知识点07一次方程（组）及其应用一、选择题1.（2022山东省淄博市，4，4分）若单项式am-1b2与a2bn的和仍是单项式，则nm的值是（A）3（B）6（C）8（D）9【答案】C【解析】由题意可知两个单项式是同类项，其相同字母的指数相同，所以可以利用指数相同列出关于m和n的方程，求出m、n，进而求出结果.【知识点】同类项；一元一次方程；幂的运算2.（2022天津市，8，3）方程组的解是（）A．B．C.D．【答案】A【解析】分析：本题考查了二元一次的解法，根据系数的特点用加减消元法解方程组即可．解：②﹣①得到x=6，把x=6代入①得到y=4，∴，故选A．【知识点】二元一次方程组；加减消元法；二元一次方程组的解3.（2022浙江杭州，6，3分）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道得+5，每答错一题得-2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（）A.B.C.D.25\n【答案】C【解析】答对得分：5x分，答错得分-2y分，不答得分0分，共得分60分，则【知识点】二元一次方程组的应用4.（2022浙江温州，8，4）.学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满.设49座客车辆，37座客车辆，根据题意可列出方程组（）A.B.C.D.【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，得x+y=10,49x+37y=466故选A【知识点】二元一次方程组的应用1.（2022四川遂宁，3，4分）二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：①+②，得x=2，把x=2代入①，得y=0，所以方程组的解为.故选B.25\n【知识点】加减消元法解二元一次方程组2.（2022广东广州，8，3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：（）A．B．C．D．【答案】D【解析】题中有两个相等关系：9枚黄金的重量＝11枚白银的重量，8枚黄金的重量＋1枚白银的重量＋13两＝10枚白银的重量＋1枚黄金的重量．依题意，可得，故答案为D．【知识点】二次一次方程组的应用3.（2022河北省，7，3）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等．现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（） 25\n【答案】A【解析】设立方体的质量为x，圆柱体的质量为y，球体的质量为z．假设四个选项都是正确的，则有A中2x＝3y,B中x＋2z＝2y＋2z，C中x＋z＝2y＋z,D中2x＝4y．观察对比可知A选项和另外三个选项是矛盾的，故选A．【知识点】等式的性质4.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，8，5）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】根据“文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元”，得x＋y＝3；根据“20本练习本和10支水笔，共花了36元”，可得20x＋10y＝36，因此选B．【知识点】二元一次方程组的应用5.（2022福建A卷，8，4）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是()A．B.C.D.【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”，可得=+5；再根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，可列得方程.所以符合题意的方程组是25\n.【知识点】二元一次方程组的实际应用6.（2022福建B卷，8，4）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是()A．B.C.D.【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”，可得=+5；再根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，可列得方程.所以符合题意的方程组是.【知识点】二元一次方程组的实际应用7.（2022广东省深圳市，9，3分）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有个，小房间有个.下列方程正确的是()A．B．C．D．【答案】A．【思路分析】根据题意找出等量关系：大房间＋小房间＝70间，大房间住的人数＋小房间住的人数＝25\n480人，房间总人数＝房间数×每间住的人数．【解析】解：由“旅店一共70个房间”可得x＋y＝70，由“大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满”可,8x＋6y＝480，故选A．【知识点】二元一次方程组的应用8.（2022湖北荆州，T6，F3）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载:“今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五,直金八两问牛，羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛,2只羊，值金10两;2头牛,5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两?”若设每头牛、每只羊分别值金两、两，则可列方程组为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】设每牛值金x两，每只羊值金y两，由题意，得．故选择A．【知识点】二元一次方程组的实际应用---销售、利润问题9.（2022河南，6，3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱；若每人出7钱,还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】本题已经设出未知数x表示合伙人的人数，y表示羊价的钱数；由“若每人出5钱,还差45钱”可以表示出羊价为y=5x+45；由“若每人出7钱,还差3钱”可以表示出羊价为y=7x+3；故选项A正确.【知识点】二元一次方程组的应用10.（2022·北京，3，2）方程组的解为（）25\nA．B．C．D．【答案】D．【解析】方程②－①×3，得－5y＝5，y＝－1，并代入①，得x＋1＝3，x＝2．故原方程组的解为，因此选D．【知识点】二元一次方程的解法11.（2022山东省泰安市，6，3）夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．由等量关系列出二元一次方程组．本题的相等关系一：、两种型号的风扇，两周内共销售30台；相等关系二：销售的A、B两种型号D的30台共收入5300元，由此可列出方程组．解：设型风扇销售了台，型风扇销售了台，由题意，得．故选择C．【知识点】二元一次方程组的实际应用——销售、利润问题.二、填空题1.（2022江苏无锡，14，3分）方程组的解是.25\n【答案】【解析】，②-①得3y=3，∴y=1.把y=1代入①，得x-1=2，解得x=3.∴原方程组的解是.【知识点】二元一次方程组的解法2.（2022年山东省枣庄市，13，4分）若二元一次方程组的解为，则.【答案】【解析】方法一：解方程组得，即，，故填。方法二：∵二元一次方程组的解为，∴，两个方程相加得4a-4b=7，∴a-b=，故填。【知识点】二元一次方程组3.（2022浙江绍兴，12，3分）25\n我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为尺，竿子长为尺．【答案】2015【解析】可设索长为x，竿长为y，依题意得：，，，即，索长为20尺，竿子长为15尺．【知识点】二元一次方程组4.（2022·重庆B卷，18，4）为实现营养套餐的合理搭配，某电商推出两款适合不同人群的甲、乙两种袋装的混合粗粮．甲种袋装粗粮每袋含有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种袋装粗粮每袋含有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本分别等于袋中的A、B、C三种粗粮的成本之和．已知每袋甲粗粮的成本是每千克A种粗粮成本的7.5倍，每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮的售价高20%，乙种袋装粗粮的销售利润率是20%．当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为24%时，该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的袋数之比是．（商品的销售利润率＝）【答案】4﹕7．【解析】设1千克A粗粮的成本为m元，则甲袋成本为7.5m元，且B、C两种粗粮各1千克的成本之和为7.5m－3m＝4.5m元，从而乙袋粗粮的成本为m＋2×4.5m＝10m元，由乙种袋装粗粮的销售利润率是20%，得乙种袋装粗粮的销售利润为10m×20%＝2m元；而由每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮的售价高20%，知甲种袋装粗粮的售价为12m÷(1＋20%)＝10m元，其利润为2.5m元，现将以上信息列表如下：25\n设甲袋装粗粮销售x袋，乙袋装粗粮销售y袋时，销售这两款袋装粗粮的销售利润率为24%，根据题意，得，整理，得7x＝4y，从而x﹕y＝4﹕7，故答案为4﹕7．【知识点】方程组的应用销售问题5.（2022江苏泰州，15，3分）已知，.若x≤y，则实数a的值为.【答案】3【解析】两式相减，得，所以，∵x≤y，∴x－y≤0，∴≤0，∴.【知识点】方程组，非负数，作差法6.(2022山东青岛中考，11，3分)5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施．6月份，甲工厂用水量比5月份减少了，乙工厂用水量比5月份减少了，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为吨，乙工厂5月份用水量为吨，根据题意列关于x，y的方程组为．【答案】【解析】由“5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨”可列方程x+y=200；由“甲工厂用水量比5月份减少了，乙工厂用水量比5月份减少了，两个工厂6月份用水量共为174吨”可列方程(1－15%)x+(1－10%)y=174；综上可得方程组【知识点】二元一次方程组的应用7.（2022山东威海，17，3分）用若干个形状，大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为_______．25\n【答案】44－16【思路分析】根据图①、图②探索小矩形的长、宽与阴影部分的关系，通过列方程求得x、y的值，进一步结合图形求出图③中阴影部分面积．【解题过程】图①的阴影面积为12，则边长为＝2；图②的阴影面积为8，则边长为＝2；设小矩形的长为x，宽为y，则根据题意得，解得；则12个同样的小矩形围成的阴影部分面积是S＝（x－3y）2＝(）2＝44－16．【知识点】图形规律性问题、列代数式、二元一次方程组1.（2022内蒙古呼和浩特，13，3分）文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元“，小华说：“那就多买一个吧，谢谢”。根据两人的对话可知，小华结账时实际付款_______元。【答案】631.8【解析】解：设小华原来买x个笔袋，则（x+1）+36=18x，解得x=38，（38+1）=631.8（元）【知识点】列一元一次方程解应用题2.(2022山东菏泽，14，3分)一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是．【答案】1525\n【解析】由题意，得3x－2=127，解得x=43．若43不是第一次输入的数，则3x－2=43，解得x=15．若15并不是第一次输入的数，则3x－2=15，解得x=．∵不是正整数，不合题意，故输入的最小正整数是15．【知识点】程序计算；一元一次方程的应用3.（2022·重庆A卷，18，4）为实现营养套餐的合理搭配，某电商推出两款适合不同人群的甲、乙两种袋装的混合粗粮．其中，甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本分别等于袋中的A、B、C三种粗粮的成本之和．已知A粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%．若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%时，该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的袋数之比是．（商品的销售利润率＝）【答案】8﹕9．【解析】∵甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，∴甲种粗粮每袋成本为58.5÷(1＋30%)＝45（元）．∵甲种粗粮每袋装有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮，A粗粮每千克成本价为6元，∴1千克B粗粮与1千克C粗粮的成本之和为45－6×3＝27（元）．∴乙种粗粮每袋装有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮，其成本为6＋27×2＝60（元）．∵乙种粗粮的利润率为20%，∴乙种粗粮的售价为60×(1＋20%)＝72（元）．设甲袋装粗粮销售x袋，乙袋装粗粮销售y袋时，销售这两款袋装粗粮的销售利润率为24%，根据题意，得，整理，得9x＝8y，从而x﹕y＝8﹕9，故答案为8﹕9．【知识点】方程组的应用销售问题4.（2022贵州遵义，15题，4分）现有古代数学问题：“今有牛五羊二值金八两；牛二羊五值金六两，则牛一羊一值金_____两”【答案】二【解析】由题可知，牛七羊七值金十四两，故牛一羊一值金二两25\n【知识点】二元一次方程5.（2022湖南省湘潭市，15，3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为________.【答案】x2+9=(10-x)2【解析】∵AC=x，∴AB=10-x，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2,∴x2+9=(10-x)2.【知识点】列一元一次方程解实际问题；勾股定理6.（2022江苏淮安，12，3）若关于x，y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是，则a=.【答案】4【解析】本题考查二元一次方程的解，由二元一次方程的解的意义可知满足二元一次方程3x-ay=1，代入可得a的值.解：由题意可得，3×3-2a=1,解得a=4.故答案为4【知识点】二元一次方程；二元一次方程的解25\n7.（2022江西，9，3分）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为________．【答案】【解析】牛的价格＋羊的价格＝总价，由牛5头，羊2头，共值金10两得：5x＋2y＝10，由牛2头，羊5头，共值金8两得：2x＋5y＝8，故可列方程组为.【知识点】二元一次方程组，数学文化8.（2022山东德州，17，4分）对于实数,.定义运算“◆”:例如4◆3,因为.所以4◆3=.若满足方程组，则=_____________.【答案】60【解析】因为，所以，因为，所以==60.【知识点】解方程组，新定义9.（2022四川自贡，16，4分）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为、个.【答案】10，20【解析】设该幼儿园购买了甲种玩具x个，乙种玩具y个，根据题意，有，解得，∴该幼儿园购买了甲种玩具10个，乙种玩具20个.【知识点】二元一次方程组的应用25\n10.（2022湖北省襄阳市，13，3分）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为:“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元.问这个物品的价格是多少元?”该物品的价格是=▲元.【答案】53【解析】解：设共有x个人共同购买该物品，依题意得，8x-3=7x+4解得，x=7.8x-3=8×7-3=53元.故答案为53.【知识点】一元一次方程的应用11.（2022·北京，15，2）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为__________元．【答案】380．【解析】从表中可知船越大，平均每人每小时的费用越小，再综合考虑时间因素，租用4人船、6人船、8人船各1只且游玩1小时时租金最少，为380元．【知识点】最优化方案设计；分类思想三、解答题1.（2022四川绵阳，21，11分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨.25\n（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨：（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆，全部货物一次运完.其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货物公司应如何安排车辆最节省费用？【思路分析】（1）设1辆大货车与1辆小货车一次分别可以运x吨、y吨．根据条件建立方程组求出其解即可；（2）首先设货物公司安排大货车m辆，则小货车需要安排(10-m)辆，根据（1）的结论可得出不等式4m+1.5(10-m)≥33，进而得出所有的情况，然后计算出每种情况的花费，进而得出答案.【解题过程】解：（1）设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨.根据题意可得：，解得：.答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货1.5吨.（2）设货物公司安排大货车m辆，则小货车需要安排(10-m)辆，根据题意可得4m+1.5(10-m)≥33，解得m≥7.2.∵m为正整数，∴m可以取8，9，10，当m=8时，该货物公司需花费130×8+2×100=1240元；当m=9时，该货物公司需花费130×9+100=1270元；当m=10时，该货物公司需花费130×10=1300元.答：当该货物公司安排大货车8辆，小货车2辆时花费最少.【知识点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用2.（2022安徽省，16，8分）《孙子算经》中有过样一道题,原文如下:“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”25\n大意为:今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完,问城中有多少户人家？请解答上述问题。【答案】【思路分析】本题考查了列一元一次方程(组)解应用题，解题的关键是找出题目中的相等关系．设城中有x户人家，然后根据每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完列方程求解即可．本题也可以设两个未知数，用方程组求解.【解题过程】解：设城中有x户人家，由题意得x+x=100，解得x=75.答：城中有75户人家。【知识点】列一元一次方程解应用题3.（2022江苏连云港，第24题，10分）某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖经过调查，获取信息如下如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元.(1)红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元?(2)经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少?请说明理由.【思路分析】(1)根据购买红色地砖4000块的价格+购买红色地砖6000块的价格=86000，购买红色地砖10000块的价格+购买红色地砖3500块的价格=99000，列二元一次方程组，解答即可.(2)根据蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000，得出购买蓝色地砖的数量范围，再分情况讨论即可.【解题过程】(1)设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元由题意得25\n解得：答:红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元.5分(2)设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖(12000－x)块，所需的总费用为y元.由题意知x≥(12000－x)，得x≥4000，又x≤6000所以蓝砖块数x的取值范围4000≤x≤6000当4000≤x<5000时，y=10x+8×0.8(12000－x)，即y=76800+3.6x.所以x=4000时，y有最小值91200当5000≤x≤6000时，y=0.9×10x+8×0.8(12000－x)=2.6x+76800.所以x=5000时，y有最小值89800.∵89800＜91200，所以购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元.10分【知识点】二元一次方程组；一元一次不等式组4.（2022山东聊城，21，8分）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？（2）在抽调甲队外援施工的情况下，完了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？【思路分析】（1）设甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为x万立方，y万立方，由题意列方程组，解方程组可以得到答案；（2）设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高m万立方才能保证按时完成任务，由题意列不等式150m≥120-103.2，解不等式可以得到答案.25\n【解题过程】（1）设甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为x万立方，y万立方，由题意得，解得.答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方，0.38万立方.（1）设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高m万立方才能保证按时完成任务，由题意得150m≥120-103.2，解得m≥0.112.答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.【知识点】二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用5.（2022湖南长沙，23题，9分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元。（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？【思路分析】（1）由打折前和打折后的甲乙粽子数量和总价，列出二元一次方程组，解之可得；（2）按照打折前后的价格计算总价，即可求得节省的钱数。【解题过程】（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，得，解得答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元（2）80×70×（1-80%）+100×80×（1-75%）=3120元答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元。【知识点】二元一次方程的应用25\n6.（2022山东烟台，22，9分）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A、B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车和B型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A、B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车和B型车各多少辆？【思路分析】（1）这一问是考察一元一次方程或二元一次方程组的知识，可设A型车x辆，则B型车（100－x）辆，根据A型，B型车的单价，由等量关系“x辆A型车价值+（100－x）辆B型车价值=36800元”可列方程解决第一问；根据题目中“按照试点投放中A、B两车型的数量比进行投放”和第一问得到的结果，可设A型车数量为3m辆，B型车数量为2m辆，再根据“投资总价值不低于184万元”这个条件，可求出A型车和B型车的数量，分别为3000辆和2000辆从而可求出“10万人口平均每100人享有A型车和B型车各多少量”.【解题过程】解：（1）设A型车x辆，则B型车（100－x）辆，由题意得：400x+320（100－x）=36800，∴x=60，∴100－x=40．答：本次试点投放的A型车60辆，B型车40辆．（2）投放A型车和B型车的数量比为60：40=3：2，∴设投放的A型车和B型车各3m辆、2m辆，由题意得：400×3m+320×2m=1840000，∴m=1000．∴A型车：3m=3000辆，B型车：2m=2000辆，∴10万人口平均每100人享有A型车3000÷（100000÷100）=3辆；B型车2000÷（100000÷100）=2辆．答：城区10万人口平均每100人至少享有A型车3辆，B型车2辆．【知识点】一元一次方程的应用(二元一次方程组的应用)；1.（2022湖北黄冈，16题，6分）在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克【思路分析】25\n设出两种粽子的数量，根据数量和总价两个等量关系，可以列出两个方程，进而求解二元一次方程组可得。【解析】解：设A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意得，解之得，答：A型粽子40千克，B型粽子60千克。【知识点】二元一次方程组的应用2.（2022湖北宜昌，19，7分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是:“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何.”意思是:有大小两种盛酒的桶。已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，是古代的一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?请解答.【思路分析】设未知数，列出方程组，解出方程组，写出答案.【解析】解：设1个大桶、1个小桶分别可以盛酒斛，斛，则解这个方程组，得答：1个大桶、1个小桶分别可以盛酒斛，斛.【知识点】用二元一次方程组解应用题.3.（2022福建A卷，17，9）解方程组:【思路分析】用②减去①消去y得到x的值，把x的值代入①求出y的值即可.25\n【解题过程】解：，②-①，得：解得：把代入①，得：解得：所以原方程组的解为.【知识点】解二元一次方程组，消元4.（2022福建B卷，17，9）解方程组:【思路分析】用②减去①消去y得到x的值，把x的值代入①求出y的值即可.【解题过程】解：，②-①，得：解得：把代入①，得：解得：所以原方程组的解为.【知识点】解二元一次方程组，消元25\n5.（2022武汉市，17，8分）解方程组：【思路分析】②－①可求得的值，把代入①求得的值，得方程组的解.【解题过程】②－①，得＝6.将＝6代入①，得，=4.所以方程组的解是【知识点】加减消元法解二元一次方程组6.（2022湖南省永州市，23，10）在永州在青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.小明，你们班这次参观禁毒教育基地的男、女同学各有多少人？25\n【思路分析】从对话中找出相等关系式：男同学人数-1=女同学人数的1.5倍+4人，男同学人数+女同学人数=55人，因此，可以建立方程或者方程组解决问题.【解题过程】设女同学人数为x人，则男同学人数为(1.5x+4+1)人，根据题意，得：x+(1.5x+4+1)=55，解得x=20，则1.5x+4+1=35答：小明班上参观禁毒教育基地的男生有35人、女生有为20人.【知识点】7.（2022四川攀枝花，17，6）(本小题满分6分)解方程.【思路分析】按照解一元一次方程的一般步骤解题【解题过程】去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：【知识点】一元一次方程的解法8.（2022湖南张家界，18，5分）列方程解应用题:25\n《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元.求人数和羊价各是多少？【思路分析】和差倍关系问题.可设买羊人数为未知数，等量关系为：5×买羊人数+45=7×买羊人数+3，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价．【解题过程】解：设买羊为x人，则羊价为（5x+45）元.根据题意，得5x+45=7x+3.解得x=21.5×21+45=150（元）.答：买羊人数为21，羊价为150元．【知识点】一元一次方程的应用9.（2022江苏省宿迁市，19，8）解方程组：【思路分析】观察未知数的系数可知，利用代入消元法比较简单．【解题过程】由①可知，x＝－2y，③代入②得，3×（－2y）＋4y＝6．y＝－3．3分将y＝－3代入③得，x＝6．3分∴方程组的解为2分【知识点】解二元一次方程组25
