阅读理解问题阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.题型之一新定义、新概念阅读型例1(2022·安徽)若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的最大值.【思路点拨】(1)根据“同簇二次函数”先选择所写函数的顶点坐标，使二次项系数同号但数值不同即可；(2)根据其中y1的图象经过点A(1，1)，把点A的坐标代入函数解析式中即可求出m的值，得y1解析式.利用y1+y2的顶点与y1的顶点相同求a,b.最后利用二次函数的性质确定当0≤x≤3时y2的最大值.【解答】(1)答案不唯一，如顶点是原点，开口向上的二次函数，y=x2和y=2x2；(2)把点A(1，1)坐标代入到y1=2x2-4mx+2m2+1中，得2×12-4m×1+2m2+1=1，解得m=1.∴y1=2x2-4x+3.∵y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b-4)x+8，又∵y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1，其顶点为(1，1)，且y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴解得∴y2=5x2-10x+5=5(x-1)2.∵当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，当x=0时，y2=5.当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，当x=3时，y2=20.∴在0≤x≤3中，当x=3时，y2有最大值，最大值y2=5×(3-1)2=20.故当0≤x≤3时，y2的最大值是20.方法归纳：这类题首先要读懂题目中的新概念，然后将新概念的问题与原有的知识结合，利用原有的知识解决问题，其实就是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原来的知识点.1.(2022·成都)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=.(用数值作答)2.(2022·白银)阅读理解：12\n我们把称作二阶行列式，其运算法则为=ad-bc.如：=2×5-3×4=-2.如果有＞0，求x的解集.3.(2022·巴中)定义新运算：对于任意实数a、b都有a△b=ab-a-b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4-2-4+1=8-6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围.4.(2022·长沙改编)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(-1，-1)，(0，0)，(,)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P(2,m)是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；(2)函数y=3kx+s-1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由.5.(2022·咸宁)阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题：(1)如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：(3)如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系.12\n题型之二学习应用型例2(2022·济宁)阅读材料：已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC＝a,AC＝b,AB＝c,内切圆O的半径为r.连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形.∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC·r+AC·r+AB·r=（a+b+c）r,∴r=.(1)类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图2，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径r；(2)理解应用：如图3，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.【思路点拨】(1)连接OA，OB，OC，OD，仿照例题易得r.(2)过上底顶点作下底垂线，从而求出BD的长以及梯形的高，从而利用(1)的结论用含有r1和r2的式子表示出两三角形的面积.根据等高的三角形面积比等于底的比，建立等量关系，得到两半径之比.【解答】(1)连接OA，OB，OC，OD.作出对应四个三角形的高OE，OF，OG，OH.∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=ar+br+cr+dr=(a+b+c+d)r,∴r=.12\n(2)过点D作DE⊥AB于点E，则AE=(AB-DC)=×(21-11)=5.DE===12.BE=AB-AE=21-5=16.BD===20.∵AB∥DC，∴==.又∵===，∴=.即=.方法归纳：本题从人教版九年级上册课本P100练习2入手，将知识层层推进.解决这类题一定要弄懂给出学习的例题得出解题思路，然后类比例题的思路解决第(2)问的内容.1.(2022·兰州)为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100,则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S-S=2101-1，所以S=2101-1，即1+2+22+23+…+2100=2101-1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是.2.(2022·湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=,cos30°=,则sin230°+cos230°=;①sin45°=,cos45°=,则sin245°+cos245°=;②sin60°=,cos60°=,则sin260°+cos260°=;③…，观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=.④(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；12\n(2)已知：∠A为锐角(cosA>0)且sinA=,求cosA.3.(2022·黔西南)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=(m+n)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a+b=m2+2n2+2mn.∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a+b=(m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a=，b=；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：=；(3)若a+4=(m+n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值.4.(2022·黔西南)已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算.例如：求点P(-2,1)到直线y=x+1的距离.解：因为直线y=x+1可变形为x-y+1=0，其中k=1,b=1,所以点P(-2,1)到直线y=x+1的距离为：d====.根据以上材料，求：(1)点P(1,1)到直线y=3x-2的距离，并说明点P与直线的位置关系；(2)点P(2,-1)到直线y=2x-1的距离；(3)已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离.题型之三纠错补全型12\n例3(2022·温州)八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛.试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分.赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表：参赛同学答对题数答错题数未答题数A1901B1721C1523D1712E//7（1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；（2）最后获知A，B，C，D，E五位同学的成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分.①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况.请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可).【思路点拨】(1)5×答对题数-2×答错题数=个人的得分，然后算出4人平均分；(2)①设E同学答对题数为x，得到答错题数，然后利用(1)的关系式列出方程，求解即可；②对比(1)、(2)中每人成绩，得出C同学出错，然后利用二元一次方程的特解找到C同学答题情况.【解答】(1)A同学的成绩为：5×19-2×0+0×1=95，B同学的成绩为：5×17-2×2+0×1=81，C同学的成绩为：5×15-2×2+0×3=71，D同学的成绩为：5×17-2×1+0×2=83.A，B，C，D四位同学成绩的平均分为=82.5.答：A，B，C，D四位同学成绩的平均分为82.5分.(2)①设E同学答对x道题，则答错题数为（13-x）道.由题意可得5x-2(13-x)+0×7=58，解得x=12.答：E同学答对题数为12，答错题数为1.②C同学的成绩记错了.设C同学答对a道题，答错b道题.则5a-2b=64，即有a=.又∵a+b≤20，且a、b为整数，∴可行解只有20-a-b=3.答：C同学答对14道题，答错3道题，未答3道题.方法归纳：解决这类问题的关键是分清题目中哪些信息是没有失误的，哪些信息是有误的.在正确信息下得到的结论仍是正确的，利用正确信息去找失误点，然后解决问题.1.(2022·河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时，对于b2-4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=-,……第一步12\nx2+x+()2=-+()2，……第二步(x+)2=，……第三步x+=(b2-4ac>0)，……第四步x=.……第五步(1)嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是.(2)用配方法解方程x2-2x-24=0.2.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE.求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌△AEC(第一步).∴∠BAE=∠CAE(第二步).问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.3.“？”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批语.12\n题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室前内侧保留3米宽的空地，其他三内侧各保留1米宽的道路，当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区的面积为288m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm?根据题意，得2x·x=288.解这个方程，得x1=-12(不合题意，舍去)，x2=12.所以温室的长为2×12+3+1=28(m)，宽为12+1+1=14(m).答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个“？”.结果为何不正确呢？(1)请你指出小明解答过程中存在的问题，并补充缺少的过程；变化一下会怎样…(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD内部.AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB=2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d满足什么条件？请说明理由.12\n4.(2022·河北)某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵.将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2)，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误.回答下列问题：(1)写出条形图中存在的错误，并说明理由；(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；(3)在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：第一步：求平均数的公式是;第二步：在该问题中，n=4,x1=4,x2=5,x3=6,x4=7;第三步：=4+5+6+74=5.5（棵）.①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵.参考答案题型之一新定义、新概念阅读型1.7,3,1011提示：不妨设某个格点四边形由四个小正方形组成，此时，S=4，N=1，L=8.由题意，可联立方程组解得∴S=N+L-1.∴当N=5，L=14时，S=11.2.由题意得2x-(3-x)>0，∴2x-3+x>0.∴x>1.3.∵3△x=3x-3-x＋1=2x-2，12\n∴解得＜x＜.4.(1)∵点P(2，m)是“梦之点”,∴m＝2，P(2,2).将点P(2,2)代入y=中，得n＝4，∴y=.(2)设函数y=3kx+s-1的图象上存在“梦之点”，∴设该“梦之点”为(a，a)，代入得a=3ka+s-1.∴(3k-1)a=1-s.①3k-1=0，1-s=0，即k=，s=1时，y=x，此时直线上所有点都是“梦之点”；②当3k-1=0,1-s≠0时，此方程无解，不存在“梦之点”；③当3k-1≠0时，即k≠，解得a=，“梦之点”为(,).综上所述，当k≠时，“梦之点”为(,);当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”.5.(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°.∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°.∴∠ADE=∠BEC.∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC.即点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.(2)作图如图2所示.(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.由折叠可知：∠ECM=∠DCM=∠BCE，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°.∴2BE=CE=AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°=，∴BE=BC.即AB=BC.题型之二学习应用型1.2.1；1；1；1.12\n(1)证明：如图，过点B作BH⊥AC于点H，则BH2+AH2=AB2.在Rt△ABH中，sinA=,cosA=，∴sin2A+cos2A=+＝=1.(2)∵sin2A+cos2A=1，sinA=,∴cos2A=1-()2=.又∵cosA>0,∴cosA=.3.(1)∵a+b=(m+n)2，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn.故答案为m2+3n2，2mn.(2)答案不唯一，如：设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2.故答案为4+2，(1+)2.(3)由题意，得a=m2+3n2，b=2mn=4，则mn=2.∵m，n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2.∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13.即a的值为7或13.4.(1)∵点P(1,1)在直线y=3x-2的图象上,∴d=0.(2)因为直线y=2x-1可变形为2x-y-1=0，其中k=2,b=-1,所以点P(2,-1)到直线y=2x-1的距离为：d===.(3)∵直线y=-x+1、y=-x+3平行,∴任取直线y=-x+1上的一点到直线y=-x+3的距离即为两直线之间的距离.∴取y=-x+1上的一点P(0,1)到直线y=-x+3的距离.d====.即两直线之间的距离为.题型之三纠错补全型12\n1.(1)四；.(2)方程x2-2x-24=0变形，得x2-2x=24，x2-2x+1=24+1，(x-1)2=25，x-1=±5，x=1±5，∴x=-4或x=6.2.不正确，错在第一步.正确的推理是：∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.又∠ABE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.又∵AE=AE，EB=EC，∴△ABE≌△ACE(SSS).∴∠BAE=∠CAE.3.(1)这里的长与宽的比为2∶1，是蔬菜大棚的长与宽，而不是蔬菜种植区域.设蔬菜大棚的宽为xm，则其长为2xm，蔬菜种植区域的长为(2x-3-1)=(2x-4)m，宽为(x-1-1)=(x-2)m.依题意，得(2x-4)(x-2)=288.解这个方程，得x1=-10(不合题意，舍去)，x2=14.∴x=14,2x=28.答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2.(2)设AB=x，则AD=2x，那么A′D′=2x-a-c，A′B′=x-b-d.∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，∴AD∶AB=A′D′∶A′B′=2∶1.∴A′D′=2A′B′，∴2x-a-c=2(x-b-d)，∴a+c=2b+2d.4.(1)D有错.理由：D组人数为10%×20=2≠3；(2)众数为5，中位数为5；(3)①第二步，②==5.3.估计这260名学生共植树：5.3×260=1378(棵).12
