第五章 四边形第19讲 多边形与平行四边形A组 基础题组一、选择题1.(2022北京)若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为( )A.360°B.540°C.720°D.900°2.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带了两块碎玻璃,其编号应该是( )A.①②B.①④C.③④D.②③3.(2022东营)如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形,你认为下面四个条件中可选择的是( )A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDF11\n4.(2022泰安泰山模拟)如图,▱ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则▱ABCD的两条对角线的和是( )A.18B.28C.36D.465.(2022威海)如图,在▱ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连接BE,下列结论错误的是( )A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE二、填空题6.(2022武汉)如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为 . 7.(2022江苏南京)如图,∠1是五边形ABCDE的一个外角.若∠1=65°,则∠A+∠B+∠C+∠D= °. 8.如图,在▱ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠1=20°,则∠2的度数为 . 11\n9.(2022淄博)在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于 . 三、解答题10.(2022湖北黄冈)如图,在▱ABCD中,分别以边BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE.(1)求证:△ABF≌△EDA;(2)延长AB与CF相交于点G.若AF⊥AE,求证:BF⊥BC.11.(2022菏泽)如图,E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于F,若CD=6,求BF的长.12.已知:如图,在平行四边形ABCD中,点E,F在AC上,且AE=CF.求证:四边形BEDF是平行四边形.11\nB组 提升题组 一、选择题1.将一个n边形变成n+1边形,内角和将( )A.减少180°B.增加90°C.增加180°D.增加360°二、填空题2.如图,在▱ABCD中,BC=10,sinB=910,AC=BC,则▱ABCD的面积是 . 3.如图,在▱ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD'E处,AD'与CE交于点F,若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED'的大小为 . 三、解答题4.(2022重庆)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积;(2)若∠ACB=45°,求证:DF=2CG.11\n第五章 四边形第19讲 多边形与平行四边形A组 基础题组一、选择题1.C 2.D3.D ∵E是BC边的中点,∴CE=BE,∵∠CED=∠BEF,∠F=∠CDF,∴△CDE≌△BFE.∴CD=BF.∵AB=BF,∴CD=AB,∵∠F=∠CDF,∴CD∥AF.∴四边形ABCD为平行四边形,故选D.4.C ∵△OCD的周长为23,∴OC+OD+CD=23.又∵四边形ABCD为平行四边形,且AB=5,∴CD=5,∴OC+OD=18.而平行四边形的对角线互相平分,∴两条对角线的和为36,故选C.5.D ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AH∥BG,AD=BC,∴∠H=∠HBG,∵∠HBG=∠HBA,11\n∴∠H=∠HBA,∴AH=AB,同理可证BG=AB,∴AH=BG,∵AD=BC,∴DH=CG,故选项C正确.∵AH=AB,∠OAH=∠OAB,∴OH=OB,故选项A正确.∵DF∥AB,∴∠DFH=∠ABH,∵∠H=∠ABH,∴∠H=∠DFH,∴DF=DH,同理可证EC=CG,∵DH=CG,∴DF=CE,故选项B正确.无法证明AE=AB.二、填空题6.答案 30°解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D=100°,AB∥CD,∴∠DAB=180°-∠D=80°.∵AE平分∠DAB,∴∠BAE=80°÷2=40°,∵AE=AB,∴∠ABE=(180°-40°)÷2=70°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°.7.答案 425解析 ∵∠1=65°,∴∠AED=115°.∵五边形内角和是540°,∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°-115°=425°.8.答案 110°11\n解析 在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠BAC=∠1=20°.∵BE⊥AB,∴∠ABE=90°,∴∠2=∠BAC+∠ABE=20°+90°=110°.9.答案 10解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,CD=AB=2.由折叠知,∠DAC=∠EAC.∵∠DAC=∠ACB,∴∠ACB=∠EAC.∴OA=OC.∵AE过BC的中点O,∴AO=12BC.∴∠BAC=90°.∴∠ACE=90°.由折叠可知∠ACD=90°,∴E、C、D共线,则DE=4.∴△ADE的周长为3+3+4=10.三、解答题10.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=DE,BF=BC=AD,∠ABC=∠ADC,又∠CBF=∠CDE,∴∠ABF=∠ADE,在△ABF与△EDA中,AB=ED,∠ABF=∠EDA,BF=DA,∴△ABF≌△EDA.(2)由(1)知∠EAD=∠AFB,∴∠GBF=∠AFB+∠BAF=∠EAD+∠BAF,易知AD∥BC,11\n∴∠DAG=∠CBG,∵AF⊥AE,∴∠EAF=90°,∴∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°,∴BF⊥BC.11.解析 ∵E是▱ABCD的边AD的中点,∴AE=DE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=6,AB∥CD,∴∠F=∠DCE,在△AEF和△DEC中,∠F=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD=6,∴BF=AB+AF=12.12.证明 如图,连接BD,与AC交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF,OA-AE=OC-CF,∴OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形.B组 提升题组一、选择题1.C n边形的内角和是(n-2)·180°,(n+1)边形的内角和是(n-1)·180°,因而(n+1)边形的内角和比n边形的内角和大(n-1)·180°-(n-2)·180°=180°.故选C.二、填空题11\n2.答案 1819解析 作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中,sinB=910,∴CE=BC·sinB=10×910=9.∵BC=10,∴BE=BC2-CE2=102-92=19.∵AC=BC,CE⊥AB,∴AB=2BE=219,∴▱ABCD的面积是219×9=1819.3.答案 36°解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=52°,∴∠D=52°.∵∠DAE=20°,∴∠AED=180°-20°-52°=108°,∠AEC=20°+52°=72°.由折叠的性质可得∠AED'=∠AED=108°,∴∠FED'=∠AED'-∠AEC=108°-72°=36°.三、解答题4.解析 (1)∵AH=3,HE=1,AB=AE,∴AB=AE=AH+HE=4.∵BG⊥AE,∴∠AHB=90°.∴AB2=AH2+BH2.∴BH=AB2-AH2=42-32=7.∴S△ABE=12AE·BH=12×4×7=27.(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,11\n∴∠FAO=∠ECO.∵点O为AC的中点,∴AO=CO.在△AOF和△COE中,∵∠FAO=∠ECO,AO=CO,∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE.∴DF=BE.如图,过点A作AM⊥BC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GN⊥BC交BC于点N.∴∠AMB=∠AME=∠GNC=∠GNB=90°.∴∠AHB=∠AMB.∵∠AQH=∠BQM,∴∠QAH=∠GBN.∵AB=AE,AM⊥BE,∴∠BAM=∠QAH,BM=ME.∴∠BAM=∠QAH=∠GBN.∵∠ACB=45°,AM⊥BE,∴∠CAM=∠ACB=45°.∵∠BAG=45°+∠BAM,∠BGA=45°+∠GBN,∴∠BAG=∠BGA.∴AB=GB.∵AB=AE,∴AE=BG.在△AME和△BNG中,∠AME=∠BNG,∠EAM=∠GBN,AE=BG,∴△AME≌△BNG.∴ME=NG.∴BE=2ME=2NG.11\n在Rt△GNC中,∵∠GCN=45°,∴CG=2NG.∴2CG=2NG,即BE=2NG=2CG.∴DF=BE=2CG.11
