第19讲多边形与平行四边形考点1多边形多边形的定义在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段①相接组成的图形叫做多边形.多边形的性质内角和n边形内角和为②.外角和任意多边形的外角和为③.对角线n边形从一个顶点出发可以画④条对角线，一共可以画⑤条对角线.正多边形定义各边⑥，各角也⑦多边形叫做正多边形.性质正n边形的每一个内角的度数都是⑧，每一个外角都是⑨.考点2平行四边形的性质序号平行四边形的性质1平行四边形的对边⑩.2平行四边形的对角⑪.3平行四边形的对角线⑫.4平行四边形是⑬对称图形，它的对称中心是两条对角线的⑭.考点3平行四边形的判定方法序号平行四边形的判定方法1两组对边分别⑮的四边形是平行四边形(定义法).2两组对边分别⑯的四边形是平行四边形.3两组对角分别的四边形是平行四边形.4一组对边的四边形是平行四边形.5对角线的四边形是平行四边形.1.根据多边形的一个内角和一个相邻外角的互补关系，灵活选择公式求内角或外角.2.牢记平行四边形的性质和判定方法，注意它们的区别与联系，可以提高解决平行四边形问题的速度和准确性.命题点1多边形的内角和与外角和例1(2022·莱芜)若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是()A.13B.14C.15D.16【思路点拨】方法一：利用多边形内角和定理可列出等式156°n=(n-2)·180°，解出n值即可；方法二：根据外角和为360°，因为每个内角为156°，所以每个外角为24°，则用360除以24即可求出边数.方法归纳：根据多边形的边数可以求出多边形的内角和，已知内角和也可以求出边数；对于外角相等的多边形，已知每个外角的度数也可以求出边数，对于多边形的问题应注意内角与外角的相互转化.1.如图是一个五边形木架，它的内角和是()A.720°B.540°C.360°D.180°9\n2.(2022·梅州)内角和与外角和相等的多边形的边数为.3.(2022·遵义)正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是.命题点2平行四边形的性质例2(2022·哈尔滨)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F.求证：BE=DF.【思路点拨】根据平行四边形的对边相等得出BC=AD，再由两直线平行内错角相等可得出∠BCA=∠DAC，从而可判断出△CEB≌△AFD，再利用全等三角形的性质即可得出结论.【解答】方法归纳：平行四边形与三角形全等综合考察是常见的考察形式，平行四边形的性质为三角形全等提供了边、角相等的条件.1.(2022·长沙)平行四边形的对角线一定具有的性质是()A.相等B.互相平分C.互相垂直D.互相垂直且相等2.(2022·海南)如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是()A.BO＝DOB.CD＝ABC.∠BAD＝∠BCDD.AC＝BD3.(2022·滨州)在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=.4.(2022·广州)如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF.9\n命题点3平行四边形的判定例3(2022·徐州)已知：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.【思路点拨】连接BD，结合已知条件利用对角线互相平分来证明四边形BEDF是平行四边形.【解答】方法归纳：当要证明平行的两条线段是某四边形的对边时，可以证明这个四边形为平行四边形.证明四边形是平行四边形的方法有五种，方法的选择取决于题目中的条件.1.(2022·昆明)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A.AB∥CD，AD∥BCB.OA=OC,OB=ODC.AD=BC，AB∥CDD.AB=CD,AD=BC2.(2022·台湾)下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形()3.如图，将△ABC绕AC边的中点O旋转180°后与原三角形拼成的四边形一定是.4.(2022·宜宾)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O，E,F在AC上，G,H在BD上，且AF=CE，BH=DG.求证：四边形EGFH为平行四边形.9\n1.(2022·泉州)七边形外角和为()A.180°B.360°C.900°D.1260°2.(2022·衡阳)若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为()A.5B.6C.7D.83.(2022·广东)如图，□ABCD中，下列说法一定正确的是()A.AC=BDB.AC⊥BDC.AB=CDD.AB=BC4.已知四边形ABCD中，AB∥CD.则添加下列条件，不能使四边形ABCD成为平行四边形的是()A.AB=CDB.∠B=∠DC.AD∥BCD.AD=BC5.(2022·宿迁)如图，□ABCD中，BC=BD，∠C=74°，则∠ADB的度数是()A.16°B.22°C.32°D.68°6.如图，在平面直角坐标系中，□MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(3，2)，则点N的坐标是()A.(-3，-2)B.(-3，2)C.(-2，3)D.(2，3)7.(2022·荆门)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC，②AD=BC，③OA=OC，④OB=OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A.3种B.4种C.5种D.6种8.(2022·泰州)五边形的内角和为.9.(2022·内江)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).10.(2022·长春)如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD.若∠B=65°，则∠ADC的大小为度.9\n11.(2022·南京)如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝.12.如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为.13.(2022·台州)如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论.14.(2022·宿迁)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF=∠DEF.15.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.9\n(1)求∠APB的度数；(2)如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长.16.(2022·云南)如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD.(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；(2)求证：BD=MN.17.(2022·毕节)如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为()A.13B.14C.15D.1618.(2022·襄阳)在□ABCD中，BC边上的高为4,AB=5,AC=2,则□ABCD的周长等于.19.如图，在□ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G.(1)求证：BE⊥CF；(2)若AB=3，BC=5，CF=2，求BE的长.9\n参考答案考点解读①首尾顺次②(n-2)×180°③360°④(n-3)⑤⑥相等⑦相等⑧⑨⑩相等⑪相等⑫互相平分⑬中心⑭交点⑮平行⑯相等相等平行且相等互相平分各个击破例1C题组训练1.B2.43.18例2证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD，∴∠BCA=∠DAC.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠CEB=∠AFD=90°，∴△CEB≌△AFD，∴BE=DF.题组训练1.B2.D3.54.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA).例3证明：连接BD与AC相交于点O.∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB=OD，OA=OC.∵AE=CF，∴OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形.题组训练1.C2.B3.平行四边形4.证明:∵平行四边形ABCD中，OA=OC，又∵AF=CE，∴AF-OA=CE-OC，即OF=OE.同理得OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形.整合集训1.B2.C3.C4.D5.C6.A7.B8.540°9.答案不唯一，如：AD＝BC(或AB∥DC)10.6511.72°12.25°13.证明：∵AB=CD，AD=BC，9\n∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC.14.证明：(1)∵点D，E是AB，BC的中点，∴DE∥AC.同理EF∥AB.∴四边形ADEF是平行四边形.(2)∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF=∠DEF.∵在Rt△AHB中，D是AB中点，∴DH=AB=AD，∴∠DAH=∠DHA.同理∠FAH=∠FHA.∴∠DAF=∠DHF.∴∠DHF=∠DEF.15.(1)∵ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°.又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=(∠DAB+∠CBA)=90°，∴∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=90°.(2)∵AP平分∠DAB且AB∥CD，∴∠DAP=∠PAB=∠DPA.∴△ADP是等腰三角形.∴AD=DP=5cm.同理PC=CB=5cm，∴AB=DP+PC=10cm.在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，∴BP==6(cm).∴△APB的周长是6+8+10=24(cm).16.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵M、N分别是AD、BC的中点，∴MD＝NC，MD∥NC，∴四边形MNCD是平行四边形.(2)连接ND，∵N是BC的中点，∴BN=CN.∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等边三角形.∴ND＝NC,∠DNC＝∠NDC＝60°，∴ND＝NB＝CN，∴∠DBC＝∠BDN＝30°，∴∠BDC＝∠BDN+∠NDC＝90°，9\n∴BD＝==CD.∵四边形MNCD是平行四边形，∴MN＝CD,∴BD＝MN.17.B18.2019.(1)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABC.同理∠BCF=∠BCD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠CBE+∠BCF=∠ABC+∠BCD=(∠ABC+∠BCD)=90°,∴∠CGB=90°，即BE⊥CF.(2)过点E作EP∥FC，交BC的延长线于点P，则四边形CPEF是平行四边形.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.在□ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3.同理DF=DC=3.∴EF=AE+DF-AD=1，∴CP=EF=1，EP=CF=2，BP=6.又由(1)已证得BE⊥CF，∴BE⊥EP，∴在Rt△BPE中，BE===4.9
