圆的有关计算与证明圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系.例(2022·江西)如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.(1)求△OPC的最大面积；(2)求∠OCP的最大度数；(3)如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB.当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线.【思路点拨】(1)当OP⊥OC时△OPC的面积最大，利用已知条件即可求出△OPC的最大面积；(2)当PC与⊙O相切时∠OCP的度数最大，利用三角函数可求出∠OCP的最大度数；(3)连接AP，BP，由圆的有关知识可得△OPC≌△PBD，从而得出∠OPC＝∠PBD，继而可证得结论【解答】(1)∵△OPC的边长OC的是定值，∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大.∵AB＝4，BC＝2，∴OP＝OB＝2，OC＝OB+BC＝4.∴S△OPC＝OC·OP＝×4×2＝4,即△OPC的最大面积为4.(2)当PC与⊙O相切，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大.在Rt△OPC中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，∴sin∠OCP＝＝，∴∠OCP＝30°.(3)证明：如图2，连接AP，BP.∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.∵CP＝DB，∴AP＝PC，∴∠A＝∠C.∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.∵OC＝PD＝4，PC＝BD，∴△OPC≌△PBD，∴∠OPC＝∠PBD.∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°，∴∠OPC＝90°，∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线.方法归纳：与圆有关的计算和证明通常都与切线有关，切线的性质和判定的运用是解决这类题目的关键.1.(2022·黄石)如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点.6\n(1)求证：AB平分∠OAC；(2)延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长.2.(2022·昆明)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)3.(2022·东营)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD.(1)求证：FD是⊙O的一条切线；(2)若AB=10，AC=8，求DF的长.4.(2022·丽水)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作⊙6\nO的切线，交AC的延长线于点F.(1)求证：BE=CE；(2)求∠CBF的度数；(3)若AB=6，求的长.5.(2022·临沂)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.(1)证明：DE为⊙O的切线；(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.6.(2022·泸州)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.6\n（1）求证：CD2=CA·CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=.求BE的长.参考答案1.(1)证明：连接OC.∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.∴OA=AC.同理OB=BC.∴OA=AC=BC=OB.∴四边形AOBC是菱形.∴AB平分∠OAC.(2)∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°.∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形.∵OA=AC，∴AP=AC.∴∠APC=30°.∴△OPC是直角三角形.∴PC=OC=.2.(1)证明：∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1.又∵∠A=2∠1，∴∠DOC=∠A.∵∠A+∠C=90°，∴∠DOC+∠C=90°，∴OD⊥DC.6\n∴AC是⊙O的切线.(2)∵∠A=60°，∴∠C=30°，∠DOC=60°.在Rt△DOC中，OD=2，∴CD=OD=2.∴阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE=×2×2-=2-.3.(1)证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD，∴FD∥AC.∵∠AEO=90°，∴∠FDO=90°，∴FD是⊙O的一条切线.(2)∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，∴AE=EC=4，AO=5，∴EO=3.∵AE∥FD，∴△AEO∽△FDO.∴=.∴=，解得FD=.4.(1)证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC.又∵AB=AC，∴BE=CE.(2)∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°.又∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=27°.(3)连接OD.∵∠BAC=54°，∴∠BOD=108°，∴∠AOD=72°.又∵AB=6，∴OA=3.∴==.5.(1)证明：连接OD，CD.∵BC为⊙O直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB.∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD.∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线.∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵D点在⊙O上，∴DE为⊙O的切线.(2)∵∠A=∠B=30°，BC=4，6\n∴CD=BC=2，BD=BC·cos30°=2.∴AD=BD=2，AB=2BD=4，∴S△ABC=AB·CD=×4×2=4.∵DE⊥AC，∴DE=AD=×2=，AE=AD·cos30°=3.∴S△ODE=OD·DE=×2×=，S△ADE=AE·DE=××3=.∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=14×4=，∴S△OEC=S△ABC-S△BOD-S△ODE-S△ADE=4---=.6.(1)证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△CAD∽△CDB,∴=.∴CD2=CA·CB.(2)证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.∵∠OBD=∠CDA，∴∠CDA=∠ODB.∴∠ODC=∠ADB=90°,∴CD是⊙O的切线.(3)∵tan∠CDA=，∴tan∠CBD=.在Rt△ABD中，tan∠CBD==，由(1)得△CAD∽△CDB，∴==.∴CD=8.设BE=x，则DE=x，由勾股定理得x2+122=(x+8)2.解得x=5，即BE=5.6
