图形操作问题图形操作问题是当今中考命题的热点，是数形结合思想的拓展与升华，这类中考题，立足基础，突出创新与数学思想方法的考察.它有助于学生发展空间观念和创新能力的培养.解决这类题目，要求大家积极参与操作、实验、观察、猜想、探索、发现结论全过程，有效地提高解答操作题的能力.题型之一折叠与翻折问题例1如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为.【思路点拨】先根据翻折的性质确定D点的位置，然后再运用锐角三角函数、勾股定理以及中位线定理等知识可求出BD的长.【解答】如图，先规范地绘制出图形，如图，取AC中点E，作线段BE的垂直平分线，那么该直线为直线l，与BC交于D点，连接DE，则DB=DE.作BC边的垂线AG、EF.∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴GC=4，AG=6.易知EF为△AGC的中位线，EF=3，CF=2.设BD=x，则DF=6-x.在Rt△EDF中，∠EFD=90°，DF2+EF2=DE2，即(6-x)2+32=x2，解得x=.∴BD=.方法归纳：图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件.另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质.1.(2022·宁波)用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是()2.(2022·泰安)如图1是一直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图2，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图3，则折痕DE的长为()11\nA.cmB.cmC.cmD.3cm3.(2022·德州)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝2.以上结论中，你认为正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2022·潜江调考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为()A.B.2C.2D.35.(2022·襄阳)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①④6.(2022·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=.7.(2022·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′11\n处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′=x，则x的取值范围是.8.(2022·随州)如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）.设AE=x（0<x<2），给出下列判断：②x=1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x=时，EF+GH>AC;③当0<x<2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0<x<2时，六边形AEFCHG周长的值不变.其中正确的是.（写出所有正确判断的序号）题型之二分割与剪拼问题例2(2022·淄博)矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4.(1)如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形，你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；(2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪纸，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上).【思路点拨】(1)要在矩形纸片中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽；(2)先根据剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等求出正方形的边长为2，从而借助勾股定理在网格中确定4和2作为直角边构造直角三角形，将原长方形剪成4个直角边为4和2的直角三角形和4个边长为1的小正方形，然后把直角三角形的斜边作为新正方形的边长，通过旋转等图形变换拼出新正方形.【解答】(1)能.要在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16.(2)由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知，剪拼成的面积最大的正方形的边长是=2.所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将4×4的大正方形部分剪成4个斜边为2的直角三角形，将1×11\n4的长方形剪成4个边长为1的小正方形，具体剪法如下图：方法归纳：解决有关图形的裁剪和剪拼问题，关键是要分清裁剪和剪拼的区别，裁剪只包含“剪”的过程，而剪拼既包含“剪”的过程，又包含“拼”的过程，两者有着本质的区别，正确区分二者的意义是正确解决本题的关键.解决剪拼问题的突破口是剪拼前后的图形的面积不变.1.(2022·广东)如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是.2.(2022·绵阳)对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”.若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为.3.(2022·宁波)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用).A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面.现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？4.(2022·宿迁)如图是两个全等的含30°角的直角三角形.(1)将其相等边拼在一起，组成一个没有重叠部分的平面图形，请你画出所有不同的拼接平面图形的示意图；(2)若将(1)中平面图形分别印制在质地、形状、大小完全相同的11\n卡片上，洗匀后从中随机抽取一张，求取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率.5.(2022·宁波)课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种)(2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；(3)如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.题型之三学具操作问题例3(2022·广东)有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6.在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=411\n.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动.(1)如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，求∠EMC的度数和BF的长；(2)如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求CF和BF的长；(3)在三角板DEF的运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x的取值范围.【思路点拨】(1)利用三角形的外角性质或者三角形的内角和即可求得答案；(2)解直角三角形AFC即可；(3)本题需要分类讨论，以点C在三角板DEF的上方、内部、下方三种情况来讨论，同时注意点C分别在DE、FE上时BF的长.【解答】(1)三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∠E=30°，∠EMC=15°.三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，BF=AB-DF=2.(2)由平移可知：∠ACF=∠E=30°.在Rt△ACF中，cos∠ACF=，tan∠ACF=,∴CF===4.AF=AC·tan∠ACF=6×tan30°=2.∴BF=AB-AF=6-2.(3)如图，分三种情况讨论：过点M作MN⊥AB于点N,则MN∥DE∥AC，∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x.∴△FMN∽△FED.∴=,即=.解得MN=x.①当0≤x≤2时，如图4，设DE与BC相交于点G,则DG=DB=4+x.y=S△BGD-S△BMF=·DB·DG-BF·MN=(4+x)2-x·x.即y=-x2+4x+8;11\n②当2＜x≤6-2时，如图5.y=S△BCA-S△BMF=·AC2-·BF·MN=×36-x·x.即y=-x2+18;③当6-2<x≤6时，如图6，设AC与EF交于点H.∵AF=6-x，∠AHF=∠E=30°，∴AH=AF=(6-x).y=S△FHA=(6-x)·(6-x)=(6-x)2.综上所述，当0≤x≤2时，y=-x2+4x+8;当2<x≤6-2时，y=-x2+18;当6-2<x≤6时，y=(6-x)2.方法归纳：本题属于“操作类”问题，解题的重要方法是“实际操作”，即在解题的时候，用三角板进行了实际操作，会很快就求得第(1)问的结论，对于第(3)问的结论，通过“操作”可确定只需分三种情况讨论.1.(2022·泰安)将两个斜边长相等的一副三角板纸片如图1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，连接D1B，则∠E1D1B的度数为()A.10°B.20°C.7.5°D.15°2.(2022·孝感调考)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是度.11\n3.(2022·娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM=AN；(2)当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.4.将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短的直角边长为3.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由；(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为多少时四边形ABC1D1为矩形？5.(2022·衡阳)将一副三角尺如图1摆放在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.11\n(1)求∠ADE的度数；(2)如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由.参考答案题型之一折叠与翻折问题1.D2.A提示：由图形的操作可知：∠DBC=30°,∠DC′A=90°,∠EDC′=30°,∵BC=4cm,∴DC′=DC=cm,∴DE=cm.3.C提示：易证四边形CFHE是平行四边形，对角线HC与EF垂直，故四边形CFHE是菱形，①正确；∵DE的长度无法确定，只有当DE=时，EC才平分∠DCH.故②不正确；当H与A重合时，BF最小为3，当点E与点D重合时，BF最大为4.故③正确；当点H与点A重合时，求出EF＝2.故④正确.4.B提示：连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP′为菱形，则PP′⊥BC，CD＝CQ=（6-t），∴BD=6-（6-t）=3+t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=6-t，而PB=BD，11\n∴6-t=(3+t)，解得t=2.故选B.5.D提示：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PFB=60°，BF=PF，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确.6.7.2≤x≤8提示：当折痕经过B点时，BA′=BA=8,此时x最大；当折痕经过D点时，x=2，此时x最小.8.①④题型之二分割与剪拼问题1.平行四边形2.143.(1)裁剪出的侧面个数为：6x+4(19-x)=（2x+76）个，裁剪出的底面个数为：5(19-x)=（-5x+95）个；(2)由题意得=.解得x=7.=30.答：能做30个盒子.4.(1)如图：(2)其中轴对称图形有4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为=.5.(1)如图：(2)其中轴对称图形有4个，所以取出的卡片上平面图形为轴对称图形的概率为=.题型之三学具操作问题1.D2.1443.(1)证明：∵∠α+∠EAC=90°，∠NAF+∠EAC=90°，∴∠α=∠NAF.又∵∠B=∠F,AB=AF，∴△ABM≌△AFN.∴AM=AN.(2)四边形ABPF是菱形.理由：∵∠α=30°，∠EAF=90°,∴∠BAF=120°.又∵∠B=∠F=60°,∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°，∠F+∠BAF=60°+120°=180°，11\n∴AF∥BC，AB∥EF，∴四边形ABPF是平行四边形.又∵AB=AF,∴四边形ABPF是菱形.4.(1)是.理由：∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.(2)是.理由:∵∠ABD=∠C1D1B1=30°，∴AB∥C1D1.又∵AB=C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形.(3)由(2)知四边形ABC1D1是平行四边形，∴只要使∠ABC1=90°,四边形ABC1D1即为矩形.又∵∠ABD=30°，∴∠B1BC1=60°.∴∠BC1B1=30°.设BB1=x，则BC1=2x.由勾股定理，得BC21-BB21=B1C21.即(2x)2-x2=32.解得x=.即当点B的移动距离为时,四边形ABC1D1为矩形.5.(1)由题意知：CD是Rt△ABC中斜边AB上的中线，∴AD=BD=CD.∵在△BCD中，BD=CD且∠B=60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD=∠BDC=60°.∴∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=180°-60°-90°=30°.(2)的值不会随着α的变化而变化，理由如下：∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°.∵∠MPD=∠BCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，∴△MPD∽△NCD，∴=.又由(1)知AD=CD，∴==.∵在△APD中，∠A=∠ADE=30°，∴在等腰△APD中，==.∴===.11
