知识点38相似、位似及其应用一、选择题1.（2022山东滨州，6，3分）在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8）、B（10，2）．若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（5，1）B．（4，3）C．（3，4）D．（1，5）【答案】C【解析】根据题意：点C的坐标为(6×，8×)，即C(3，4)，【知识点】以原点为位似中心的两个位似图形的坐标特征2.（2022四川泸州，10题，3分）如图4，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A.B.C. D.第10题图【答案】C【解析】因为正方形中，AE=3ED，DF=CF，所以设边长为4a，则AE=3a，ED=a，DF=CF=2a，延长BE、CD交于点M，易得△ABE∽△MDE，可得MD=，因为△ABG∽△MFG，AB=4a，MF=，所以第10题解图【知识点】相似三角形68\n3.（2022四川内江，8，3）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9【答案】D【解题过程】解：∵△ABC∽△A1B1C1相似，∴＝()2＝．故选择D．【知识点】相似三角形的性质4.（2022山东潍坊，8，3分）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（）A．（2m，2n）B．（2m，2n）或（－2m，－2n）C．（，）D．（，）或（，）【答案】B【解析】当放大后的△A′OB′与△AOB在原点O同侧时，点P对应点坐标为（2m，2n），当放大后的△A′OB′与△AOB在原点O两侧时，点P对应点坐标为（－2m，－2n），故选择B.【知识点】图形的位似5.（2022四川省达州市，9，3分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝AC，连接DE、DF并延长，分别交AB、BC于点G、H，连接GH，则的值为（）．A．B．C．D．1第9题图68\n【答案】C．【解析】如图，过点H作HM∥AB交AD于M，连接MG．设S平行四边形ABCD＝1．∵AE＝CF＝AC，∴S△ADE＝S△ADC＝S平行四边形ABCD＝，S△DEC＝．∴S△AEG＝S△DEC＝．∴S△ADG＝S△ADE＋S△AEG＝＋＝．∵＝，∴S△AMG＝S△ADG＝．∵＝，∴S△GBH＝2S△AMG＝．∴＝＝．故选C.【知识点】相似三角形的性质；同底等高面积相等6.（2022四川省南充市，第10题，3分）如图，正方形的边长为2，为的中点，连结，过点作于点，延长交于点，过点作于点，交于点，连接.下列结论正确的是（）68\nA．B．C．D．【答案】D【思路分析】1.利用平行四边形的判定和性质，求得AH的值，再利用平行线分线段成比例，得到BG=EG，利用垂直平分线的性质，可得CE=BC；2.根据角之间的关系，推出AE=EF，设AB=EF=x，进而利用勾股定理求出EF的长度；3.利用∠7=∠1，易得cos∠CEP=cos∠1，在Rt△BDP中，求得cos∠CEP；4.在Rt△FAH中，利用勾股定理求出HF2，在Rt△CDF中，求得CF的长度，即可得证.【解题过程】解：由BE⊥AP，BE⊥CH，可证AP∥CH，又∵CP∥AH，∴四边形CPAH是平行四边形，∴AH=CP=CD=1，∴BH=1，又∵BH=AH，GH∥AP，∴BG=EG，∴BC=CE=2，故A错误；∵CH∥AP，∴∠2=∠4，∵∠2+∠1=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5，由BC=CE，BG⊥CG，可知∠5=∠6，又∵CH∥AP，∴∠6=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴AF=EF，设AF=EF=x，则由勾股定理，可知CD2+DF2=CF2，即22+(2－x)2=(2+x)2，解得：x=，即EF=AF=，故B错误；在Rt△ADP中，AP==,由∠7=∠1，可得：cos∠CEP=cos∠1===，故C错误；在Rt△FAH中，AH=1，AF=，∴HF2=AH2+AF2=1+=，在Rt△CDF中，CD=2，DF=，∴CF===，∴CF•EF=×==HF2.故D选项正确.故选D.68\n【知识点】平行线的性质和判定；平行四边形的判定；平行线分线段成比例；勾股定理；三角函数7.（2022浙江绍兴，7，3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为（）（第7题图）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质可得，，，，，，故选C。【知识点】相似三角形的性质8.（2022江苏泰州，6，3分）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，点68\n从原点出发向轴正方向运动，同时，点从点出发向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动，若点与点的速度之比为，则下列说法正确的是()A.线段始终经过点B.线段始终经过点C.线段始终经过点D.线段不可能始终经过某一定点【答案】A【解析】连接AO交PQ于点C，过点C作CD⊥AB于点D，∵AB⊥y轴，∴AB∥x轴，∴∠A=∠COP，∠AQC=∠OPC，∴△AQC∽△OPC，∴，∴，同上得，，∵点A的坐标为（9，6），∴点C的坐标为（3，2）.故选A.【知识点】双动点，相似，定点9.（2022山东临沂，6，3分）如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m．则建筑物CD的高是()第6题图A．9.3mB．10.5mC.12.4mD．14m【答案】B【解析】由题意知BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，即，解得CD=10.5（m），故选B.【知识点】相似三角形的判定和性质解直角三角形10.（2022山东威海，11，3分）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF68\n，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝()A．B．C．D．【答案】C【思路分析】若要求GH的长，应先将其转化到三角形中，过点H作HM垂直于CG于点M，在Rt△GHM中，只要求出GM、HM，即可解决问题．【解题过程】过点H作HM垂直于CG于点M，设AF交CG于点O．根据题意可知△GOF∽△DOA，∴，所以OF＝OA＝AF，即AF＝3OF，因为点H是AF的中点，所以OH＝AF－AF＝AF，即AF＝6OH，所以OH＝OF．根据已知条件可知△HOM∽△GOF，可以推出HM＝；同理，通过△HOM∽△AOD，可以推出DM＝DG，即GM＝DG＝，在Rt△GHM中，GH＝。故选C．【知识点】三角形相似的性质与判定、勾股定理11.（2022四川省德阳市，题号12，分值：3）如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO=3OC，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，S△ABO:S△AOC:S△BOC（）A.6:2:1B.3:2:1C.6:3:2D.4:3:268\n【答案】B.【解析】∵四边形AOEF是平行四边形，∴AF∥EO，∴∠AFM=∠BOM，∠FAM=∠MBO，∴△AFM∽△BOM，∴OMFM=BMAM=BOAF=12.设S△BOM=S，则S△AOM=2S.∵FO=3OC，OM=12FM，∴OM=OC，∴S△AOC=S△AOM=2S，S△BOC=S△BOM=S，∴S△ABO:S△AOC:S△BOC=3:2:1.【知识点】相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质12.（2022四川省宜宾市，6，3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA'=1,则A'D等于（）68\nA.2B.3C.D.【答案】A【解析】如图，∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，∴（）2=，即（）2=，解得A′D=2或A′D=（舍去），故选：A．【知识点】平移的性质；相似三角形的性质；三角形中线的性质1.（2022湖北鄂州，10，3分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线分别与x轴、y轴交于点P、Q，在Rt△OPQ中从左向右依次作正方形A1B1C1C2、A2B2C2C3、A3B3C3C4…AnBnCnCn+1，点A1、A2、A3…An在x轴上，点B1在y轴上，点C1、C2、C3…Cn+1在直线PQ上，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左到右的小正方形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn，则Sn可表示为（）68\nA．B．C．D．【答案】A．【思路分析】首先由一次函数关系式求得点P和点Q的坐标，用勾股定理求得PQ的长度，利用等面积法求得ON的长度，然后由△OA1B1∽△OPQ求得正方形A1B1C1C2的边长a1的值，从而得出S1＝10；在利用勾股定理和△OA1B1∽△OPQ，得出正方形A2B2C2C3的边长a2＝a1，以此类推，得到Sn＝10×Sn-1＝10××＝．【解析】如下图（1），当x＝0时，y＝，故点Q的坐标为（0，），OQ＝；当y＝0时，，解得x＝13，故点P的坐标为（13，0），OP＝13，在Rt△OPQ中，则PQ＝，过点O作ON⊥PQ于点N，交A1B1于点M，则S△OPQ＝OP·OQ＝ON·PQ，则ON＝，设正方形A1B1C1C2的边长为a1，∵四边形A1B1C1C2是正方形，∴A1B1∥PQ，则△OA1B1∽△OPQ，∴68\n，即，解得a1＝，则S1＝＝10，∵△OA1B1∽△OPQ，∴，令OB1＝m，则OA1＝3m，则在Rt△OPQ中，，解得m＝1，故OB1＝m＝1，OA1＝3m＝3，则S1＝＝10，设正方形A2B2C2C3的边长为a2，则A1C2＝A2B2＝a2，∵四边形A2B2C2C3是正方形，∴∠A1B2A2＝∠A1OB1＝90°，∴∠OB1A1＋∠OA1B1＝90°，∠OA1B1＋∠B2A1A2＝90°，∴∠OB1A1＝∠B2A1A2，又∵∠A1OB1＝∠A1B2A2＝90°，∴△OA1B1∽△A1A2B2，∴，∴＝3，∴＝＝a2，又∵A1B2＋B2C2＝A1C2，∴a2＋a2＝a1，解得a2＝a1，S2＝10×，同理可得an＝an-1，Sn＝10×Sn-1＝10××＝，故选A．【知识点】一次函数性质；正方形的性质；等面积法；相似三角形的性质和判定；勾股定理；找规律2.（2022四川遂宁，10，4分）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MBF=中正确的是68\nA.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D.【解析】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABG=90°，在△ADE和△ABG中，，∴△ADE≌△ABG（SAS），∴AE=AG，∠DAE=∠BAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAF+∠DAE=45°，∴BAF+∠BAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，∵GF=BG+BF=DE+BF，68\n∴EF=DE+BF．故①正确；设BF=x，则FC=4-x，GF=EF=3+x，在Rt△EFC中，∵FC2+EC2=EF2，∴(4-x)2+12=(3+x)2，解得x=，故②正确；在Rt△ABF中，∵AB2+BF2=AF2，∴AF2=42+()2=，∴AF=，故③错误；S△AGF=GF·AB=.∵BM∥AG，∴△BFM∽△GFA，∵,∴S△MBF=×S△AGF=.故④正确.故选D.【知识点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质3.（2022·重庆A卷，5，4）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm68\n和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm【答案】C．【解析】设中另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的性质，得，解得x＝4.5，故选C．【知识点】相似三角形的性质4.（2022贵州遵义，10题，3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD，若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为A.10B.12C.16D.18第10题图【答案】C【解析】矩形ABCD中，AB∥CD，所以∠EAP=∠FCP，因为∠APE=∠FCP，所以△APE∽△FCP，所以，因为EF∥BC，所以EB=FC，所以EB·EP=AE·FP=16，所以，因为DF=AE=2，，所以【知识点】矩形，相似三角形，三角形面积5.（2022湖北荆门，6，3分）如图，四边形为平行四边形，、为边的两个三等分点，连接、交于点，则（）68\nA．B．C.D．【答案】C.【解析】解：∵E、F为CD边的两个三等分点，∴EF=CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴EF=AB，△EFG∽△BAG，∴=.故选C.【知识点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质6.（2022湖南省永州市，8，4）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）]A．2B．4C.6D．8【答案】B68\n【解析】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4.因此，本题选B．【知识点】相似三角形的条件相似三角形的性质7.（2022四川攀枝花，9，3）如图3，点A的坐标为(0,1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是()【答案】C【思路分析】可根据题意求出y与x的函数关系式，再由关系式判断函数的大致图像。【解析】如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，易证△AOB∽△CDA，所以，由∠BAC=90°，∠ACB=30°，得，所以，，整理得：（），结合自变量的取值范围，可知y与x的函数关系的图像大致应该选C.68\n【知识点】平面直角坐标系，相似三角形，一次函数的图像8.（2022四川自贡，6，4分）如图，在⊿中，点分别是的中点，若⊿的面积为4，则是⊿的面积为（）A.8B.12C.14D.16【答案】D【解析】∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1:2，∴面积比为1:4，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为16，故选择D.【知识点】相似三角形的性质与判定9.（2022湖北省孝感市，10，3分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连分别交，于点，，过点作交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤.68\nA．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】由△ABC是等边三角形可知:∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC．由△ABD是等腰直角三角形且AE⊥BD可知：∠ADB=∠ABD=45°，∠BAD=90°，AB=AD．∴AC=AD，∠DAC=∠BAD+∠BAC=90°+60°=150°，所以∠ADC=∠ACD=（180°-∠DAC）=×（180°-150°）=15°，所以①说法正确.∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=45°-15°=30°，∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG．∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°，∠AFG≠∠AGD，∴AF≠AG，所以②说法错误.∵，AC=AD，∴∠DAH=∠CAH=∠DAC=×150°=75°.∴∠BAH=∠CAH-∠BAC=75°-60°=15°=∠ADF．又∵∠DAF=90°-∠ADE=90°-45°=45°=∠ABH．在△BAH和△ADF中，∴AH=DF.∴③说法正确.在△AFG和△CBG中，∴④说法正确.∵∠EAH=∠BAD-∠DAE-∠BAH=90°-45°-15=30°，∠FDE=∠ADE-∠ADC=45°-10°=30°，∴∠EAH=∠FDE.在△AEH和△DEF中，∴EH=EF．∵在Rt△AEH中，AH=2EH,∴AE=∴AE=∴AF=AE-EF=-EF=.∴⑤说法正确.故选B.【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；相似三角形的判定定理及性质；全等三角形的判定定理及性质；勾股定理.．68\n10.（2022浙江省台州市，8，3分）如图，在中，，.以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是（）A．B．1C．D．【答案】B【思路分析】根据作图可知CE是∠BCD的角平分线，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质即可求出AE的长.【解题过程】如图所示，根据作图过程可知CE是∠BCD的角平分线，∴∠FCB=∠FCD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且DC=AB=2，∴∠DFC=∠FCB，∴∠FCD=∠DFC，∴DF=DC=2，∴AF=AD-DC=3-2=1，∵AF∥BC，∴ΔEAF∽ΔEBC，∴，即，解得AE=1【知识点】角平分线的尺规作图；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；68\n11.（2022广西玉林，6题，3分）两三角形的相似比是2:3，则其面积比是A.B.2:3C.4:9D.8:27【答案】C【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为相似比是2:3，所以面积比为4:9，故选C【知识点】相似性质12.（2022广西玉林，9题，3分）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直第9题图【答案】A【解析】设AB与CD相交于点M，因为∠AOB=60°，OA=OB，所以△AOB为等边三角形，因为△ACD为等边三角形，所以∠ADM=∠CBM=60°，因为∠AMD=∠CMB，所以△AMD∽△CMB，所以，所以，因为∠AMC=∠DMB，所以△AMC∽△DMB，所以∠DBA=∠ACD=60°，所以∠DBA=∠BAO，BD∥OA，故选A【知识点】等边三角形，相似三角形，平行线13.（2022山东省泰安市，18，3）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为步．68\n【答案】【思路分析】本题主要是考查学生建模思想，图中是两三角形相似中的基本图形，运用相似三角形的对应边成比例可求的长．【解题过程】解：∵是正方形，∴DG∥KC，∴△AHD∽△AOC，∴即解得：故答案是：【知识点】相似三角形判定及性质二、填空题1.（2022四川内江，25，6）如图，直线y＝－x＋1与两坐标轴分别交于A、B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为，，，…，，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点，，，…，，用，，，…，，分别表示Rt△O，Rt△，…，Rt△的面积，则＋＋＋…＋＝．68\n【答案】【思路分析】由，，，…，为线段OA的n等分点，且每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点，，，…，，可以得到若干个“A”字型的相似三角形，利用这些相似可以依次将上述直角三角形中的平行于y轴的直角边表示出来，由于这些直角三角形的一条直角边都是，所以提出将其整理就可以得到答案．【解题过程】解：∵∥y轴，∴△A∽△ABO，∴＝，∵直线y＝－x＋1与两坐标轴分别交于A、B两点，∴OA＝OB＝1，∴＝，∵O＝，∴＝××，同理＝××，…，＝××，∴＋＋＋…＋＝××（＋＋＋…＋）＝××（n－1＋n－2＋n－3＋…＋1）＝××＝．【知识点】一次函数；相似三角形；2.（2022四川绵阳，18，3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=68\n【答案】.【解析】解：连接DE，如图所示.∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴DE∥AB，且DE=AB，∴.设OD=a，OE=b，则OA=2a，OB=2b，∵AC=3，BC=4，∴BD=2，AE=1.5.∵AD⊥BE，∴在Rt△BOD中，OB2+OD2=BD2，即4b2+a2=4，在Rt△AOE中，OE2+OA2=AE2，即4a2+b2=2.25，∴5a2+5b2=6.25，即a2+b2=1.25.∵在Rt△AOB中，AB2=OB2+OA2=4a2+4b2=5，∴AB=.68\n故答案为.【知识点】平行线分线段成比例定理，中位线的性质，勾股定理3.（2022安徽省，14，5分）矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形,则PE的长为______。【答案】3或【解析】由题意知，点P在线段BD上，（1）如图所示，若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上，则点P为BD中点，故PE=(2)如图所示，若DA=DP，则DP=8，在Rt△BCD中，∴BP=BD-DP=2，∵△PBE∽△DBC，∴∴PE=综上所述，PE的长为3或.【知识点】相似三角形的性质，利用勾股定理求线段的长4.（2022湖南岳阳，15，4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．【答案】.68\n【解析】解：如图.设该直角三角形能容纳的正方形边长为x，则AD=12-x，FC=5-x根据题意易得△ADE∽△EFC，∴，∴，解得：x=.故答案为.【知识点】相似三角形的性质5.（2022江苏连云港，第11题，3分）如图，△ABC中，点D，E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD:DB=1:2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________.【答案】1:9【解析】解：∵DE∥BC，∴，△ADE∽△ABC，∴，故答案为：1:9.【知识点】相似三角形的性质与判定6.（2022江苏连云港，第16题，3分）如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为__________.68\n【答案】2【思路分析】根据相似三角形的判定，可得△GCF∽△ADG，进而可得2GC2=AD2①，再根据勾股定理，可得∴AD2+DC2=6②，将①代入②，可得GC的长度，进而求得AB的长.【解题过程】解：在矩形ABCD中，点E、F、G、F分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴CF=BC=AD，∠D－90°，∠DCB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵AG⊥GF，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴△GCF∽△ADG，∴，即，解得：2GC2=AD2①，∵AC=，∴AD2+DC2=6②，将①代入②，得：2GC2+(2GC)2=6，解得：GC=1，∴AB=DC=2，故答案为：2.【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质和判定；勾股定理7.（2022四川省成都市，13，4）已知＝＝，且a＋b－2c＝6．则a的值为．【答案】12【解析】解：设＝＝＝k，则a＝6k，b＝5k，c＝4k，∵a＋b－2c＝6，∴6k＋5k－8k＝6，3k＝6，解得k＝2，∴a＝6k＝12．【知识点】比例；一元一次方程8.（2022四川省南充市，第15题，3分）如图，在中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交的延长线于点68\n，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=．【答案】【解析】解：∵DE∥BC,AD=1，BD=2，BC=4，∴即，解得：DE=，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，又∵DE∥BC，∴∠FBC=∠F，∴∠ABF=∠F，∴BD=DF=2，∵DF=DE+EF，∴EF=.故答案为：.【知识点】平行线分线段成比例；平行线的性质；等腰三角形的判定9.（2022江苏省盐城市，16，3分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边AC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝___________．【答案】或【解析】在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10．当QP⊥AB时，QP∥AC．∴＝．设QP＝AQ＝x，则QB＝10－x．∴＝．∴AQ＝x＝；当PQ⊥AB时，△APQ是等腰直角三角形．∵△ABC∽△PBQ,∴＝,∴＝．∴AQ＝x＝．【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例定理；分类讨论68\n10.（2022四川省宜宾市，16，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF.【答案】①②③【思路分析】①中可以结合折叠的性质以及三角形外角的性质得到；②中可以根据AA证明三角形相似，得到对应边成比例，从而求出AF的长；③中可以设BE=x，根据直角收纳侥幸AEF中三边满足勾股定理求出；④中可以根据③中线段的长度大小判断三角形是否全等.【解题过程】由折叠的性质可知CF=CB，∠CFE=90°，∠CEB=∠CEF,∵E为BC中点，∴BE=EF=AE=，∴∠FAE=∠AFE，∵∠FEB=∠FAE+∠AFE，∴∠CEB=∠CEF=∠FAE=∠AFE,∴AF∥CE，故①正确；∵BE=,BC=2，∴CE=,过点E作EM⊥AF垂足为M，∵∠AFE=∠FEC,EM⊥AF，∠CFE=90°，∴△MFE∽△FEC，∴，即,∴MF=,∴AF=；故②正确；∵A、F、C三点共线，∴∠AFE=90°，AC=，设BE=x,则EF=x,AE=3-x,AF=，在RT△AFE中，68\n，解得x=,∴AE=3-x=，故③正确；∵AF=，CF=2，∴AF≠CF，∴④错误.【知识点】三角形相似；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；折叠的性质11.（2022浙江杭州，16，4分）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=___________.【答案】【思路分析】由①得四边形AEFD是正方形，将由③得K型相似，然后结合勾股定理列方程求解，但要注意对点H是落在线段AE上还是BE上分类讨论。【解题过程】设AD=x由题意：四边形AEFD为正方形则AD=AE,由翻折：△DHG≌△DCG，HG=GC（1）当H落在线段AE上时（2）当H落在线段BE上时【知识点】正方形的性质，折叠的性质，相似，勾股定理68\n1.（2022湖南益阳，16，4分）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC，②四边形ADEF为菱形，③S△ADF︰S△ABC=1︰4．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③【思路分析】①利用ASA即可证明；②利用中位线得到平行及相等的关系，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明；③利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答．【解析】解：∵DF∥BC，∴∠ADF=∠C，同理∠CFE=∠A∵F为AC中点，∴AF=FC∴△ADF≌△FEC，①正确；∵D、E分别是AB、BC边上的中点，∴DE∥AC且DE=AC，同理EF∥AB，EF=AB，∴四边形ADEF是平行四边形．又∵AB=AC，68\n∴EF=DE，∴四边形ADEF是菱形．②正确；∵∠ADF=∠C，∠A=∠A∴△ADF∽△ABC∴∴③正确；故答案为①②③．【知识点】全等三角形的判定，菱形的判定，中位线，相似三角形的判定和性质2.(2022山东菏泽，13，3分)如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是．【答案】(2，)【解析】如图，作AE⊥x轴于E，∵，，∴∠ABO=∠OAE=30°．∵点的坐标是，∴AO=OB=3，∴OE=OA=，∴AE===，∴A(，)．∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，∴点C的坐标为(×，×)，即(2，)．68\n【知识点】位似；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质；3.（2022广东广州，16，3分）如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF∶BE＝2∶3；④S四边形AFOE∶S△COD＝2∶3．其中正确的结论有_______（填写所有正确结论的序号）．【答案】①②④【思路分析】由AE∥BC和点O是AB的中点，可得四边形ACBE是平行四边形，进而得菱形，从而①正确；由AB∥DC和AB平分∠EAC（或菱形ACBE）可得∠ADC＝∠ACD，从而②正确；由AB∥DC，可得△AOF∽△CDF，从而＝＝；从而③错误；设△AFO的面积为S，将四边形AFOE和△COD的面积用S来表示即可判断④正确．【解析】由已知“CE是AB的垂直平分线”可得AC＝CB，所以∠CAB＝∠CBA，由□ABCD可得AB∥CD，AD∥BC，所以∠CAB＝∠ACD，∠BAE＝∠CBA，∴∠CAB＝∠ACD=∠BAE，②正确．由∠CAB＝∠BAE，AO＝AO，∠AOC＝∠AOE可得△AOC≌AOE，从而AE＝AC＝BC，又AE∥CB，所以四边形ACBE是平行四边形，又AC＝BC，□ACBE是菱形，①正确．由AO∥CD，可得，∴，③错误．设S△AFO＝S，由，可得S△CFO＝2S，再根据△AFO∽△CFD可得S△DFC＝4S，所以S△COD＝6S，S△COA＝3S＝S△AOE，所以S四边形AFOE＝4S，所以S四边形68\nAFOE∶S△COD＝4S∶6S＝2∶3，④正确．【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质与判定；菱形的判定；相似三角形的判定与性质4.（2022贵州遵义，18题，4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为________第18题图【答案】2.8【解析】菱形ABCD中，∠ABC=120°，BD为对角线，所以∠G=∠A=60°，∠FDG=∠GBE=60°，△ABD是等边三角形，因为DG=2，BG=6，所以BD=8，所以AD=DB=8，∠GFD+∠FGD=120°，∠FGD+∠EGB=120°，所以∠DFG=∠BGE，所以△FGD∽△GEB，所以，设BE=x，即，FD=，则FG=8-，得，解得x=2.8【知识点】一线三等角，相似三角形，分式方程5.（2022广东省深圳市，16，3分）在中，∠C＝90°，AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,AD、BE相交于点F，且,则．68\n【答案】．【思路分析】过点E作BP⊥DG于点G，连接CF，先根据AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,∠C＝90°，求出∠AFE的度数，在利用特殊角的三角函数值求出EF和AG的长；然后由“AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,AD、BE相交于点F，”，利用三角形三边的角平分线相交于一点可知，CF平分∠CAB,再证明△AEF∽△AFC即可求出AC的长．【解析】解：∵AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,∠C＝90°，∴∠AFB＝90°＋∠C＝135°，∴∠AFE＝180°－135°＝45°，过点E作BP⊥DG于点G，连接CF，∵，∴EG＝EF·sin45°＝＝1，又∵AF＝4，∴AG＝AF－GF＝4－1＝3，∴AE＝，∵AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,且AD、BE相交于点F，∴CF平分∠CAB,∴∠ACF＝∠BCF＝45°，又∵∠AFE＝45°，∴∠AFE＝∠ACF，又∵∠EAF＝∠CAF，∴△AEF∽△AFC，∴，即，解得AC＝．【知识点】直角三角形的性质；角平分线；相似三角形的性质和判定；勾股定理；三角形角平分线的性质；特殊角三角函数值的运用6.（2022贵州安顺，T15，F4）如图，点，，，均在坐标轴上，且⊥，⊥，若点，的坐标分别为（0，-1），（-2,0），则点的坐标为________.【答案】(8,0)【解析】∵⊥，⊥，x轴⊥y轴，点，的坐标分别为（0，-1），（-2,0），∴Rt△68\n∽Rt△∽Rt△，=1，=2.∴,.即，解得=4，解得=8.∵点在x轴正半轴，∴点的坐标为（8，0）.【知识点】相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质.7.（2022湖北荆州，T17，F3）如图,将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示(图中数据单位:)，则钢球的半径为_________(圆锥的壁厚忽略不计).【答案】.【思路分析】①如图构造相似三角形；②利用相似三角形的性质建立等式求解即可.【解析】如图的示AC=12,AB=AC+BC+12+14=26,OB=10易知DAPC∽DAOB，∴【知识点】相似三角形的性质.68\n8.（2022湖北省襄阳市，16，3分）如图，将面积为的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E.若BE=，则AP的长为=▲.【答案】【解析】解：设AP与BD交于F，AD=a，AB=b,∵A点沿BD折叠与P重合，∴BD是AP的垂直平分线，∴AP⊥BD，AF=PF，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠CBA=90°，∴∠BEF+∠EBF=∠EBF+∠ABD,∴∠BEF=∠ABD，∴△ABE∽△DAB,∴，即BA2=EB·AD，∴b2=a①.又∵矩形的面积为，68\n∴ab=②,联立①②得，解得，.在Rt△ABD中，由勾股定理,∵S△ABD==,∴，∴.故答案为.【知识点】矩形折叠问题、相似三角形9.（2022四川凉山州，24，5分）△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝4,将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标【答案】68\n（第24题答图）【解析】∵OA＝4,将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），∴OB＝2,∵△C1OB∽△C1A1O，∴∴，可得,在Rt△OB中，由勾股定理，解出B=,∴过C作CH⊥x轴于H,可设C（m，2m），在Rt△O中，由勾股定理，解出∴【知识点】图形的旋转，图形的全等，相似三角形，勾股定理.10.（2022·北京，13，2）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为_________．【答案】．【解析】∵四边形ABCD是矩形，68\n∴DC＝AB＝4，AB∥CD，∠ADC＝90°．在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝＝5．∵E是边AB的中点，∴AE＝AB＝2．∵AB∥CD，∴△CDF∽△AEF．∴，即．∴CF＝．【知识点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的性质与判定三、解答题1.（2022·重庆A卷，24，10）如图，在□ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，EH＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．【思路分析】（1）先根据AB＝AE，AH＝3，EH＝1，求出AB的长；再在Rt△ABH中，由勾股定理，求出BH的长，最后根据三角形的面积公式，得到△ABE的面积．另外，也可以过点A作AM⊥BC，利用相似三角形的判定及性质，求出BE及BE边的高进行求解；（2）过点G作GN⊥BC，先通过相似三角形的性质与判定，得到AF＝CE，从而DF＝BE．再证明△ABM≌△BNG，从而BM＝NG．由BE＝2BM，GN＝GC，得到所求证的结论．【解析】解：（1）解法一：∵BH⊥AE于点H，AB＝AE，AH＝3，EH＝1，∴AE＝AH＋EH＝4＝AB．在Rt△ABH中，由勾股定理，得BH＝＝．68\n∴S△ABE＝AE•BH＝×4×＝2．解法二：过点A作AM⊥BC，过点G作GN⊥BC，垂足为M、N，AM交BH于点K，如下图：∵AB＝AE，AM⊥BC，∴BM＝ME＝BE＝a，∠BAM＝∠EAM，∠AMB＝∠AHK＝90°．又∵∠BKM＝∠AKH，∴∠KBM＝∠BAM．∴△BHE∽△AMB．∴，即，解得a＝2．∴BE＝2，ME＝．在Rt△AME中，由勾股定理，得AM＝．∴S△ABE＝BE•AM＝×2×＝2．（2）∵O是AC的中点，∴OA＝OC．∵在□ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，68\n∴△AOF∽△COE．∴，从而AF＝CE．∴DF＝BE．∵∠AMC＝90°，∠ACB＝45°，∠GNC＝90°，∴∠MAC＝45°＝∠GCN．∵∠AGB＝∠GBC＋∠GCN，∠BAG＝∠BAM＋∠MAC，∴∠AGB＝∠BAG．∴AB＝BG．又∵∠AMB＝∠BNG＝90°，∠GBN＝∠MAB，∴△ABM≌△BNG．∴BM＝NG．又∵BE＝2BM，GN＝GC，∴BE＝2•GC＝GC．【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质；全等三角形；平行四边形；相似三角形2.（2022湖北宜昌，23，11分）在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点.(1)如图1，若点是的中点，求证:；(2)如图2，①求证:；②当，且时，求的值；③当时，求的值.68\n(第23题图1)(第23题图2)(第23题图2备用图）【思路分析】(1)∵点是的中点，∴AE=DE，再由矩形ABCD的性质，得出边角之间的等量关系，用SAS证明；(2)①由折叠与中角之间的关系，再由平行，得到角之间的关系，从而，证出.②当时，先由，再设，则，，解得由折叠得，,再据,设，由比例关系，求出y，得到BP.在中，求出PC,得到∠PCB的余切值.③若,，；，【解析】(1)证明：如图1，在矩形中，,又点是的中点，∴AE=DE，可证:；,(2)如图2，①在矩形中，,沿折叠得到68\n,,②当时，,,又,∴设，则，，解得，,,68\n由折叠得，,,设，则在中，,③若,,,又,由得,68\n【知识点】全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解分式方程，余弦定理.3.（2022江苏淮安，26，10）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°,∠A=60°，则∠B=;(2)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90。，AC=4,BC=5。若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”。试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由。(3)如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD丄CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长。【思路分析】本题通过新定义考查综合几何知识，(1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，则不难得到：2∠A+∠B=90°或2∠B+∠A=90°又因∠A=60°，则2∠A+∠B=90°不成立，即代入2∠B+∠A=90°可得∠B.（2）由“准互余三角形”定义可知：2∠B+∠BAE=90°，可得∠B=∠EAC，进而得△ABC∽△EAC，所以，代入数据可得结果.(3)由题意可知∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠CBD.然后分类讨论，依照（2）可得结果.68\n【解析】解：(1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC是“准互余三角形”，又∠C＞90°，则有2∠A+∠B=90°或2∠B+∠A=90°，又因∠A=60°，则2∠A+∠B=90°不成立，即代入2∠B+∠A=90°可得∠B=15°.(2)存在，∵点E在BC边上，∴∠AEB＞90°，∴2∠BAE+∠B=90°或2∠B+∠BAE=90°，∵点E（异于点D），∴2∠BAE+∠B=90°不成立.由图可知：在Rt△ABC中可得∠BAE+∠EAC+∠B=90°，又由“准互余三角形”定义可知：2∠B+∠BAE=90°，∴∠B=∠EAC，∴△ABC∽△EAC（AA），∴，∵AC=4,BC=5,∴,∴68\n(3)由题意可知：∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠CBD.∴∠ABC＞90°，∴本题分2类讨论:①因△ABC为“准互余三角形”，则∠BAC+2∠ACB=90°，设∠ACD=x，∠ACB=y，则可得：∠BAC=90°-2y，∠ABD=2x+2y，则∠AEB=90°-2x，又因为在△CDE中，∠AEB=90°-x，则x=0°，与构成四边形矛盾，舍去.②因2∠BAC+∠ACB=90°，设∠BAC=x，则∠ACB=90°-2x，则∠ABC=90°+x，过点B作BE⊥AB，易得△CBE∽△CAB，即CB2=CE×CA，由∠ABD=2∠BCD易得∠BAC=∠BCD，则△BAE∽△DCB，设AE=7a，则CB=12a，则易得CE=9a，可解得，勾股定理得：，∴AC=16a=20.【知识点】新定义；勾股定理；相似三角形的判定与性质；分类讨论的思想4.（2022江西，14，6分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长．68\n第14题图【思路分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解析】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，又∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，∠DBC＝∠D，BC＝CD＝4，∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴＝，∴＝＝2，∴AE＝2EC，即EC＝AE，∵AC＝AE＋EC＝6，∴AE＋AE＝6，即AE＝4.【知识点】角平分线定义，平行线的性质，相似三角形5.（2022福建A卷，20，8）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；68\n②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.【思路分析】①利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法完成作图；②利用相似三角形性质及三角形中线性质得出成比例线段，再根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”证两三角形相似，据此可得出结论.【解题过程】解：（1）（2）已知：如图，△A′B′C′∽△ABC，，A′D′=D′B′，AD=DB，求证：.证明：∵A′D′=D′B′，AD=DB，∴A′D′=A′B′，AD=AB，∴.∵△A′B′C′∽△ABC，∴，，在△A′D′C′∽△ADC中，，且，∴△A′D′C′∽△ADC，∴.【知识点】尺规作图——作一个角等于已知角；相似三角形的判定和性质6.（2022福建A卷，21，8）如图，在△ABC中，∠C=90°68\n，AB=10，AC=8，线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到.△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长.【思路分析】（1）根据旋转的性质得出相等的线段，计算出∠ABD的度数；再由平移的性质，得出平行线，利用平行线性质即可求得∠BDF的度数；（2）根据平移性质推出AE∥CG，AB∥EF，再由平行线性质得到相等的角，由“两角对应相等的两个三角形相似”，证三角形相似，列出比例式，即可求得CG的长度.【解题过程】解：（1）∵线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°,AD=AB=10,∴∠ABD=45°,∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF,∴∠BDF=∠ABD=45°.（2）由平移的性质可得：AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ACB∽△ADE，∴，∵AC=8,AB=AD=10,∴AE=，由平移的性质可得：CG=AE=.【知识点】平移、旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定及性质7.（2022福建B卷，20，8）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；68\n②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.【思路分析】①利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法完成作图；②利用相似三角形性质及三角形中线性质得出成比例线段，再根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”证两三角形相似，据此可得出结论.【解题过程】解：（1）（2）已知：如图，△A′B′C′∽△ABC，，A′D′=D′B′，AD=DB，求证：.证明：∵A′D′=D′B′，AD=DB，∴A′D′=A′B′，AD=AB，∴.∵△A′B′C′∽△ABC，∴，，在△A′D′C′∽△ADC中，，且，∴△A′D′C′∽△ADC，∴.【知识点】尺规作图——作一个角等于已知角；相似三角形的判定和性质8.（2022福建B卷，21，8）如图，在△ABC中，∠C=90°68\n，AB=10，AC=8，线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到.△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长.【思路分析】（1）根据旋转的性质得出相等的线段，计算出∠ABD的度数；再由平移的性质，得出平行线，利用平行线性质即可求得∠BDF的度数；（2）根据平移性质推出AE∥CG，AB∥EF，再由平行线性质得到相等的角，由“两角对应相等的两个三角形相似”，证三角形相似，列出比例式，即可求得CG的长度.【解题过程】解：（1）∵线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°,AD=AB=10,∴∠ABD=45°,∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF,∴∠BDF=∠ABD=45°.（2）由平移的性质可得：AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ACB∽△ADE，∴，∵AC=8,AB=AD=10,∴AE=，由平移的性质可得：CG=AE=.【知识点】平移、旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定及性质9.（2022四川雅安，21题，10分）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P、Q。68\n第21题图（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）求的值。【思路分析】（1）由平行四边形的性质可得，两个三角形三边对应相等，故全等得证；（2）先证PC为中位线，得到PC与RE的关系，再利用三角形相似的性质，得到PQ与QR的比，从而得到PQ和PR的比值。【解题过程】（1）因为四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，所以AB=CD，BC=AD=CE，AC=DE，所以△ABC≌△DCE（SSS）；（2）在△BRE中，C为BE中点且CP∥RE，所以CP为△BER的中位线，所以CP：RE=1:2，又因为R为DE中点，所以RE=DR，所以CP：DR=1:2，又因为CP∥DR，所以∠CPQ=∠DRQ，∠PCQ=∠RDQ，△CPQ∽△DRQ，所以PQ：QR=CP：DR=1：2，所以【知识点】全等三角形，中位线，相似三角形10.（2022武汉市，23，10分）在△ABC中，∠ABC＝90°.(1)如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN.(2)如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tanC的值.(3)如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值.68\n【思路分析】（1）由已知得∠M＝∠N＝90°，易证∠1＝∠2，故△ABM∽△BCN.（2）过P点作PN⊥AP交AC于N点，过N作NM⊥BC于M点，由（1）知△BAP∽△MPN，；∵，设，，则，，用b表示PC；由已知可证△∽△，求得a与b的关系，求得tanC的值.（3）过作交于，过作交的延长线于，则DE∥AH∥CK，∴，设，由△∽△，求得，再求得HK＝10x，便可得tan∠CEB的值.【解题过程】证明：⑴∵∠ABC＝90°，∴∠3＋∠2＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，又∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠M＝∠N＝90°，∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2.∴△ABM∽△BCN.23⑴答题图（2）过P点作PN⊥AP交AC于N点，过N作NM⊥BC于M点，∵∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠NPC＝90°，∴∠BAP＝∠NPC，△BAP∽△MPN，，又∵，68\n设，，则，，23(2)答题图又∵，∴，∴，又△∽△，，∴，，解得：，∴.（3）过作交于，过作交的延长线于∵∴，易知△∽△，设，∵△∽△，∴，∴∴，∴23（3）答题图【知识点】相似三角形的判定性质锐角三角函数的定义等腰三角形的性质解一元二次方程11.（2022湖南省永州市，26，12）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I，若CI=4，HI=3，AD=，矩形DFGI恰好为正方形.68\n（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P，使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′.正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长.【思路分析】（1）由HI∥AD，得到=，求出AD即可解决问题；（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．只需要证明MN=MI′+NF′，即可解决问题.【解题过程】（1）解：∵HI∥AD，∴=，∴=，∴CD=6，∴ID=CD﹣CI=2，∴正方形的边长为2．（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．∵CA=CP，CD⊥PA，∴∠ACD=∠PCD，∠A=∠P，∵HG′∥PA，∴∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P，∴∠CHG′=∠CG′H，∴CH=CG′，∴IH=IG′=DF′=3，68\n∵IG∥DB，∴=，∴=，∴DB=3，∴DB=DF′=3，∴点B与点F′重合，∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′，∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°，∵DN=DN，DM=DR，∴△NDM≌△NDR，∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．【知识点】四边形综合题矩形的性质正方形的性质平行线等分线段定理全等三角形的判定和性质12.（2022四川攀枝花，23，12）如图12，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM(P、Q、M按逆时针排序)，以QC为边在AC上方作正△QCN。设点P运动时间为t秒1)求cosA的值;2)当△PQM与△QCN的面积满足时，求t的值；3)当t为何值时，△PQM的某个顶点(Q点除外)落在△QCN的边上.68\n【思路分析】（1）由△ABC的面积求出AC边上的高BD，再利用勾股定理求出AD，最后由三角函数的定义求出；（2）由已知条件可得△PMQ和△NCQ的面积之比，进一步求出边长之比，列出等式可求的值。（3）分两种情况进行讨论，第一种点M落在边NQ上，第二种点M落在边QC上。【解题过程】（1）如图23-1，过点B作BD⊥AC，垂足为D，∵，∴BD=，在AB=7.5，BD=4.5，由勾股定理得AD=6，∴;（2）如图23-2，∵△PMQ与△NCQ均为正三角形，∴△PMQ∽△CNQ，∵，∴，过点P作PE⊥AC，垂足为E，则AP=5t，AE=4t，PE=3t，CQ=5t，EQ=9-9t，在由勾股定理可得，∴，整理得：，解得：。因此，当时，。68\n（3）分两种情况进行讨论。第一种情况：如图23-3，点M落在边NQ上，此时，PM∥AC，EQ=9-9t，PE=3t，,，解得：。第二种情况：如图23-4，点M落在边QC上，此时，。【知识点】三角函数，勾股定理，相似三角形。13.（2022湖北省襄阳市，24，10分）如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.68\n(1)证明与推断:①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为▲.(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角(0°<a<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由;(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3)所示，延长CG交AD于点H.若AG=6，GH=，则BC=▲.【思路分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形，综合性较强.（1）①先根据垂直判断四边形CEGF是矩形，再根据∠BCA=45°判定EG=EC，从而判定矩形CEGF为正方形；②由GE∥AB可知，又因为在Rt△BGE中，，即可求出答案;（2）试判定△ACG∽△BCE，得到，从而得出AG和BE的数量关系；（3）先根据△ACG∽△BCE判定A、G、F三点共线，得到∠AGH=45°，过H作HK⊥AG与K，计算AH的长度；再由△AHG∽△CHA得到，从而得出AC的度数，最后在Rt△ABC中，由正弦计算出BC的长度.【解题过程】解：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°.∵GE⊥BC，GF⊥CD，68\n∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°.∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°.∴EG=EC.∴四边形CEGF是正方形.②.理由如下:∵∠GEC=∠ABC=90°，∴GE∥AB，∴.在Rt△CEG中，∠DCE=45°，∴.∴.（1）AG=BE，理由如下：连接CG，由旋转性质可知∠BCE=∠ACG=α.在Rt△CEG和Rt△CBA中，，.∴.68\n∴△ACG∽△BCE.∴.∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE.（3）BC=.理由如下：过H作HK⊥AG与K，由（2）可知△ACG∽△BCE，∴∠BEC=∠AGC.∵B、E、F三点共线，∴∠BEC=180°-∠CEF=135°.∴∠AGC=135°.∴∠AGF=∠AGC+∠FGC=180°.∴A、G、F三点共线.∴∠KGH=∠FGC=45°.在Rt△HGK中，∵∠HGK=45°，∴KG=HK=GH·sin∠HGK=×=2.在Rt△AHK中，AK=AG-KG=4,AH=.68\n∵∠AGH=∠HAC=45°，∠AHG=∠CHA，∴△AHG∽△CHA.∴，即.∴CA=.在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∴BC=AC·sin∠BAC=.故答案为.【知识点】相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形14.（2022浙江省台州市，22，12分）如图，在中，，，点，分别在，上，且.（1）如图1，求证：；（2）如图2，是的中点.求证：；（3）如图3，，分别是，的中点.若，，求的面积.【思路分析】（1）通过证明ΔACE≌ΔBCD可以得到∠CAE=∠CBD。（2）利用直角三角形的性质得到CF=DF，进而得到∠FCD=∠FDC，由第（1）小题可得∠CAE=∠CBD，然后通过等量代换可以得到∠FCD+∠CAE=90°，从而AE⊥CF.（3）根据勾股定理分别求出AE和BD的长，然后根据直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出CG和CF的长；通过证明ΔACH∽ΔAEC，从而求出CH的长，在RTΔCGH中，根据勾股定理求出GH的长，进而求出ΔCGF的面积.68\n【解题过程】（1）在ΔACE和ΔBCD中，∴ΔACE≌ΔBCD（SAS）∴∠CAE=∠CBD（2）∵F是BD的中点，∴CF=DF=BF，∴∠FCD=∠FDC，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠BDC=90°，又∠CAE=∠CBD，∴∠FCD+∠CAE=90°，即AE⊥CF。（3）如图所示：在RTΔACE中，AC=，CE=1，∴，同理：BD=3，∵F为BD的中点，∴，同理，∵AE⊥CF，∴∠AHC=90°，∵∠ACE=90°，∴∠AHC=∠ACE，∵∠CAH=∠EAC，68\n∴ΔACH∽ΔAEC，∴，即，解得：，在RTΔCGH中，，∴【知识点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两个锐角互余；垂直的定义；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形面积公式；15.（2022山东省泰安市，25，12）如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，,过点作的垂线，交的延长线于点.（1）和是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（2）找出图中与相似的三角形，并证明；（3）的延长线交的延长线于点，交于点.求证：.68\n【思路分析】（1）由和已知条件可知和都与相等，得到结论；（2）利用菱形性质易证，由（1）的结论得，由菱形对角线的性质和已知得，从而判断.（3）中的线段不在能够推得相似的两个三角形中，连接DM，利用菱形的对称性，容易得BM=DM，转化为证明，转化为证明，而这对三角形有公共角，继而转化为证明，这对相等的角利用菱形的对称性容易得到.【解题过程】解：（1），理由如下：∵，∴，，又∵，∴.2分（2），证明如下：∵四边形是菱形，∴，，∴.4分又∵，∴，6分又，∴.7分（3）连接.∵四边形是菱形，由对称性可知，，9分∵，∴，∴，又∵，∴，11分∴，∴，∴.12分68\n【知识点】平行线的性质；相似三角形的性质及判定，菱形的性质.16.（2022陕西，20，7分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【思路分析】要求河宽AB的长，显然只需要证明△ABC∽△ADE即可，注意把AD表示成AB与BD的和即可用比例关系求出AB．【解题过程】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC=∠ADE=90°，∵∠CAB=∠EAD，68\n∴△ABC∽△ADE．∴∵BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m，∴AD=AB＋8.5∴．解得：AB=17．∴河宽AB的长为17m．【知识点】相似三角形的应用68
