专题一 5大数学思想方法类型一分类讨论思想(2022·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【分析】(1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．1．(2022·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是()A．5B．4C．3D．22．(2022·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：17\n天数(x)13610每件成本p(元)7.58.51012任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：设李师傅第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二数形结合思想(2022·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：17\n(1)学校到景点的路程为________km，大客车途中停留了________min，a＝________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．【分析】(1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6km时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6km的速度与80km/h作比较可得结论．(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．【自主解答】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．17\n3．(2022·大庆中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y1)，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4a；②若－1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为－1和.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．44．(2022·苏州中考)如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D交BC于点E.若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为()A．3B．2C．6D．125．(2022·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y关于x的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升17\n时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？类型三转化与化归思想(2022·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．(1)若屏幕上下宽BC＝20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG＝100cm，上臂DE＝30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH＝72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果精确到个位)【分析】(1)在Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．【自主解答】17\n把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．6．(2022·山西中考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是()A．4π－4B．4π－8C．8π－4D．8π－87．(2022·黄冈中考)则a－＝，则a2＋值为______．8．(2022·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：≈1.7，≈1.4)17\n类型四方程思想(2022·娄底中考)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E.(1)当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；(2)求证：BC2－CE2＝CE·DE；(3)已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．【分析】(1)由AB是⊙O的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD＋∠ABD＝90°，据此可得证；(2)连接OC，设圆的半径为r，证△ADE∽△CBE，由＝知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC，CE，再根据BC2－CE2＝CE·DE计算可得．【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．17\n9．(2022·白银中考)若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是________．10．(2022·上海中考)如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．类型五函数思想(2022·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数解析式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．【自主解答】17\n在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．11．(2022·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型一【例1】(1)如图1，连接AF.17\n由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.∵AB＝CD，∴FD＝CD.(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG，BG，DG，同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.变式训练1．C 2．解：(1)设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，代入(1，7.5)，(3，8.5)得17\n解得即p与x的函数关系式为p＝0.5x＋7(1≤x≤15，x为整数)．当1≤x＜10时，W＝[20－(0.5x＋7)](2x＋20)＝－x2＋16x＋260.当10≤x≤15时，W＝[20－(0.5x＋7)]×40＝－20x＋520，即W＝(2)当1≤x＜10时，W＝－x2＋16x＋260＝－(x－8)2＋324，∴当x＝8时，W取得最大值，此时W＝324.当10≤x≤15时，W＝－20x＋520，∴当x＝10时，W取得最大值，此时W＝320.∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．(3)当1≤x＜10时，令－x2＋16x＋260＝299，得x1＝3，x2＝13，当W＞299时，3＜x＜13.∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.当10≤x≤15时，令W＝－20x＋520＞299，得x＜11.05，∴10≤x≤11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)．答：李师傅共可获得160元奖金．类型二【例2】(1)由图形可得学校到景点的路程为40km，大客车途中停留了5min，小轿车的速度为＝1(km/min)，a＝(35－20)×1＝15.故答案为40，5，15.(2)由(1)得a＝15，∴大客车的速度为＝(km/min)．小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)××＝(km)，40－－15＝(km)．答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有km.17\n(3)设直线CD的解析式为s＝kt＋b，将(20，0)和(60，40)代入得解得∴直线CD的解析式为s＝t－20.当s＝46时，46＝t－20，解得t＝66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为＝35(min)，小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝(km/min)＝90km/h＞80km/h.答：小轿车折返时已经超速．(4)大客车的时间：＝80(min)，80－70＝10(min)．故答案为10.变式训练3．B 4.A 5．解：(1)设该一次函数解析式为y＝kx＋b，将(150，45)，(0，60)代入y＝kx＋b中得解得∴该一次函数解析式为y＝－x＋60.(2)当y＝－x＋60＝8时，解得x＝520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530－520＝10(千米)，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．类型三【例3】(1)∵Rt△ABC中，tanA＝，∴AB＝＝≈＝55(cm)．(2)如图，延长FE交DG于点I，则四边形GHFI为矩形，∴IG＝FH，∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)．17\n在Rt△DEI中，sin∠DEI＝＝＝，∴∠DEI≈69°，∴β＝180°－69°＝111°≠100°，∴此时β不符合科学要求的100°.变式训练6．A 7.8 8．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝320，AD＝320，∴BD＝CD＝320，BC＝320，∴AC＋BC＝640＋320≈1088，∴AB＝AD＋BD＝320＋320≈864，∴1088－864＝224(公里)．答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约224公里．类型四【例4】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD.(2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴＝，即DE·CE＝AE·BE.如图，连接OC.17\n设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，则DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r2－OE2.∵＝，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴CE2＝OE2＋OC2＝OE2＋r2，BC2＝BO2＋CO2＝2r2，则BC2－CE2＝2r2－(OE2＋r2)＝r2－OE2，∴BC2－CE2＝DE·CE.(3)∵OA＝4，∴OB＝OC＝OA＝4，∴BC＝＝4.又∵E是半径OA的中点，∴AE＝OE＝2，则CE＝＝＝2.∵BC2－CE2＝DE·CE，∴(4)2－(2)2＝DE·2，解得DE＝.变式训练9．8 10.类型五【例5】(1)①由题意可得xy＝3，则y＝.②当y≥3时，≥3，解得x≤1，∴x的取值范围是0＜x≤1.(2)∵一个矩形的周长为6，∴x＋y＝3，∴x＋＝3，整理得x2－3x＋3＝0.17\n∵b2－4ac＝9－12＝－3＜0，∴矩形的周长不可能是6，∴圆圆的说法不对．∵一个矩形的周长为10，∴x＋y＝5，∴x＋＝5，整理得x2－5x＋3＝0.∵b2－4ac＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，∴方方的说法对．变式训练11．解：(1)将点A，B的坐标代入函数解析式得解得∴抛物线的函数解析式为y＝－2x2－4x＋6，当x＝0时，y＝6，∴点C的坐标为(0，6)．(2)由MA＝MB＝MC得M点在AB的垂直平分线上，M点在AC的垂直平分线上．设M(－1，y)，由MA＝MC得(－1＋3)2＋y2＝(y－6)2＋(－1－0)2，解得y＝，∴点M的坐标为(－1，)．(3)①如图，过点A作DA⊥AC交y轴于点F，交CB的延长线于点D.∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°，∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO，∴△AOF∽△COA，∴＝，∴AO2＝OC·OF.∵OA＝3，OC＝6，∴OF＝＝，∴F(0，－)．∵A(－3，0)，F(0，－)，∴直线AF的解析式为y＝－x－.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC的解析式为y＝－6x＋6，17\n联立解得∴D(，－)，∴AD＝，AC＝3，∴tan∠ACB＝＝.∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB，∴tan∠ABE＝2.如图，过点A作AM⊥x轴，连接BM交抛物线于点E.∵AB＝4，tan∠ABE＝2，∴AM＝8，∴M(－3，8)．∵B(1，0)，M(－3，8)，∴直线BM的解析式为y＝－2x＋2.联立解得或(舍去)∴E(－2，6)．17\n②当点E在x轴下方时，如图，过点E作EG⊥AB，连接BE.设点E(m，－2m2－4m＋6)，∴tan∠ABE＝＝＝2，∴m＝－4或m＝1(舍去)，可得E(－4，－10)．综上所述，E点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．17
