2022-2022年江苏无锡中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题12：押轴题一、选择题1.（2022江苏无锡3分）某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10%（相对于进价），另一台空调调价后售出则要亏本10%，这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出【】A．既不获利也不赔本B．可获利1%C．要亏本2%D．要亏本1%2.（江苏省无锡市2022年3分）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是【】A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．D．【答案】D。【考点】三角形中位线定理，三角形三边关系。【分析】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG。48\n∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1。∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=。在△MNG中，由三角形三边关系可知MG－NG＜MN＜MG＋NG，即＜MN＜，∴。当MN=MG＋NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，∴线段MN长的取值范围是。故选D。3.（江苏省无锡市2022年3分）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有【】A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B。【考点】三角形三边关系。【分析】根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过5，因此画树状图如下：可知，满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的三个数有三组：2，3，4；2，4，5；3，4，5。则这样的三角形共有三个。故选B。4.（江苏省无锡市2022年3分）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少.其中正确的说法共有【】A、1个B、2个C、3个D、4个48\n5.（江苏省无锡市2022年3分）如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是【】A、B、C、D、【答案】B。【考点】几何体的展开图【分析】根据三棱锥的图形特点，可得展开图为B。故选B。6.（江苏省无锡市2022年3分）探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2022到2022再到2022，箭头的方向是【】【答案】A。48\n【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】根据观察图形可知箭头的方向每4次重复一遍，∵除尽，∴2022所在的位置与图中的4所在的位置相同。因此从2022到2022再到2022的箭头方向为：故选A。7.（江苏省无锡市2022年3分）任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成，，这三种，这时就有．给出下列关于的说法：（1）；（2）；（3）；（4）若是一个完全平方数，则．其中正确说法的个数是【】Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】B。【考点】新定义，绝对值的概念，求函数值。【分析】根据定义逐项分析：（1）2只有一个分解：1×2，∴。选项正确。（2）24的分解为：1×24，2×12，3×8，4×6，最佳分解为4×6，∴。选项错误。（3）27的分解为：1×27，3×9，最佳分解为3×9，∴。选项错误。（4）是一个完全平方数，它的最佳分解为×，这种分解中两因数之差的绝对值为0最小，∴。选项正确。故选B。8.（江苏省无锡市2022年3分）48\n如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为【】Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】A。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】先根据正方形的对称性得到阴影部分是正方形，设正方形的边长为3a，利用勾股定理求出CH、DM、HM的长，即可得到MN的长，也就是阴影部分的边长，面积也就求出了，再求比值即可：设CH与DE、BG分别相交于点M、N，正方形的边长为3a，DH=CG=a，由正方形的中心对称性知，阴影部分为正方形，且△ADE≌△DCH。从而可得DM⊥CH。在Rt△CDH中，由勾股定理得CH=，由面积公式得，得DM=。在Rt△DMH中由勾股定理得MH=，则MN=CH－MH－CN=－－。∴阴影部分的面积：正方形ABCD的面积=。故选A。9.（江苏省2022年3分）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；48\n第2个数：；第3个数：；……第个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【】A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数【答案】A。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：第1个数：；第2个数：；第3个数：；按此规律，第个数：；第个数：。∵，∴越大，第个数越小，所以选A。10.(江苏省无锡市2022年3分)如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值【】A．等于2B．等于C．等于D．无法确定48\n【答案】B。【考点】反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】求反比例系数k的值，一般有两种方法，一种是求反比例函数上一点，用待定系数法求k；另一种是抓住反比例系数k的几何意义。因此，延长BC交y轴与M点，过D作DN⊥x轴于N。由题意易知，四边形OABM为矩形，且S△OBM=S△OBA由k的几何意义知，S△COM=S△DON，∴S四边形DNAB=S△BOC=3而△ODN∽△OBA，相似比为OD：OB=1:3，∴S△ODN：S△OBA=1:9。∴S△ODN：S四边形DNAB=1:8。∴S△ODN=，∴k=。故选B。11.(江苏省无锡市2022年3分)如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于的不等式的解集是【】A．>1B．<－1C．0<<1D．－1<<0【答案】D．【考点】点的坐标与方程的关系,不等式的解集与图像的关系，二次函数图像。【分析】由抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1,代入可得交点A的纵坐标是2。把(1，2)代入可得。从而。则求不等式的解集等同于问当48\n为何值时函数图像在函数图像下方。由二次函数图像性质知，函数图像开口向下，顶点在（0，－1），与图像的交点横坐标是－1。故当－1<<0时，函数图像在函数图像下方，从而关于的不等式的解集是－1<<0。故选D。12.（2022江苏无锡3分）如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，P是⊙M上异于A．B的一动点，直线PA．PB分别交y轴于C．D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长【】 A．等于4B．等于4C．等于6D．随P点【答案】C。【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。【分析】连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1。∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°。∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°。∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB。∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA。∴，即，即r2﹣x2=9。由垂径定理得：OE=OF，由勾股定理得：OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9。∴OE=OF=3，∴EF=2OE=6。故选C。二、填空题1.（2022江苏无锡3分）某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，途中因车出现故障而停车修理，到达乙埋正好用了2小时，已知摩托车行驶的路程S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系由如图的图象ABCD给出，若这辆摩托车平均每行驶100千米的耗油量为2升，根据图中给出的信息，从甲地到乙地，这辆摩托车共耗油量▲升。48\n2.江苏省无锡市2022年3分）给出下列命题：①顺次连接矩形四边中点所得的四边形是矩形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题的序号是▲（请把所有真命题的序号都填上）．【答案】③。【考点】命题与定理，平行四边形、矩形和的正方形判定。【分析】逐个分析各项，利用排除法得出答案：①因为顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形，所以命题错误；②对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，所以命题错误；③一组对边平行，一组对角相等的条件可转化为两组对角相等，它是平行四边形，所以命题正确；48\n④因为一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，所以命题错误。真命题的序号是③。3.（江苏省无锡市2022年3分）观察下列等式，你会发现什么规律：1×3＋1＝22；2×4＋1＝32；3×5＋1＝42；4×6＋1＝52；…….请将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来：▲.【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】∵∴第n个式子为。4.（江苏省无锡市2022年3分）如图，ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是▲（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）.【答案】AC⊥EF（答案不唯一）。【考点】平行四边形的性质，菱形的判定。【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形。因此，根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，则添加的一个条件可以是：AC⊥EF。5.（江苏省无锡市2022年2分）一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是▲个单位.。【答案】50。【考点】分类归纳（图形的变化类）。48\n【分析】由题意可知，如图，第1、2次落点处离O点的距离是1个单位，第3、4次落点处离O点的距离是2个单位，第5、6次落点处离O点的距离是3个单位，以此类推，找出规律，第次落下时，落点处离O点的距离是个单位。所以，第100次落下时，落点处离O点的距离是50个单位。6.（江苏省无锡市2022年2分）在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下：当a≥b时，ab＝b2；当a＜b时，ab＝a。则当x＝2时，（1x）·x－（3x）的值为▲_（“·”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）。【答案】－2。【考点】新定义，有理数的混合运算。【分析】认真分析找出规律，可以先分别求得（12）和（32），再求（1x）•x－（3x）的值：按照运算法则可得（12）=1，（32）=4，∴（1x）•x-（3x）=1×2－4=－2。7.（江苏省无锡市2022年2分）如图1是一种带有黑白双色、边长是的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案．已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为元／和元／，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是▲元（取，结果精确到元）．图1 图2【答案】。【考点】正方形的性质，扇形面积的计算，二次函数的最值。【分析】由图可知：每块正方形瓷砖的黑色部分都是由两个全等的直角三角形和一个扇形组成，可设扇形的半径为xcm，则直角三角形的短直角边长为（20－x）cm，即可表示出正方形瓷砖黑色部分的面积，从而表示出白色部分的面积，然后算出各种材料费之和，根据函数的最值问题得解即可：设圆的半径为xcm，则三角形的短直角边为（20－x）cm，则小方砖黑部分的面积为，白色部分的面积为：。∴一块小方砖的小成本48\n∴。8.（江苏省无锡市2022年2分）已知：如图，边长为的正△ABC内有一边长为的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为▲．【答案】。【考点】正三角形的性质，三角形内切圆的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，三角形的面积。【分析】边长为b的内接正三角形DEF，内接于边长为a的正三角形ABC则∠A=∠B=∠EFD=60°,AB=a，EF=DE=b，∠AFE+∠AEF=∠BED+∠AEF=120°∴∠AFE=∠BED。∴△AEF≌△BDE（AAS）。同理可证△AEF≌△CFD。∴AE=BD。∴AF+BD=a。∴AF+AE=a。设△AEF的内切圆圆心为O,半径为r则。又△ABC边上的高为，△DEF边上的高为，则，。由得，，解得。9.（江苏省2022年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理48\n【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。10.(江苏省无锡市2022年2分)一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了▲．【注：销售利润率=（售价—进价）÷进价】【答案】40%。【考点】利润问题。【分析】处理利润问题关键是掌握三个量：进价、售价、利润．同时，利用特殊值法解决本题：不妨设进价为100元，则销售利润为47元，即售价为147元．进价提高了5%，则此时进价为105元，利润为42元．故利润率为。11.(江苏省无锡市2022年2分)如图，以原点O为圆心的圆交X轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD=▲°．【答案】65。【考点】圆周角定理。【分析】根据同(等)弧所对圆周角相等的性质，直接得出结果:设⊙O交y轴的负半轴于点E,连接AE，则圆周角∠OCD＝圆周角∠DAE＝∠DAB＋∠BAE，易知∠BAE所对弧的圆心角为900，故∠BAE＝450。从而∠OCD＝200＋450＝650。12.（2022江苏无锡2分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A．B．C．D．E、F中，会过点（45，2）的是点 ▲ ．48\n【答案】B。【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正多边形和圆，旋转的性质。【分析】由正六边形ABCDEF中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0），得正六边形边长为1，周长为6。∴正六边形滚动一周等于6。如图所示。当正六边形ABCDEF滚动到位置1，2，3，4，5，6，7时，顶点A．B．C．D．E、F的纵坐标为2。位置1时，点A的横坐标也为2。又∵（45－2）÷6=7…1，∴恰好滚动7周多一个，即与位置2顶点的纵坐标相同，此点是点B。∴会过点（45，2）的是点B。三、解答题1.（2022江苏无锡10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E是腰AB上的一点，连接CE，（1）如果CE⊥AB，AB=CD，BE=3AE，求∠B的度数；（2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，试求的值．【答案】解：（1）如图，延长BA、CD相交于点M。48\n∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC。∴。∵BC=3AD，∴。∴MB=3MA。设MA=2x，则MB=6x。∴AB=4x。∵BE=3AE，∴BE=3x，AE=x。∴BE=EM=3x，即E为MB的中点。又∵CE⊥AB，∴CB=MC。又∵MB=MC，∴△MBC为等边三角形。∴∠B=60°。（2）如图，延长BA、CD相交于点M。∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC。∴。设S△MAD=S3=a，则S△MAD=9a，S1+S2=8a。又∵2S1=3S2，∴S1=，S2=。∵△EMC与△CEB等高，∴。设ME=7k，则BE=8k，MB=15k。∴MA=MB=5k。∴AE=7k－5k=2k。∴。【考点】相似三角形的判定和性质，等腰（边）三角形的判定和性质。【分析】（1）延长BA与CD，然后根据面积的关系求得△MBC是等边三角形，即可得∠B为60°。（2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得AE与BE的比。2.（2022江苏无锡10分）已知直线（m＞0）与x轴、y轴分别交于点C和点E，过E点的抛物线的顶点为D，（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x248\n），问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）直线（m＞0）与x轴、y轴分别交于点C和点E，当y=0时，x=；当x=0时，y=m。∴C（，0）E（0，m）。∴CE=。由题意，抛物线过E点可得：m=c。抛物线的顶点为D。由△CDE恰为等边三角形可知D点坐标为（，2m）。∴，解得。∴。（2）不存在。理由如下：由（1）得抛物线的解析式为。∵A（x1，0）为抛物线交于x轴的交点，若∠AEC=90°，则A点坐标为A。将A点坐标代入抛物线解析式得解得m=0，不符合题意。∴不存在m使得∠AEC=90°。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等边三角形的性质，反证法，直角三角形的性质。【分析】（1）根据直线解析式求出C、E两点坐标，再求出顶点D坐标，根据△CDE恰为等边三角形的条件便可求出b的值。（2）先求出A点坐标，将A点坐标代入抛物线的解析式，求出m值，然后检验便可知道不存在m使得∠AEC=90°。3.（江苏省无锡市2022年10分）48\n某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算：今年开关的年产量y（万只）与投入的改造经费x（万元）之间满足3－y与x+1成反比例，且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只．（1）求年产量y（万只）与改造经费x（万元）之间的函数解析式．（不要求写出x的取值范围）（2）已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外，今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用．①求平均每只开关所需的生产费用为多少元？（用含y的代数式表示）（生产费用=固定费用+材料费）②如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？（销售利润=销售收入一生产费用-改造费用）【答案】解：（1）设，∵（1，2）符合函数解析式，∴，解得：k=2。∴，即。∴年产量y（万只）与改造经费x（万元）之间的函数解析式为。（2）①平均每只开关所需的生产费用为。②设今年需投入改造经费万元，则解得=3。∴今年需投入改造经费3万元，才能使今年的销售利润为9.5万元。【考点】反比例函数的应用，待定系数法。【分析】（1）设出3－y与x+1之间的关系式，把（1，2）代入即可求得函数解析式。（2）①平均每只开关所需的生产费用=每只开关材料费+固定费用÷生产数量。②等量关系为：利润=销售收入－生产费用－改造经费=销售定价×y－每只开关生产费用×y－改造经费。4.（江苏省无锡市2022年10分）已知直线y=kx－4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线过A、C两点，且与x轴交于另一点B．48\n（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式．（2）问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）易知：A（，0），k＞0，AO=3BO，∴OA=，OB=，B（，0），∴AB=。过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，在直角三角形ADE中，则。根据直线AC的斜率可知：直角三角形ABE中，tan∠BAE=k，因此，即：，解得（负值舍去）。∴直线的解析式为。∴A（3，0），B（－1，0）。设抛物线的解析式为y=a（x－3）（x＋1），由于抛物线过C（0，－4），则有：a（0－3）（0＋1）=－4，a=，∴抛物线的解析式为y=（x－3）（x＋1），即。
（2）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2＋bx－4。设△ABC的外接圆圆心为P，连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，∵⊙P截y轴所得弦长为5，且过点A、B及C（0，－4）。∴⊙P过点D（0，1）。∴P点在x轴下方。∴CF=DF=，PE=OF=。∵∠APE=∠APB=∠ACB，∴tan∠APE==tan∠ACB=2∴AE=2PE=3，∴AB=2AE=6。∵OA•OB=OC•OD，即－x1x2=4。∴=4，a=1。∴抛物线的解析式为y=x2＋bx－4。48\n∵AB=6，∴x1－x2=6。∴。∴b=±2。∴存在这样的抛物线y=x2±2x－4。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，直线斜率的几何意义，相交弦定理，垂径定理，圆周角定理，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）本题可通过构建直角三角形求解，过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，可根据直线的解析式用k表示出OA、OB的长，即可得出AB的长，已知了BE的长度，可用勾股定理求出AE的长。AE长的另一种表示方法：在直角三角形ABE中，∠BAE的正弦值正好是斜率k，因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的长表示出AE，然后联立两个AE的表达式即可求出k的值．从而可求出直线的解析式和抛物线的解析式。（2）已知了C点坐标，关键是确定抛物线的二次项系数和一次项系数．可用一元二次方程根与系数的关系来求解。已知了三角形ABC的外接圆（设圆心为P）截y轴的弦长为5，那么OD=1，根据相交弦定理可求出OA•OB的值，即可得出一元二次方程根与系数的关系中两根积的值，即可求出二次项系数的值．连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F。根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠ACB=∠APE，那么tan∠APE=2，据此可求出AE和AB的长，即可得出A、B横坐标差的绝对值，由此可求出一次项系数的值，即可确定抛物线的解析式。5.（江苏省无锡市2022年9分）某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案.方案规定：每位销售人员的工资总额＝基本工资＋奖励工资.每位销售人员的月销售定额为10000元，在销售定额内，得基本工资200元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资.奖励工资发放比例如表1所示.⑴已知销售员甲本月领到的工资总额为800元，请问销售员甲本月的销售额为多少元？⑵依法纳税是每个公民应尽的义务.根据我国税法规定，每月工资总额不超过800元不要缴纳个人所得税；超过800元的部分为“全月应纳税所得额”，表2是缴纳个人所得税税率表.若销售员乙本月共销售A、B两种型号的彩电21台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知A型彩电的销售价为每台1000元，B型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售A型彩电多少台？48\n【答案】解：（1）∵当销售额为15000元时，工资总额=200+5000×5%=450元,当销售额为20000元时，工资总额=200+5000×5%+5000×8%=850元,∴450＜800＜850。设销售员甲该月的销售额为x元，则200+5000×5%+（x－15000）×8%=800，解得：x=19375元，∴销售员甲该月的销售额为19375元。（2）设销售员乙未交个人所得税前的工资总额为a元，由题意得：a－（a－800）×5%=1275，解得：a=1300。∴超过20000元部分的销售额为（1300－850）÷10%=4500，∴销售员乙的销售总额=20000+4500=24500。设A型彩电销售x台，则B型彩电销售了（21－x）台，由题意得：1000x+1500（21－x）=24500，解得：x=14。∴销售员乙本月销售A型彩电14台。【考点】一元一次方程的应用。【分析】（1）先求出800元的工资对应哪一段销售定额，再设未知数列方程求解。（2）先求出销售员乙的销售总额，再设未知数列方程求解。6.（江苏省无锡市2022年10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S△OAC－S△OBC＝OA·OB）.⑴求b的值；⑵若tan∠CAB＝，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，说明理由.48\n【答案】解：（1）设A（x1，0）、B（x2，0），由题设可求得C点的坐标为（0，c），且x1＜0，x2＞0。∵a＜0，∴c＞0。由S△OAC－S△OBC＝OA·OB，得：，即。∴。∴b=－2。（2）存在。理由如下：设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N∵tan∠CAB=，∴OA=2•OC=2c。∴A点的坐标为（－2c，0）。∵A点在抛物线上，∴将x=－2c，y=0代入y=ax2－2x＋c，得。又∵x1、x2为方程ax2－2x＋c=0的两根，∴，即。∴。∴B点的坐标为(，0)。∴顶点P的坐标为（）。由相交弦定理得：AM•BM=PM•MN又∵，∴AM=BM=，PM=。若△PAB的外接圆半径为，则直径PN=，MN=－。∴，解得，∴。∴所求抛物线的函数解析式是：。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相交弦定理。【分析】（1）可根据S△OAC－S△OBC＝OA·OB来求解，先用OA、OC、OB的长，表示出△OAC、△OBC的面积，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求出b的值。48\n（2）先根据tan∠CAB的值，在直角三角形AOC中，用OC表示出OA的长，即可得出A点的坐标，将A的坐标代入抛物线的解析式中，可将抛物线解析式中的待定系数减少为1个，然后用这个待定系数表示出P、B点的坐标，即可得出AB的长，如果过P作抛物线的对称轴交x轴于M，交圆于N，那么△PAB的外心必在PN（抛物线的对称轴）上，那么可根据相交弦定理得出AM•BM=PM•MN，据此可求出抛物线中的待定系数，由此可得出抛物线的解析式。7.（江苏省无锡市2022年10分）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.【答案】解：（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=a－x在Rt△DEM中，∠D=90°，DE2+DM2=EM2，即x2+（）2=（a－x）2，解得，。∴EM=a－x=。∴DE：DM：EM=。（2）△CMG的周长与点M的位置无关。理由如下；设CM=x，DE=y，∵AB=2a，∴DM=2a－x，EM=2a－y。∵∠EMG=90°，∴∠DME+∠CMG=900。∵∠DME+∠DEM=90°，∴∠DEM=∠CMG。又∵∠D=∠C=90°，∴△DEM∽△CMG。∴即。∴。在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2，即（2a－x）2＋y2=（2a－y）2，整理得4ax－x2=4ay。48\n∴△CMG的周长为CM+MG+CG=。所以△CMG的周长为4a，与点M的位置无关。【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，代数式化简。【分析】（1）设正方形边长为a，DE为x，则根据折叠知道DM=，EM=EA=a－x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，这样用a表示了DE，DN，EM，即可求出它们的比值。（2）△CMG的周长与点M的位置无关。设CM=x，DE=y，则DM=2a－x，EM=2a－y。根据正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4ax－x2=4ay，结合△CMG的周长，就可以判断△CMG的周长与点M的位置无关。8.（江苏省无锡市2022年10分）已知，如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6㎝.点O从A点出发，沿AB以每秒㎝的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t>0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点.过E作EG⊥DE交射线BC于G.（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上？当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（㎝2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒种时，S取得最大值？最大值为多少？【答案】解：（1）连接OD，DF．∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC。在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，48\n∴。又∵∠FOD=90°－30°=60°，∴∠AED=30°，∴AD=ED=。∵DE⊥EG，∴∠BEG=60°。∴△BEG∽△DEG。∵∠B=∠GED=90°，若∠EGD=30°，则∠BGD=60°=∠ACB这是不可能的，∴∠EGD=60°。∴DG⊥BC，DG∥AB。在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，∴DG=t。在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，∴AC=12，AB=6。∴CD=。∵DG∥AB，∴，即，解得。∴当t为秒时，△BEG与△EGD相似。
（2）∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC。在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴∠AED=30°。∵DE⊥EG。∴∠BEG=60°。在Rt△BC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=6，BE=。Rt△BEG中，∠BEG=60°，∴。当0≤≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上；当＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上。（3）过点D作DM⊥AB于M。在Rt△ADM中，∠A=30°，∴DM=AD=。∴。48\n所以当t=秒时，s取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，切线的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）连接OD，DF，由切线的性质得OD⊥AC，则∠AOD=60°，∠AED=30°。由∠DEG=90°得∠BEG=60°，因此本题可分两种情况进行讨论：①当∠EDC=60°，∠ECD=30°时，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．这样∠BGD和∠ACB相等，那么DG和AC应该平行，显然这种情况是不成立的．②当∠DGE=60°时，可在Rt△AOD中，根据∠A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在Rt△DEG中，用AD的长表示出DG，从而根据DG∥AB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值。（2）求出BG的表达式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围。（3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用来求得．在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积．据此可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值。9.（江苏省无锡市2022年10分）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.【答案】解：（1）①∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到△P′CB，∴。又∵AB=a，BD=b，48\n∴。②连接PP′，根据旋转的性质可知：BP=BP′，∠PBP′=90°；∴△PBP′为等腰直角三角形，∴∠BPP′=45°。∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，∴∠PP′C=90°。在Rt△PP′C中，PP′=，P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6。（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′。同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即。∵PA2+PC2=2PB2=PP′2，∴∠P′CP=90°。∵∠PBP′=∠PCP′=90°，∴在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°。∵∠BPA=∠BP′C，∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上。【考点】旋转的性质，扇形面积的计算，勾股定理和逆定理，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】（1）△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度。（2）连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股定理逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上。10.（江苏省无锡市2022年8分）已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1.将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动.图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=时，顶点P第一次回到原来的起始位置.48\n（2）若k=2，则n=时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n=时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.11.（江苏省无锡市2022年7分）图1是“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图2），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边的长是3cm，每个内角都是120º，该六棱校的高为3cm。现沿它的侧棱剪开展平，得到如图3的平面展开图。48\n（1）制作这种底盒时，可以按图4中虚线裁剪出如图3的模片。现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁皮，请问能否按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请你说明理由；（2）如果用一块正三角形铁皮按图5中虚线裁剪出如图3的模片，那么这个正三角形的边长至少应为 cm。（说明：以上裁剪均不计接缝处损耗。）【答案】（1）能。理由如下：如图所示，根据所构造的30度的直角三角形．图4中长方形的宽为：，长方形的长为：，∵，∴。∵，∴。因此长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁皮，能按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒。（2）。【考点】矩形的性质，等边三角形的性质，几何体的展开图，估算无理数的大小。48\n【分析】（1）结合图形，根据图2中的数值，运用正方形的各个角是90°和六边形的各个角是120°，可以通过作水平线、铅垂线得到30°的直角三角形，计算得到所需的长方形的长和宽，再进一步比较其和现在的长方形的长和宽的大小，从而得到结论。（2）同样结合图中的数据，作出水平线和铅垂线，构造30度的直角三角形、正方形和等边三角形，进行计算：如图所示，等边三角形的边长是。12.（江苏省无锡市2022年9分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm。点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q同时出发并运动了t秒。（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1。∵ABCD是等腰梯形，∴四边形CDEF是矩形。∴DE=CF。又∵AD=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BCF。∴AE=BF。又CD=2cm，AB=8cm，∴EF=CD=2cm∴。若四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形。∵CQ=t，∴DQ=EP=2－t。∵AP=AE＋EP，∴，解得。48\n（2）存在。理由如下：在Rt△ADE中，，∴。当S四边形PBCQ时，①如图2，若点Q在CD上，即0≤t≤2，则CQ=t，BP=8－2tS四边形PBCQ，解得t=3（不合点Q在CD的条件，舍去）。②如图3，若点Q在AD上，即2<t≤4。过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H，由图1知，，∴，则∠A=60°。在Rt△AQG中，AQ=8－t，QG=AQ·sin60°，在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t－2，。由题意知，S四边形PBCQ，即，解之得（不合题意，舍去），。∴存在，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半。【考点】动点问题，等腰梯形和直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解方程，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）通过构造全等三角形Rt△ADE≌Rt△BCF证明AE=BF。，建立等量关系求解即可。（2）分点Q在CD上和在AD上两种情况讨论即可。13.（江苏省无锡市2022年10分）如图，平面上一点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，在运动过程中，以为对角线的矩形的边长48\n；过点且垂直于射线的直线与点同时出发，且与点沿相同的方向、以相同的速度运动．（1）在点运动过程中，试判断与轴的位置关系，并说明理由．（2）设点与直线都运动了秒，求此时的矩形与直线在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积（用含的代数式表示）．【答案】解：（1）轴。理由如下：∵中，，∴。设交于点，交轴于点，∵矩形的对角线互相平分且相等，∴。∴。过点作轴于，则，∴。∴，∴，∴轴。（2）设在运动过程中与射线交于点，过点且垂直于射线的直线交于点，过点且垂直于射线的直线交于点，则。∵，∴，，，。①当，即时，。②当，即时，设直线交于，交于，则，，∴。48\n∴。③当，即时，∵，∴。综上所述，矩形与直线在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积为。【考点】二次函数综合题，运动问题，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，矩形的性质，平行的判定。【分析】（1）证与轴平行，可根据的值得出特殊角的度数，然后利用矩形的性质：对角线互相垂直平分，得出，根据点的坐标可得出，即由此可证得轴。（2）先找出关键时刻的的值．=2，因此，，，，。然后分三种情况进行讨论：①当时，此时直线在上运动，扫过部分是个直角三角形，此时，易求得直角三角形的两条直角边分别为和，由此可求出扫过部分的面积。②当时，扫过部分是个直角梯形．可根据的长求出梯形的上底，从而求出梯形的面积．③当时，重合部分是个多边形，可用矩形的面积减去右边的小三角形的面积进行求解。48\n14.（江苏省无锡市2022年9分）（1）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．【答案】解：（1）如图，共有2种不同的分割法：（2）设，，过点的直线交边于．在中，①若是顶角，如图1，则，，。此时只能有，即，∴，即。②若是底角，则有两种情况：第一种情况：如图2，当时，则，中，，．①由，得，此时有，即；②由，得，此时，即；③由，得，此时，即，为小于48\n的任意锐角。第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有，从而，这与题设是最小角矛盾．∴当是底角时，不成立。【考点】等腰三角形的性质。【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上。（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系。15.（江苏省无锡市2022年10分）如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：（1）点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．【答案】解：（1）过作轴于，∵，∴。∴，。∴点的坐标为。48\n（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，∴，即，∴。②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，过作于，则，∴，∴。③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，∴。∴。过作轴于，则，∴，化简，得，解得，即。∵，∴。∴所求的值是，和。【考点】动点问题，菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，直线和圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）根据菱形的性质，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值即可求出点的坐标。（2）分与相切、与相切和与所在直线相切三种情况分别求解。16.（江苏省无锡市2022年8分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km48\n的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）【答案】解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求。（图案设计不唯一）（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，。由，得，∴，∴，即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求。或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，，∴，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求。48\n要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形．所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求。【考点】作图—应用与设计作图。【分析】（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合。（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线是能辐射的最大直径31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处。17.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）【答案】解：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为（万升）。答：销售量为4万升时销售利润为4万元。（2）∵点的坐标为，从13日到15日利润为（万元），∴销售量为（万升）。∴点的坐标为。48\n设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。∵从15日到31日销售5万升，利润为（万元），∴本月销售该油品的利润为（万元）。∴点的坐标为。设线段所对应的函数关系式为，则，解得。∴线段所对应的函数关系式为。（3）线段。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据公式：销售利润＝（售价－成本价）×销售量，在已知售价和成本价时，可求销售利润为4万元时的销售量：销售量＝销售利润÷（售价－成本价）。（2）分别求出点、、的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出和所对应的函数关系式。（3）段的利润率=；段的利润率=；段的利润率=。∴段的利润率最大。18.（江苏省2022年12分）如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线的方向作匀速运动．设运动时间为秒．（1）请用含的代数式分别表示出点与点的坐标；（2）以点为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点在点的左侧），连接PA、PB．48\n①当与射线有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．【答案】解：（1）∵，∴。∴。过点作⊥轴于点，∵，，∴。又∵，且，∴，即。∴。∴。∴。（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点时，有，即。当点在点左侧，与射线相切时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得。由，即，解得。∴当与射线有公共点时，的取值范围为。②（I）当时，过作轴，垂足为，有48\n。由（1）得，，，∴。又∵，∴，即。解得。（II）当时，有，∴，解得。（III）当时，有，∴，即。解得（不合题意，舍去）。综上所述，当是等腰三角形时，，或，或，或。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由可得，从而得到点的坐标。作点作⊥轴于点，利用可得，从而得到点的坐标。（2）①当与射线有公共点时，考虑（I）当的圆心由点向左运动，使点到点时，的取值；（II）当点在点左侧，与射线相切时，的取值。当在二者之间时，与射线有公共点。②分，，三种情况讨论即可。19.(江苏省无锡市2022年10分)如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与48\n直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．【答案】解：（1）作PH⊥OB于H﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°。∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝。∴OH＝。∴P﹙，﹚（2）当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，∵OB＝，∠BOC＝30°，∴BC＝。∴PC。由，得，此时⊙P与直线CD相割。当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，PC，由，得，此时⊙P与直线CD相割。综上所述，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割。【考点】动点问题，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，圆与直线的位置关系。【分析】（1）求点P的坐标，即求点P到x轴与到y轴的距离．因此需过点P作x轴或y轴的垂线．然后探索运动过程中，点P的运动情况。48\n（2）探索⊙P与直线CD的位置关系，即探索圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系，分⊙P在左侧与直线OC相切和⊙P在左侧与直线OC相切两种情况讨论即可。20.(江苏省无锡市2022年10分)如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．【答案】解：（1）∵由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30。∵纸带宽为15，∴sin∠BAD=sin∠ABM=，∴∠BAD=30°。（2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，图甲将图甲种的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的MANC，此平行四边形即为图2中的ABCD。在图2中，由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×，∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+=（cm）。【考点】实践操作，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，平移的性质，平行四边形的性质。48\n【分析】（1）怎么将平行四边形纸带ABCD包贴到三棱柱上？一种是将AD与三棱柱底边棱重合进行包贴；一种是将AB边与三棱柱底边棱重合进行包贴，前者无法将纸带“螺旋上升”以至包贴整个三棱柱侧面；后者可以包贴。故AB长即为三棱柱的底边周长，求∠BAD可转化到直角三角形中求解。（2）中，求贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度即需求AD的长度，因此可以将三棱柱侧面沿过点A的侧棱进行展开，将立体问题转化为平面问题，进一步求解。21.(江苏省无锡市2022年10分)如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)．动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形．【答案】解:(1)设经过t秒，P点坐标为(3t，0)，直线l从AB位置向x轴负方向作匀速平移运动时与x轴交点为F(4－t，0)，则∵圆的半径为1，∴要直线l与圆相交即要。∴当F在P左侧,PF的距离为；当F在P左侧,PF的距离为∴当P在线段OA上运动时，直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围为。(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，不可能为菱形。理由是：易知CA=t，PA=3t－4，OB=5(∵OA=4，BA=3)。∵要使CPBD为菱形必须首先是平行四边形，已知DC∥BP，从而必须CP∥DP，必须，即要，48\n此时。∴此时四边形CPBD的邻边CP≠BP。∴四边形CPBD不可能为菱形。从上可知，PA：CA：PC=3：4：5,∴设PA＝3m，CA＝4m，PC＝5m,则BP＝3－3m。∵BP＝PC，∴3－3m＝5m。∴。由3m＝3t－4得令，即。即将直线l的出发时间推迟秒,四边形CPBD会是菱形．【考点】圆与直线的位置关系,相似三角形的判定和性质，菱形的判定,待定系数法。【分析】(1)利用直线l与圆相交的条件可以得知结果。(2)①利用邻边相等的平行四边形是菱形的思路,首先找出,四边形CPBD是平行四边形的条件,再分别求出一组邻边的长来判定能不能构成菱形。②利用待定系数法来寻求。22.(江苏省无锡市2022年10分)十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：税级现行征税方法草案征税方法月应纳税额x税率速算扣除数月应纳税额x税率速算扣除数1x≤5005％0x≤15005％02500<x≤200010％251500<x≤450010％▲32000<x≤500015％1254500<x≤900020％▲45000<x≤2000020％3759000<x≤3500025％975520000<x≤4000025％137535000<x≤5500030％2725注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额．“速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数．例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5％+1500×10％十600×15％=265(元)．48\n方法二：用“月应纳税额x适用税率一速算扣除数”计算，即2600×15％一l25=265(元)。(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元?(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元?【答案】解:(1)75,525。(2)列出现行征税方法和草案征税方法月税额缴个人所得税y:税级现行征税方法月税额缴个人所得税y草案征税方法月税额缴个人所得税y1y≤25y≤75225<y≤17575<y≤3753175<y≤625375<y≤12754625<y≤36251275<y≤777553625<y≤86257775<y≤13775因为1060元在第3税级,所以有20%－525＝1060，＝7925(元)。答:他应缴税款7925元.(3)缴个人所得税3千多元的应缴税款适用第4级,假设个人收入为k，则有20%(k－2000)－375＝25%(k－3000)－975，k=19000。所以乙今年3月所缴税款的具体数额为(19000－2000)×20%－375＝3025(元)。【考点】统计图表的分析。【分析】(1)当1500<x≤4500时,应缴个人所得税为；当4500<x≤9000时,应缴个人所得税为。(2)缴了个人所得税1060元，要求应缴税款，只要求出其适应哪一档玩税级，直接计算即可。(3)同(2)，但应清楚“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额,，而“个税法草案”拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，依据此可列式求解。23.（2022江苏无锡10分）如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．（1）求A．B两点的坐标；（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．48\n【答案】解：（1）在图1中，连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2知，当点P到达点A时，DO+OA=6，即DO=6﹣AO=6﹣a，S△AOD=4，∴DO•AO=4，即（6﹣a）a＝4。∴a2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4。由图2知，DO＞3，∴AO＜3。∴a=2。∴A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4）。在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB=11﹣6＝5，CB=12﹣11＝1。∴MB=4﹣1＝3。∴。∴OM=2+4＝6。∴B点坐标为（6，3）。（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC．PO，则S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9，∴×6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，即x+6y=12①。同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9②。联立①②，解得x=，y=。∴P（，）。设直线PD的函数关系式为y=kx+4，将P（，）代入，得=k+4。解得，k=﹣。∴直线PD的函数关系式为y=﹣x+4。48\n【考点】动点问题，一次函数综合题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。。【分析】（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2得出DO=6﹣AO和S△AOD=4，即可得出DO•AO=4，从而得出a的值，再根据图2得出A的坐标。延长CB交x轴于M，根据D点的坐标得出AB=5，CB=1，即可由勾股定理求出AM，从而得出点B的坐标。（2）设点P（x，y），连PC．PO，得出S四边形DPBC和S四边形DPAO的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，联立求出x、y的值，即可得出P点的坐标。再用待定系数法求出设直线PD的函数关系式。24.（2022江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB。又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。如图1，连接BD交AC于O。∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC。∴OB=AB=1。∴OA=，AC=2OA=2。运动ts后，AP=t，AO=t，∴。又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.48\n∴PQ∥BC.（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=。由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，此时⊙P与边BC有一个公共点。如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。∴当时，⊙P与边BC有2个公共点。如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即=t∴t=。∴当1≤t≤时，⊙P与边BC有一个公共点。当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点。综上所述，当t=或1≤t≤或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当时，⊙P与边BC有2个公共点。【考点】直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。【分析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。（2）分⊙P与BC切于点M，⊙P过点B，⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。48
