圆的有关证明与计算纵观贵州9地州近年的中考，圆的有关证明与计算是中考的必考内容之一，占较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时还要注意已知条件之间的相互联系．类型1 与圆的性质有关的证明与计算 (2022·贵阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B＝30°，FO＝2.(1)求AC的长度；(2)求图中阴影部分的面积．(计算结果保留根号)【思路点拨】 (1)在Rt△FBO中，先利用锐角三角函数计算OB的长，进而得到直径AB的长，最后再在Rt△ABC中利用30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC的长；(2)求阴影部分的面积需要转化为S△ACF＋S△FOD＝S△AOF＋S△FOD＝S△AOD.【解答】 (1)在Rt△FBO中，∵∠ABC＝30°，∠FOB＝90°，FO＝2，∴FB＝4，OB＝6.∴AB＝2BO＝12.又∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6.(2)连接BD，过点D作DM⊥AB于M.∵FO为AB的中垂线，∴FA＝FB.∴∠FAO＝∠FBO＝30°.∴∠DOM＝2∠FAO＝60°.在Rt△DOM中，sin∠DOM＝，即DM＝3.又∵∠C＝∠AOF＝90°，AC＝AO＝6，AF＝AF，∴Rt△AFC≌Rt△AFO(HL)．∴S△CAF＝S△OAF.∴S阴影部分＝S△ACF＋S△FOD＝S△AOF＋S△FOD＝S△AOD＝AO·DM＝×6×3＝9.解决与圆的性质有关证明与计算：(1)结合题意，分析图形中相关信息，运用圆的有关性质或其他知识的综合，解决证明或计算问题；(2)对于求简单组合图形的面积，关键是分离出一些基本的几何图形，通过观察图形之间的关系，巧妙地转化成规则图形的面积和、差，然后利用图形之间的数量关系，最后得出正确结论，使复杂问题简单化．1．(2022·黔西南)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥PD；9\n(2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．2．(2022·六盘水模拟)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．3.(2022·遵义)如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE.(1)求证：D是BC的中点；(2)若DE＝3，BD－AD＝2，求⊙O的半径；(3)在(2)的条件下，求弦AE的长．类型2 与圆的切线有关的证明与计算 (2022·黔东南)如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上一点，PM与⊙O相切于点E，⊙O交PC于A、B两点．(1)求证：PN与⊙O相切；9\n(2)如果∠MPC＝30°，PE＝2，求劣弧的长．【思路点拨】 (1)连接OE，过点O作OF⊥PN于点F，证明OF＝OE即可；(2)要求劣弧的长，就得先求∠BOE的度数和⊙O的半径，而这两者都不难从已知条件中得出．【解答】 (1)证明：连接OE，过O作OF⊥PN于F.∵PM与⊙O相切于点E，∴OE⊥PM.又∵PC平分∠MPN，OF⊥PN，∴OE＝OF.∴PN是⊙O的切线．(2)在Rt△POE中，∠MPC＝30°，PE＝2，∴OE＝PE·tan∠EPO＝2×＝2.∵∠EOB是△PEO的外角，∴∠EOB＝∠EPO＋∠PEO＝30°＋90°＝120°，∴劣弧的长＝＝＝.(1)证明切线常用方法：①有切点，连半径、证垂直；②无切点，作垂线，证相等．(2)利用切线性质求线段长度策略：一般是连接过切点的半径，构造直角三角形，根据解直角三角形或利用勾股定理来解决问题，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质来解决问题．1．(2022·六盘水)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.2.(2022·安顺模拟)已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC(C为切点)和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC.(1)求证：∠PCA＝∠PBC；(2)利用(1)的结论，已知PA＝3，PB＝5，求PC的长．9\n3．(2022·安顺模拟)如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE＝60°，∠C＝30°.(1)判断直线CD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)若AD＝3，求⊙O的直径．4．(2022·安顺)如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12.以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求cosE的值．5．(2022·随州)如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO.(1)在PO的上方作射线PC，使∠OPC＝∠OPA(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法)，并证明：PC是⊙O的切线；(2)在(1)的条件下，若PC切⊙O于点B，AB＝AP＝4，求的长．6.(2022·咸宁)如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若点E为的中点，AD＝，AC＝8，求AB和CE的长．7．(2022·遵义模拟)如图，已知BC是以AB为直径的⊙O的切线，且BC＝AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF＝FB.(1)求证：DF是⊙O的切线；9\n(2)若BE＝2，求⊙O的半径．参考答案类型1 1.(1)证明：∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P.∴CB∥PD.(2)连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴＝.∴∠P＝∠CAB，∴sin∠CAB＝，即＝.又知BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O直径为5.2．(1)证明：作OE⊥AB，∵AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.(2)连接OC，OA，过点O作OE⊥AB于点E，则OE＝6.∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8.∴AC＝AE－CE＝8－2.3．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD.又AB＝AC，∴BD＝CD，即D是BC的中点．(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.又∠ABC＝∠AED，∴∠C＝∠AED.∴DE＝DC＝3.∴BD＝DC＝3.9\n∴AD＝BD－2＝1.在Rt△ABD中，AB＝＝.∴⊙O的半径为.(3)连接BE.易证△ADC∽△BEC，∴＝，即＝，解得EC＝.∴AE＝EC－AC＝.类型2 1.证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.∴∠C＝∠ADO＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB.(2)由(1)知：△ADO∽△ACB.∴＝，即AD·BC＝AC·OD.∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.2．(1)证明：连接OC，OA，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC.∴∠PCO＝90°，∠PCA＋∠ACO＝90°.在△AOC中，∠ACO＋∠CAO＋∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠PBC，∴2∠ACO＋2∠PBC＝180°.∴∠ACO＋∠PBC＝90°.∵∠PCA＋∠ACO＝90°，∴∠PCA＝∠PBC.(2)∵∠PCA＝∠PBC，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB.∴＝，即PC2＝PA·PB.∵PA＝3，PB＝5，∴PC＝＝.3．(1)CD是⊙O的切线．连接OD，BD，9\n∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠ADE＝∠A＋∠C，∠ADE＝60°，∠C＝30°，∴60°＝∠A＋30°，即∠A＝30°.∴AB＝2BD.∵AO＝DO，∴∠A＝∠ADO＝30°.∴∠ADE＋∠ADO＝∠EDO＝60°＋30°＝90°.∴OD⊥CE.∴CD是⊙O的切线．(2)设DB＝x，则AB＝2x，在Rt△ADB中，由勾股定理，得4x2－x2＝(3)2.解得x＝3.∴AB＝6.∴⊙O的直径为6.4．(1)证明：连接OD、CD.∵BC是⊙O的直径，∴CD⊥AB.∵AC＝BC.∴D是AB的中点．又O为CB的中点，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD.∴EF是⊙O的切线．(2)连接BG.∵BC是⊙O的直径，∴∠BGC＝90°.在Rt△ACD中，DC＝＝＝8.∵AB·CD＝2S△ABC＝AC·BG，∴BG＝＝＝.∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF,∴∠E＝∠CBG.∴cosE＝cos∠CBG＝＝.5(1)作图如图．证明：连接OA，过O作OB⊥PC于点B.∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA.又∵∠OPC＝∠OPA，OB⊥PC，9\n∴OA＝OB.∴PC是⊙O的切线．(2)∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA＝PB.又∵AB＝AP＝4，∴△PAB是等边三角形．∴∠APB＝60°.∴∠AOB＝120°，∠POA＝60°.在Rt△AOP中，tan60°＝，∴OA＝.∴l＝＝π.6．(1)证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴OC∥AD.∴∠DAC＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠OAC＝∠DAC，即AC平分∠DAB.(2)连接BC，OE，过点A作AF⊥EC于点F.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACB＝∠ADC.∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB.∴＝，即＝，解得AB＝10.∴BC＝＝6，∵点E为的中点，∴∠AOE＝90°.∴OE＝OA＝AB＝5，∴AE＝＝5.∵∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△AFE，∴＝＝.9\n∴＝＝.∴AF＝4，EF＝3.∵∠ACF＝∠AOE＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形．∴CF＝AF＝4.∴CE＝CF＋EF＝7.7．(1)证明：连接BD，∵BC是⊙O的切线，AB是直径，∴AB⊥BC.∴∠FBD＋∠OBD＝90°.∵DF＝FB，∴∠FDB＝∠FBD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠FDB＋∠ODB＝∠FBD＋∠OBD＝90°，即OD⊥DF.∴DF是⊙O的切线．(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠FDB＋∠FDE＝∠FBD＋∠FED＝90°.∵∠FDB＝∠FBD，∴∠FDE＝∠FED.∴FD＝FE＝FB＝BE＝1.在Rt△OBC中，tan∠OCB＝＝＝，在Rt△CDF中，tan∠OCB＝，∴＝.∵DF＝1，∴CD＝2.在Rt△CDF中，由勾股定理可得：CF＝，∴OB＝BC＝，即⊙O的半径是.9
