解，最后还要对所求得的解进行检验。13．（2022兰州，21，8分）（2）解方程：x2﹣3x﹣1=0．15\n考点：解一元二次方程－公式法；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）先计算负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值，然后计算加减法；（2）利于求根公式x=来解方程．解答：解：（1）原式=﹣1﹣++1=0；（2）关于x的方程x2﹣3x﹣1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣3，常数项c=﹣1，则x═=，解得，x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．利于公式x=来解方程时，需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含义． 14．[2022湖南邵阳，20，8分]解方程组：.知识考点：二元一次方程组的解法.审题要津：观察两个二元一次方程同一未知数的系数，可知未知数y的系数相反，由此可得此二元一次方程可用加减消元法解答.满分解答：解：①+②，得3x=18，解得x=6.把x=6代入方程①，得6+3y=12,解得y=2.所以方程组的解为.名师点评：解二元一次方程组时，先观察两个二元一次方程同一未知数的系数，若同一未知数的系数相同或相反时，则用加减消元法解；若同一未知数的系数不同并且有有一方程的未知数的系数为1时，则用代入法解.15．（2022•东营，22，10分）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3．5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2．5万元．（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元?（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．15\n分析：（1）设电脑、电子白板的价格分别为x，y元，根据等量关系：1台电脑+2台电子白板凳3．5万元，2台电脑+1台电子白板凳2．5万元，列方程组即可．（2）设购进电脑x台，电子白板有(30－x)台，然后根据题目中的不等关系列不等式组解答．解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：…………………………3分解得：…………………………4分答：每台电脑0．5万元，每台电子白板1．5万元．…………………………5分（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30－a）台，则…………………………6分解得：，即a=15，16，17．…………………………7分故共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台．总费用为万元；方案二：购进电脑16台，电子白板14台．总费用为万元；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元；所以，方案三费用最低．…………………………10分点拨：（1）列方程组或不等式组解应用题的关键是找出题目中存在的等量关系或不等关系。（2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解。16．（2022·聊城，21，?分）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？考点：二元一次方程组的应用．分析：先设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，列出方程组，求出解即可．15\n解答：解：设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据题意得：，解得：．答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元．点评：此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程再求解，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 17.2022•嘉兴12分）某镇水库的可用水量为12000立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？【思路分析】1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，根据储水量+降水量=总用水量建立方程求出其解就可以了；（2）设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，同样由储水量+25年降水量=25年20万人的用水量为等量关系建立方程求出其解即可．【解析】（1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，由他提议，得，解得：答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米．（2）设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，由题意，得12000+25×200=20×25z，解得：z=34则50﹣34=16（立方米）．答：该城镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标【方法指导】本题是一道生活实际问题，考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据储水量+降水量=总用水量建立方程是关键．18.（2022•宁波12分）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价（元/部）40002500售价（元/部）43003000该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）15\n（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润【思路分析】（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为15.5万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解即可；（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，表示出购买的总资金，由总资金部超过16万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润．【解析】（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意，得，解得：，答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，由题意，得0.4（20﹣a）+0.25（30+2a）≤16，解得：a≤5．设全部销售后获得的毛利润为W元，由题意，得W=0.03（20﹣a）+0.05（30+2a）=0.07a+2.1∵k=0.07＞0，∴W随a的增大而增大，∴当a=5时，W最大=2.45．答：当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元．【方法指导】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键．15
