专题类型突破专题五 二次函数综合题类型一线段、周长问题(2022·宜宾中考改编)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在一点M，使点M到点A，B的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设点S是直线l的一点，是否存在点S，使的SB－SA最大，若存在，求出点S的坐标．【分析】(1)设顶点式y＝a(x－2)2，将点(4，1)代入即可求a的值，得出抛物线的解析式；(2)联立直线AB与抛物线解析式得到点A与点B的坐标，设出点M的坐标为(0，m)，利用等式MA2＝MB2，求出点M的坐标；(3)利用最短线段思想，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．求出直线AB′解析式后，联立直线l得出点P坐标；(4)由最短线段思想可知，当S，A，B三点共线时，SB－SA取得最大值．【自主解答】21\n1．(2022·广西中考)如图，抛物线y＝ax2－5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A(－3，0)，C(0，4)，点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；(3)试求出AM＋AN的最小值．类型二图形面积问题(2022·菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的解析式；21\n(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．【分析】(1)根据题意可以求得a，b的值，从而可以求得抛物线的解析式；(2)根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；(3)根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【自主解答】2．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；21\n(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．类型三抛物线上架构的三角形问题(2022·怀化中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②在数轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．21\n【分析】(1)设交点式y＝a(x＋1)(x－3)，展开得到－2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C(0，3)，然后利用待定系数法求直线AC的解析式；(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1，4)，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于点M，利用两点之间线段最短可判断此时MB＋MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；(3)①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线PC的解析式，当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．②因为△ACM是以AC为底的等腰三角形，得出MA2＝MB2，然后分类讨论点M在x轴、y轴时的两种情况，进而求出点M的坐标即可．【自主解答】是否存在一点，使之与另外两个定点构成等腰三角形(直角三角形)的问题：首先弄清题意(如等腰三角形：若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．21\n3．(2022·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE.①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型四抛物线上架构的四边形问题(2022·齐齐哈尔中考)综合与探究如图1所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C.21\n(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为________；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)把已知点坐标代入解析式；(2)取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；(3)①由已知，注意相似三角形的分类讨论．②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．【自主解答】21\n解答存在性问题的一般思路解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．4．(2022·天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．21\n参考答案类型一【例1】(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2.∵该抛物线经过点(4，1)，∴1＝4a，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2＝x2－x＋1.(2)存在．联立解得或∴点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4，1)．设点M的坐标为(0，m)，∴MA2＝(0－1)2＋(m－)2，MB2＝(0－4)2＋(m－1)2.∵点M到A，B的距离相等，∴MA2＝MB2，即(0－1)2＋(m－)2＝(0－4)2＋(m－1)2，∴m＝，∴点M的坐标为(0，)．(3)存在．如图，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．21\n∵点B(4，1)，直线l为y＝－1，∴点B′的坐标为(4，－3)．设直线AB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(1，)，B′(4，－3)代入y＝kx＋b得解得∴直线AB′的解析式为y＝－x＋.当y＝－1时，有－x＋＝－1，解得x＝，∴点P的坐标为(，－1)．(4)存在．点S和点A，B在同一条直线上时，SB－SA最大．∵点S在直线l上，∴设点S的坐标为(n，－1)，代入y＝x得n＝－4，∴点S的坐标为(－4，－1)．变式训练1．解：(1)把A(－3，0)，C(0，4)代入y＝ax2－5ax＋c得解得∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4.∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3，∴B(3，0)．21\n∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3，当x＝3时，y＝－×9＋×3＋4＝5，∴D点坐标为(3，5)．(2)在Rt△OBC中，BC＝＝＝5.设M(0，m)，则BN＝4－m，CN＝5－(4－m)＝m＋1.∵∠MCN＝∠OCB，∴当＝时，△CMN∽△COB，则∠CMN＝∠COB＝90°，即＝，解得m＝，此时M点坐标为(0，)．当＝时，△CMN∽△CBO，则∠CNM＝∠COB＝90°，即＝，解得m＝，此时M点坐标为(0，)．综上所述，M点的坐标为(0，)或(0，)．(3)如图，连接DN，AD.∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO＝∠BCO.∵BD∥OC，∴∠BCO＝∠DBC.∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM＝DN，∴AM＋AN＝DN＋AN，而DN＋AN≥AD(当且仅当点A，N，D共线时取等号)，∵AD＝＝，∴AM＋AN的最小值为.21\n类型二【例2】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－5经过点B(－5，0)和点C(1，0)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x－5.(2)∵抛物线y＝x2＋4x－5交y轴于点A，∴A点坐标为(0，－5)．又∵点E关于x轴的对称点在直线AD上，∴点E的纵坐标为5.如图，过点E作EF⊥DA，交DA的延长线于点F，∴EF＝5＋|－5|＝10.设点D的坐标为(a，－5)，∴a2＋4a－5＝－5，∴a1＝0，a2＝－4，∴点D的坐标为(－4，－5)，∴AD＝|－4|＝4，∴S△ADE＝AD·EF＝×4×10＝20.(3)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，且该直线经过点B(－5，0)和点A(0，－5)，∴解得∴直线AB的解析式为y＝－x－5.如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，交直线AB于点M.设P(x，x2＋4x－5)，则M(x，－x－5)，∴S△ABP＝S△PMB＋S△PMA＝[(－x－5)－(x2＋4x－5)]×5＝－(x2＋5x)＝－(x＋)2＋，21\n∴当x＝－时，S△ABP最大，最大值为.将x＝－代入y＝x2＋4x－5得y＝－，∴P点的坐标为(－，－)．变式训练2．解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋1.(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0.∴C(－6，1)．设直线AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)，由解得则直线AB的解析式是y＝－x＋1.设点P的坐标为(m，m2＋2m＋1)，则点E的坐标为(m，－m＋1)，EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m.∵AC⊥EP，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC·EF＋AC·PF＝AC·(EF＋PF)＝AC·PE＝×6×(－m2－3m)＝－m2－9m＝－(m＋)2＋.又∵－6＜m＜0，则当m＝－时，四边形AECP的面积的最大值是，此时点P的坐标是(－，－)．(3)由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得顶点P的坐标是(－3，－2)，此时PF＝yF－yP＝3，CF＝xF－xC＝3，则在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°.21\n同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，如图△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC.可求AB＝9，AC＝6，CP＝3，①当△CPQ1∽△ABC时，设Q1(t1，1)，由＝，得＝，解得t1＝－4.②当△CQ2P∽△ABC，设Q2(t2，1)，由＝，得＝，解得t2＝3.综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(－4，1)或Q2(3，1)．类型三【例3】(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，即y＝ax2－2ax－3a，∴－2a＝2，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0，3)．设直线AC的解析式为y＝px＋q，把A(－1，0)，C(0，3)代入得解得∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1，4)．如图，作B点关于y轴的对称点B′，则B′(－3，0)，连接DB′交y轴于M.∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小．∵BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小．21\n易得直线DB′的解析式为y＝x＋3.当x＝0时，y＝x＋3＝3，∴点M的坐标为(0，3)．(3)①存在．如图，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P.∵直线AC的解析式为y＝3x＋3，∴直线PC的解析式可设为y＝－x＋b，把C(0，3)代入得b＝3，∴直线PC的解析式为y＝－x＋3.解方程组得或则此时P点坐标为(，)．如图，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P′，直线P′A的解析式可设为y＝－x＋b1，把A(－1，0)代入得＋b1＝0，解得b1＝－，∴直线PC的解析式为y＝－x－.解方程组得或则此时P′点坐标为(，－)．综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，－)．②存在．21\n当点M在x轴上时，设点M的坐标为(n，0)，∵MA2＝MB2，即[n－(－1)]2＝n2＋(0－3)2，∴n＝4，∴此时点M的坐标为(4，0)．当点M在y轴上时，设点M的坐标为(0，a)，∵MA2＝MB2，即[0－(－1)]2＋(a－0)2＝(3－a)2，∴a＝，∴此时点M的坐标为(0，)．综上所述，符合条件的点M的坐标为(4，0)或(0，)．变式训练3．解：(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.∵OC＝2OB，∴OC＝2，则BC＝3.又∵tan∠ABC＝2，∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为(－2，6)．把点A，B的坐标代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中得解得∴该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4.(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y＝－2x＋2.如图，设点P的坐标为(m，－m2－3m＋4)，则点E的坐标为(m，－2m＋2)，点D的坐标为(m，0)，则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2，由PE＝DE得－m2－m＋2＝(－2m＋2)，解得m＝±1.又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，∴点P的坐标为(－1，6)．21\n②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，设M(－1，y)，∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2，BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45.分三种情况：(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM2＋BM2＝AB2，∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±，∴M(－1，3＋)或(－1，3－)；(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB2＋BM2＝AM2，∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1，∴M(－1，－1)．(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)．综上所述，点M的坐标为(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)．类型四【例4】(1)将A(－4，0)代入y＝x＋c得c＝4，将A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c得b＝－3，∴抛物线解析式为y＝－x2－3x＋4.(2)如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接OC′，交直线l于点E，连接CE，此时CE＋OE的值最小．∵抛物线对称轴直线x＝－，∴CC′＝3.由勾股定理可得OC′＝5，∴CE＋OE的最小值为5.21\n(3)①当△CNP∽△AMP时，∠CNP＝90°，则NC关于抛物线对称轴对称，∴NC＝NP＝3，∴△CPN的面积为.当△CNP∽△MAP时，由已知△NCP为等腰直角三角形，∠NCP＝90°.如图，过点C作CE⊥MN于点E，设点M坐标为(a，0)，∴EP＝EC＝－a，则N为(a，－a2－3a＋4)，MP＝－a2－3a＋4－(－2a)＝－a2－a＋4，∴P(a，－a2－a＋4)，代入y＝x＋4，解得a＝－2或a＝0(舍)，则N(－2，6)，P(－2，2)，故PN＝4.又∵EC＝－a＝2，∴△CPN的面积为4.故答案为或4.②存在．设点M坐标为(a，0)，则点N坐标为(a，－a2－3a＋4)，则P点坐标为(a，)，把点P坐标代入y＝x＋4，解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1.当PF＝FM时，点D在MN垂直平分线上，则D(，)；当PM＝PF时，由菱形性质得点D坐标为(－1＋，)或(－1－，－)；当MP＝MF时，M，D关于直线y＝x＋4对称，点D坐标为(－4，3)．变式训练21\n4．解：(1)当y＝0时，ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为直线x＝＝1.(2)∵直线l为y＝kx＋b且过A(－1，0)，∴0＝－k＋b，即k＝b，∴直线l为y＝kx＋k.∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0.∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴－3－＝－1×4，∴k＝a，∴直线l的函数解析式为y＝ax＋a.(3)图1如图1，过点E作EF∥y轴交直线l于点F.设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－ax－a＝ax2－3ax－4a，∴S△ACE＝S△AFE－S△CEF＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a，∴△ACE的面积的最大值为－a.∵△ACE的面积的最大值为，∴－a＝，解得a＝－.(4)以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形．令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴D(4，5a)．21\n∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P(1，m)，如图2，①若AD是矩形ADPQ的一条边，图2则易得Q(－4，21a)，m＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a)．∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2＋PD2＝AP2，∴52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝22＋(26a)2，即a2＝.∵a＜0，∴a＝－，∴P(1，－)．②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，图3则易得Q(2，－3a)，m＝5a－(－3a)＝8a，则P(1，8a)．∵四边形APDQ是矩形，21\n∴∠APD＝90°，∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，即a2＝.∵a＜0，∴a＝－，∴P(1，－4)．综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P坐标为(1，－)或(1，－4)．21
