知识点33圆的基本性质一、选择题1.（2022浙江衢州，第5题，3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）第5题图A．75°B．70°C．65°D．35°【答案】B【解析】本题考查了圆周角定理等知识，解题的关键是明确圆周角定理．∵∠AOB与∠ACB所对的弧相等，∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，故得到∠AOB=70°，故选B.【知识点】圆周角定理2.（2022浙江衢州，第10题，3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cmB．cmC．2.5cmD．cm【答案】D【解析】本题考查了垂径定理、中位线定理、勾股定理等知识.连接AB，因为AC为直径，AC⊥BD，故BE=ED，又因为OF⊥BC，根据垂径定理可知BF=CF，故可得知OF为△55\nABC的中位线，从而得到OF=0.5AB，易得BE=4,利用勾股定理得到AB的值，故解得。连接AB，因为AC为直径，故∠ABC为直角，又∵AC⊥BD，∴BE=ED=8÷2=4，∵AE=2，根据勾股定理可得：AB=又∵OF⊥BC，根据垂径定理可知BF=CF，故可得知OF为△ABC的中位线，∴OF=AB=故选D。第10题图【知识点】垂径定理、中位线定理、勾股定理；3.（2022甘肃白银，9，3）如图，⊙A过点O(0,0),,D(0,1),点B是轴下方⊙A上的一点，连接BO,BD,则∠OBD的度数是（）A.15°，B.30°C.45°D.60°【答案】B【思路分析】由∠DOC=90°，于是想到连接DC由题意知DO=1,OC=,所以算出直径DC=2,由此得∠DCO=30°，所以∠OBD=∠OCD=30°。【解题过程】连接DC.∵在⊙A中，∠DOC=90°，∴DC过圆心A,即DC是⊙A的直径。55\n∵,D(0,1）∴DO=1,CO=∴在RT△DOC中，CD=∴∠DCO=30°。∴∠OBD=∠DCO=30°。故选B【知识点】90°的圆周角所对的弦是直径；一条直角边等于斜边的一半则这条直角边所对的角是30°；同弧所对的圆周角相等。4.（2022山东聊城，7，3分）如图，中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB、OC.若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A.25°B.27.5°C.30°D.35°【答案】C【解析】∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=∠ADC-∠A=85°-60°=25°，∴∠O=2∠B=2×25°=50°，∴∠C=∠ADC-∠O=85°-50°=30°，【知识点】三角形内外角的关系、圆周角定理、55\n5.（2022年山东省枣庄市，8，3分）如图，是⊙的直径，弦交于点，，，则的长为（）A．B．C．D．8【答案】C【思路分析】过O作OE⊥CD于E，连接OD，在Rt△OEP中，由∠OPE=30°，OP=2计算OE的长；在Rt△OCE中，由OC和OE的长利用勾股定理计算CE的长；最后得出CD=2CE即可.【解题过程】过O点作OE⊥CD于E，∵，∴AB=8,∴OA=OB=4,∴OP=2,∵∴OE=OP=1.在Rt△OCE中，CE=∵OE⊥CD，O是圆心，∴CD=2CE=.故选C.55\n【知识点】垂径定理；勾股定理6.（2022四川省南充市，第5题，3分）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58°B．60°C．64°D．68°【答案】A【解析】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=90°，∵OA=OC，∠OAC=32°，∴∠C=∠OAC=32°，∴∠B=90°－32°=58°，故选A.【知识点】直径所对圆周角是直角；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余7.（2022江苏省盐城市，7，3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（）．A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝∠ADC＝35°，∴∠CAB＝65°．故选C.【知识点】圆的基本性质55\n8.（2022山东省济宁市，4，3）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是()A.50°B.60°C.80°D.100°【答案】D【解析】先找出圆周角∠BCD所对的优弧度数为260°，再结合图形确定劣弧BD的度数为100°，从而根据圆心角∠BOD与劣弧BD的度数之间的相等关系，即∠BOD的度数是100°，因此，本题应该选D.【知识点】圆周角圆心角9.(2022山东青岛中考，5，3分)如图，点在⊙O上，，点是的中点，则的度数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】连接OB，∵，点是的中点，∴∠AOB=∠AOC=70°．∵∠AOB是所对的圆心角，∠D是所对的圆周角，∴∠D=∠AOB=35°．故选D．55\n【知识点】弧、弦、圆心角的关系；圆周角定理10.（2022山东威海，10，3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为()A．B．5C．D．【答案】D【解析】如图，连接OA、OC，OC交AB于点M．根据垂径定理可知OC垂直平分AB，因为∠ABC＝30°，故∠AOC＝60°，在Rt△AOM中，sin60°＝，故AM＝，即AB＝．故选D．【知识点】垂径定理、锐角三角函数1.(2022山东菏泽，6，3分)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）55\nA．64°B．58°C．32°D．26°【答案】D【解析】∵OC⊥AB，∴=．∠ADC是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，∴∠BOC=2∠ADC=64°，∴∠OBA=90°－∠BOC=90°－64°=26°．故选D．【知识点】垂径定理；圆周角定理及推论；2.（2022四川遂宁，8，4分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B.【解析】解：设⊙O的半径为r，则OA=OE=OC=r，∵OC⊥AB，∴AD=AB=.∵CD=1，∴OD=r-1，55\n∴OD2+AD2=OA2，∴(r-1)2+()2=r2,∴r=4，∴OD=3.∵AE是⊙O的直径，∴AB⊥BE，∴OD∥BE，∴BE=2OD=6.故选B.【知识点】垂径定理，勾股定理3.（2022广东广州，7，3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°【答案】D【解析】因为∠AOC＝2∠ABC＝2×20°=40°，而OC⊥AB，所以=，从而有∠AOB＝2∠AOC＝2×40°=80°；故答案为D．【知识点】垂径定理；圆周角定理4.（2022贵州遵义，12题，3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE=3，则AD的长为55\nA.5B.4C.D.第12题图【答案】D【解析】连接BE，因为∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠ACB，所以∠DBE=∠ACB，因为BD是直径，所以∠BED=90°，∠DAB=90°，因为AD∥BC，所以∠ABC=180°-∠DAB=90°，所以∠BED=∠ABC，△BED∽△CBA，所以，得到BE=6，Rt△BED中，可得BD=，在Rt△ADB中，可得AD=，故选D【知识点】圆的对称性，圆周角定理，相似三角形5.（2022江苏淮安，8，3）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°,则∠B的度数是A.70°B.80°C.110°D.140°55\n【答案】C【解析】分析：本题考查圆周角定理，由∠AOC=140°可得优角∠AOC的度数，再由圆周角定理可得结果.解：由∠AOC=140°可得优角∠AOC=220°由圆周角定理可得故选：C．【知识点】圆周角定理；圆周角性质6.（2022福建A卷，9，4）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于()A．40°B.50°C.60°D.80°【答案】D【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果.解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠ACB=50°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，∠BOD=2∠A=80°.【知识点】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理7.（2022福建B卷，9，4）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于()A．40°B.50°C.60°D.80°55\n【答案】D【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果.解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠ACB=50°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，∠BOD=2∠A=80°.【知识点】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理8.（2022贵州安顺，T9，F3）已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB丄CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为（）A.cmB.cmC.cm或cmD.cm或cm【答案】C【解析】由题可知，直径CD=10cm，AB丄CD,AB=8cm,当点M在线段OC上时，OA=OC=5cm，AM=4cm.∵OA²=AM²+OM²，∴OM=3cm，即CM=OC-OM=2cm.由勾股定理，得AC²=AM²+CM²=cm.当点M在线段OD上时，CM=OC+CM=8cm.由勾股定理，得AC²=AM²+CM²=cm.故AC的长为cm或cm.【知识点】垂径定理，勾股定理.9.（2022四川雅安，12题，3分）如图，AB、CE是圆O的直径，且AB=4，，点M是AB上一动点，下列结论：①∠CED=∠BOD；②DM⊥CE；③CM+DM的最小值为4；④设OM为x，则S△OMC=x，上述结论中，正确的个数是第12题图A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】①∠CED=∠COD，因为，所以∠COD=∠BOD，所以∠CED=∠BOD，正确；②M是直径AB上一动点，而CE确定，因此DM⊥CE不一定成立，错误；③因为DE⊥AB，所以D和E关于AB对称，因此CM+DM的最小值在M和O重合时取到，即CE的长，因为AB=4，所以CE=AB=4，③正确；④连接AC，因为，所以∠COA=60°，则△AOC为等边三角形，边长为2，过C作CN⊥AO于N，则CN=，△55\nCOM中，以OM为底，OM边上的高为CN，所以，故④错误。综上，共2个正确，选B。第12题解图【知识点】圆的对称性，圆周角定理，最小值问题，等边三角形，三角形面积10.（2022武汉市，10，3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．D．【答案】B【思路分析】连接OD，过C作CE⊥AB于E，过O作OF⊥CE于F，四边形OFED为正方形；连接AC、DC，由折叠及圆内接四边形的性质可得CA=CD，可求得ED=1，再求出CE的长，可求得BC的长.【解题过程】连接AC、DC、OD，过C作CE⊥AB于E，过O作OF⊥CE于F，∵沿BC折叠，∴∠CDB=∠H，∵∠H+∠A=180°，∴∠CDA+∠CDB=180°，∴∠A=∠CDA，∴CA=CD，∵CE⊥AD，∴AE=ED=1，∵，AD=2，∴OD=1，∵OD⊥AB，∴OFED为正方形，∴OF=1，，∴CF=2，CE=3，∴.55\n第10题答图【知识点】轴对称的性质圆内接四边形的性质正方形的性质与判定等腰三角形的性质与判定勾股定理11.（2022四川自贡，9，4分）如图，若⊿内接于半径为的⊙,且,连接，则边的长为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示，延长CO交⊙于点D，连接BD，∵，∴.∵CD是直径，∴.在Rt△BCD中，，∴，故选择D.55\n【知识点】圆周角定理，解直角三角形12.（2022湖北省襄阳市，10，3分）如图，点A、B、C、D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为(▲)A.4B.C.D.【答案】【解析】解：AO与BC交于点E，∵OA⊥BC，OA为半径，∴弧AC=弧AB，CE=BE，∴∠AOB=2∠ADC=60°，在Rt△BOE中，∵∠BOE=60°，∴BE=OB·sin60°=，∴BC=2BE=.故选D.55\n【知识点】垂径定理、圆周角定理、特殊角的三角函数13.（2022湖南张家界，6，3分）如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则()（6题图）【答案】A【解析】解：∵弦⊥于点，，∴∴AE=OA+OE=5+3=8cm.【知识点】垂径定理，勾股定理14.（2022山东省泰安市，12，3）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（）A．3B．4C．6D．855\n【答案】C【思路分析】是Rt的斜边，连接OP，则OP是Rt斜边的中线，求的最小值的问题就转化为求OP最小值的问题，连接OM交于点P，此时OP取得最小值.【解题过程】解;连接MO，交于点P，则点P就是所求的点，过点P作过点M作，∵的坐标为∴∴由勾股定理得;又∵又∵OP是Rt的中线∴【知识点】直角三角形性质，相似三角形性质，两点之间线段最短15.（2022陕西，9，3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）55\nA．15°B．35°C．25°D．45°【答案】A【思路分析】先求出∠ABC和∠A的度数，然后根据圆周角和平行线的性质求出∠ABD的度数，即可求出∠DBC的度数．【解题过程】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∴∠A=180°－65°×2=50°．∴∠D=∠A＝50°．∵CD∥AB,∴∠ABD=∠D=50°．∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°．故选择A．【知识点】圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的性质二、填空题1.（2022江苏无锡，16，3分）如图，点A、B、C都在上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=.【答案】15°【思路分析】利用圆的半径相等，OC⊥OB，OA=AB，可以证明△OBC是等腰直角三角形、△55\nABO是等边三角形，进而利用特殊三角形的性质求得结论.【解题过程】∵OC⊥OB，OB=OC，∴∠CBO=45°.∵OB=OA=AB，∴∠ABO=60°.∴∠ABC=∠ABO-∠CBO=60°-45°=15°.【知识点】圆的基本性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质2.（2022四川省达州市，16，3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，点D是BC边上一点且CD＝1，点P是线段DB上一动，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP.当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为___________．第16题图【答案】2【解析】如图，以AC为斜边在AC的右下方作等腰Rt△AEC,以AD为斜边在AD的右下方作等腰Rt△AMD，以AB为斜边在AB的下方作等腰Rt△ANB，连接NM并延长，则点E、点C在NM的延长线上.∵∠C＝90°，∠ANB＝90°，∴A、C、B、N四点共圆.55\n∴∠ANC＝∠ABC．∴△ANE∽△ABC．∴＝．在等腰Rt△AEC中，AC＝2，∴AE＝．∵＝，∴NE＝．当点P与点C重合时，点O的位于点E的位置．当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的从点M出发运动至点N．∵＝，∴＝，∴MN＝2．【知识点】圆的基本性质；四点共圆；相似三角形的判定与性质，比例的性质3.（2022浙江绍兴，14，3分）等腰三角形中，顶角为，点在以为圆心，长为半径的圆上，且，则的度数为．【答案】或【解析】（1）如下图：BP=BA=AC，AP=BC，∴四边形APBC为平行四边形，∴∠BAC=∠ABP=40°∠ABC=∠ACB=70°∴∠PBC=∠ABP＋ABC=70°+40°=110°第14题(1)答图55\n(2)由AP=BC，BP=AC，AB=AB;∴△BAP∽△ABC，∠PBA=∠BAC=40°;∴∠PBC=∠ABC－∠ABP=70°－40°=30°第14题(2)答图【知识点】圆的相关定义、平形四边形的判定和性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质。4.（2022湖南长沙，18题，3分）如图，点A，B，D在圆O上，∠A=20°，BC是圆O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=______度。第18题图【答案】50°【解析】∠A=20°，由圆周角定理，∠O=2∠A=40°，因为BC与圆O相切，所以OB⊥BC，∠OBC=90°，所以Rt△OBC中，∠OCB=90°-∠O=50°【知识点】圆周角定理，切线性质，直角三角形55\n5.（2022山东临沂，18，3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是cm．第18题图【答案】【解析】能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的△ABC外接圆⊙O，连接OB，OC，则∠BOC=2∠BAC=120°，过点D作OD⊥BC于点D，∴∠BOD=∠BOC=60°，由垂径定理得BD=BC=cm，∴OB=，∴能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是.【知识点】垂径定理三角函数三角形外接圆6.（2022山东烟台，16，3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为.55\n【答案】（－1，－2）【解析】如图，连接AB，BC，分别作AB和BC的中垂线，交于G点．由图知，点G的坐标为（－1，－2）．【知识点】垂径定理7.（2022四川省宜宾市，15，3分）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F,DB交AC于点G，若=,则=.【答案】【解析】如图：连接OD、AD、BC，则∠ADB=∠ACB=90°，OD⊥AC，∵DE⊥AB，∴∠FAE=∠FDG,∴△AFE∽△55\nDOE,设OD=y,EF=3x,AE=4x,则AF=5x,∵△AFE∽△DOE,∴,即，∴y=10x,∴OE=6x，DE=8x,∵EF=3x，∴DF=AF=5x，∴∠DAF=∠ADF，∵=sin∠CBG，∠CBG=∠DAF，∴sin∠CBG=sin∠DAF=sin∠ADF=.【知识点】相似三角形的性质和判定；勾股定理；解直角三角形8.（2022浙江杭州，14，4分）如图，AB是O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交O于点D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA=___________.【答案】30°【解析】【知识点】垂径定理，圆的角度计算1.（2022湖北鄂州，16，3分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为射线CD上一动点（不与C重合），以CE为边向正方形ABCD外作正方形CEFG，连接DG，直线BE、DG相交于点P，连接AP，当线段AP的长为整数时，则AP的长为．【答案】2或1．55\n【思路分析】先利用SAS定理证明△BCE≌△DCG，从而证得BP⊥DG，再由圆周角定理的逆定理证得A、B、C、D、P五点共圆，得到AP＜BD＝即可．【解析】解：∵四边形ABCD和CEFG是正方形，∴∠BCE＝∠DCG＝90°，BC＝CD，CE＝CG，则在△BCE和△DCG中，∵，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠PBG＝∠DCG，又∵∠DCG＋∠DGC＝90°，∴∠PBG＋∠BGP＝90°，即∠BPG＝90°，即BP⊥DG，∴、B、C、D、P五点共圆，则BD是圆的直径，故弦AP＜BD，又∵BD＝，∴AP＜，∴当线段AP的长为整数时，则AP的长为2或1．【知识点】五点同圆；圆周角定理的逆定理；勾股定理；圆的性质；全等三角形的判定定理2.（2022湖北黄冈，11题，3分）如图，△ABC内接于O，AB为O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=________第11题图【答案】【解析】连接BD，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，所以∠DAB=30°，∠ABC=30°，因为AB是O的直径，所以∠C=∠D=90°，所以，因为∠C=90°，∠CAB=60°，所以∠ABC=30°，所以55\n第11题解图【知识点】圆周角定理的推论，直角三角形性质，三角函数3.（2022内蒙古呼和浩特，16，3分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合）且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM;②无论点M动到何处，都有DM=HM;③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°，其中正确结论的序号为________【答案】①②③【解析】连接BH,易证△CDH≌△CBH.∴∠CHB=∠DHC=.∵∠CBH=900,EH⊥AC,∴点C,B,E,H四点共圆，∴∠BEC=∠BHC=,∴∠BCE=,∴CE=2BE,由平移知DM=CE=2BE.①正确.易证△BEH≌△MAH,∴HM=HB=HD,∴∠MHA=∠BHE=∠OBH=∠ODH,∴∠OHD+∠AHM=,∴∠DHM=,即△DH是等腰直角三角形，故DM=MH.②正确.③由②得∠DHM=90°,∵∠CHD＞∠CAD=45°,∴∠CHM＞135°,55\n③正确;【知识点】正方形的性质，平移的性质，圆的性质，全等三角形的判定与性质4.（2022四川雅安，17题，3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田（如图阴影部分），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为______米2.第17题图【答案】【解析】由题可知，∠AOB=120°，OB=4，OC⊥AB，“矢”为CD的长，则AD=DB，Rt△BOD中，∠OBD=30°，所以OD=2，“矢”为CD的长，CD=2，BD=，AB=2BD=，即“弦”的长，由公式，弧田面积=(弦×矢+矢2)=(×2+22)=第17题解图【知识点】垂径定理，含30°的直角三角形5.（2022湖北省孝感市，14，3分）已知O的半径为10cm，，是O的两条弦，，AB=16cm，CD=12cm，则弦和之间的距离是．【答案】2或14【解析】分两种情况：如图①，当弦AB和CD在圆心的同侧时，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=55\nAB=8cm，CF=CD=6cm，∴根据勾股定理，OE==6（cm），OF==8（cm）.∴EF=OF-OE=8-6=2（cm）.如图②,当弦AB和CD在圆心的同侧时，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=AB=8cm，CF=CD=6cm，∴根据勾股定理，OE==6（cm），OF==8（cm）.∴EF=OE+OF=8+6=14（cm）.综上，弦和之间的距离是2cm或14cm.①②【知识点】垂径定理；勾股定理.6.（2022四川凉山州，15，4分）如图，△ABC外接圆的圆心坐标是【答案】(4,6)【解析】因为是外接圆的圆心,所以外心到三个顶点的距离都相等,等于外接圆的半径.那么就是各边中垂线的交点.【知识点】外接圆的圆心，中垂线，点的坐标.55\n7.（2022四川凉山州，16，4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若CD＝8，∠D＝60°，则⊙O的半径为【答案】【解析】先在Rt△ADE中，由勾股定理建立方程，解出AE.再连接OD,设OD=OA=x，则OE=4-x，在Rt△ODE中，由勾股定理建立方程，解出x.(第16题答图)【知识点】勾股定理，二元一次方程的解.8.（2022·北京，12，2）如图，点A，B，C，D在⊙O上，弧CB＝弧CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝________°．55\n【答案】70°．【解析】∵弧CB＝弧CD，∠CAD＝30°，∴弧CB与弧CD的度数都为60°．∵∠ACD＝50°，∴弧AD的度数都为100°．∴劣弧AB的度数都为140°．∴∠ADB＝×140°＝70°．【知识点】圆周角定理；圆的有关性质9.（2022广西玉林，16题，3分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是______cm第16题图【答案】10【解析】由题可知，AB=12，CD=2，OC⊥AB于点D，所以AD=DB=6，设OB=r，则在Rt△ODB中，(r-2)2+62=r2，解得，r=10【知识点】垂径定理，勾股定理10.（2022山东省泰安市，14，3）如图，是的外接圆，，，则的直径55\n为．【答案】【解析】（1）构造以直径BD为斜边的Rt，根据圆周角∠A和圆周角∠D之间的关系推出是等腰直角三角形，从而可求出直径的长。（2）连接OB、OC，根据圆心角∠O和圆周角∠A之间的关系推出是等腰直角三角形，先求出半径OB或OC的长，从而再求出直径的长.解法一：如图1，过点B作直径BD，连接DC，则∠BCD=90°∵∴∴是等腰直角三角形∵，∴根据勾股定理得：解法二：如图2，连接OB、OC∵∴∴是等腰直角三角形∵，∴根据勾股定理得：∴【知识点】圆周角性质，等腰三角形性质，勾股定理.三、解答题1.（2022四川内江，23，6）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE＝3，⊙O的半径r55\n＝2，直线AB不垂直于直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、C，则四边形ABCD的面积的最大值为．【答案】12【思路分析】由于四边形ABCD为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形的中位线，证得两底之和与线段OE的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径AB为梯形的高时，面积最大．【解题过程】解：连接DO并延长交CB的延长线于F，∵AD⊥l，BC⊥l，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠FBO，∠ADO＝∠F，∵OA＝OB，∴△AOD≌△BOF，∴AD＝BF，OD＝OF，∵OE⊥l，∴AD∥BC∥OE，∴＝，∴DE＝CE，∴OE＝CF＝(BF＋BC)＝(AD＋BC)，∴AD＋BC＝2OE＝6，∵四边形ABCD的面积＝(AD＋BC)×CD，∴当AB∥l时，即AB为梯形的高时四边形ABCD的面积最大，最大值为×6×4＝12．【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形；2.（2022安徽省，20，10分）如图,⊙O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.55\n【思路分析】(1)按照角的平分线的尺规作图步骤，可做成AE符合要求；（2）根据相等圆周角，确定弧BE=弧EC，根据垂径定理知OE⊥BC，在Rt△ODC中以及Rt△DEC中，可求出CE的长【解题过程】（1）如图所示：（2）连接OE、OC、EC,由（1）知AE为∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠CAE,∴弧BE=弧EC，根据垂径定理知OE⊥BC，则DE=3.∵OE=OC=5，∴OD=OE-DE=2.在Rt△ODC中，在Rt△DEC中，∴弦CE的长为55\n【知识点】角平分线的尺规作图，垂径定理，勾股定理3.（2022江苏无锡，24，8分）如图，四边形ABCD内接于，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长.【思路分析】如图所示，延长AD、BC交于点E，利用圆内接四边形的性质证明△ECD∽△EAB，进而利用相似三角形的性质可以求得AD的长.【解题过程】如图所示，延长AD、BC交于点E，55\n∵四边形ABCD内接于，∠A=90°，∴∠EDC=∠B，∠ECD=∠A=90°，∴△ECD∽△EAB，∴.∵cos∠EDC=cosB=，∴，∵CD=10，∴，∴ED=,∴.∴，∴AD=6.【知识点】圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、分式方程的解法4.（2022山东省济宁市，18，7）（7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法.现有以下工具：①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）.55\n（1）在图1中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积.”如果测得MN=10cm，请你求出这个环形花坛的面积.【思路分析】（1）根据垂径定理，可知：圆心O必在直线CD上，则直线CD与C′D′的交点即为所求的点O；（2）设切点为C，连接OM，OC．从而化归直角三角形中，应用勾股定理即可解决问题.【解题过程】（1）如图点O即为所求；（2）设切点为C，连接OM，OC．∵MN是切线，∴OC⊥MN，∴CM=CN=5，∴OM2-OC2=CM2=25，∴S圆环=π•OM2-π•OC2=25π．【知识点】尺规作图的应用线段的垂直平分线的性质垂径定理勾股定理1.（2022贵州遵义，26题，12分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA、DC，已知半圆O的半径为3，BC=2（1）求AD的长；55\n（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，做∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F，当△DPF为等腰三角形时，求AP的长。第26题图【思路分析】（1）连接OD，通过已知线段长度和DE是AC的垂直平分线求得OE长，在Rt△DOE中求得DE长，进而在Rt△ADE中求得AD长；（2）因为等腰三角形不确定，应分类讨论当DP=DF时，P与A重合，当PD=PF时，可通过相似得到△CDP是等腰三角形，从而求出CP和AP，当FP=FD时，可通过角的等量代换得到△CDP是等腰三角形，在Rt△DEP中利用勾股定理求得DP，从而求出CP和AP。【解析】（1）如图1，连接OD，因为半径为3，所以OA=OB=OD=3，因为BC=2，所以AC=8，因为DE垂直平分AC，所以DA=DC，AE=4，∠DEO=90°，OE=1，在Rt△DOE中，，在Rt△ADE中，第26题解图1（2）因为△PDF为等腰三角形，因此分类讨论：①当DP=DF时，如图2，A与P重合，则AP=0第26题解图2②当PD=PF时，如图3，因为∠DPF=∠A=∠C，∠PDF=∠CDP，所以△PDF∽△55\nCDP，因为PD=PF，所以CP=CD，所以CP=，AP=AC-PC=第26题解图3③当FP=FD时，如图4，因为△FDP和△DAC都是等腰三角形，∠DPF=∠A，所以∠FDP=∠DPF=∠A=∠C，所以,设DP=PC=x，则EP=4-x，在Rt△DEP中，DE2+EP2=DP2，得，得x=3，则AP=5第26题解图4综上所述，当△DPF为等腰三角形时，AP的长可能为0，，5【知识点】勾股定理，等腰三角形，相似三角形2.（2022河北省，23，9）如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB的中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝a．（1）求证：△APM≌△BPN；（2）当MN＝2BN时，求α的度数；（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．第23题图55\n【思路分析】（1）根据已知条件可知，△APM与△BPN存在两组对应角及其中一条边对应相等，可证全等；（2）当MN＝2BN时，利用第（1）的结论，可得到△BPN为等腰三角形，从而求出α的度数；（3）根据三角形外心的特点：锐角三角形外心的三角形内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部可求得α的度数．【解析】（1）∵P为AB的中点，∴AP＝BP．1分又∵∠A＝∠B，∠PAM＝∠BPN，∴△APM≌△BPN．2分（2）∵△APM≌△BPN，∴PM＝PN．1分∵MN＝2BN，∴BN＝PN．∴α＝∠B＝50°．2分（3）∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN是锐角三角形．1分∴0°＜α＜90°，0°＜180°－α－50°＜90°．∴40°＜α＜90°．2分【知识点】三角形全等，等腰三角形性质，三角形内角和，三角形的外心3.（2022湖南省湘潭市，25，10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．55\n【思路分析】（1）①当∠AOM=60°时，D=30°，△AMO为等边三角形，然后根据含有30°角的直角三角形的性质得到AD=2AO，再结合△AMO为等边三角形求出DM的长；②连接BM，则可得∠AMB=90°，根据两个角相等的三角形是相似三角形得到△AOD∽△ABM，从而得到求出AD的长，进而求出DM的长；（2）在图a中，由于AB是直径，所以∠AMB=90°，所以∠DMC+∠CMB=90°，然后根据所对的圆心角与圆周角的关系得到∠CMB=∠COB，从而得到∠DMC的度数为45°，是一个定值；在图b中,连接AC、MB，由于ACMB是圆内接四边形，根据性质可得∠CMB与∠CAO互补，再结合△ACO为等腰直角三角形，从而得到∠DMC的度数仍然是一个定值.【解析】解：（1）①当∠AOM=60°时，∵OM=OA，∴△AMO是等边三角形，∴∠A=∠MOA=60°，∴∠MOD=30°，∠D=30°，∵CO⊥AO，∴AD=2AO=20，∴DM=OM=10.②连接MB，∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∵CO⊥AO，∴∠AOD=90°，∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ABM，∴，∵AO=10，AM=12，∴AD=,∴DM=AD-AM=（2）当点M位于之间时，连接BM，如图：∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∴∠DMC+∠CMB=90°，∵∠CMB=∠COB=45°，∴∠CMD=45°；55\n当点M位于之间时，连接BM、AC，如图：∵四边形ACMB为圆内接四边形，∴∠CMB+∠CAO=180°，∵CO⊥AO，∴∠AOD=90°，∴△ACO为等腰之间三角形，∴∠CAO=45°，∵∠AMB=90°，∴∠DMC=180°-90°-45°=45°.综上所述，∠CMD=45°.【知识点】圆内接四边形；圆周角定理；等边三角形的性质；含30°直角三角形的性质4.（2022福建A卷，24，12）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，DE⊥AB交AB于点E，交⊙O于点F．(1)延长DC、FB交于点P，求证：PB=PC；(2)如图2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠EDB的度数．EE(图2)【思路分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，推出∠DEA=∠ABC，判定出BE、DF的位置关系，进而得出∠F=∠PBC，再根据“同角的补角相等”证得∠PCB=∠F，代换出∠PCB、∠PBC的关系，就可得出结论PB=PC；（255\n）先判定四边形DHBC是平行四边形，利用正弦函数求得∠ACB度数，然后根据等腰三角形性质和平行线性质计算出∠EDB的度数.【解题过程】解：（1）∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC，∴BE∥DF，∴∠F=∠PBC，∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°，又∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠PCB=∠F，∴∠PCB=∠PBC，∴PC=PB；（2）如图2，连结OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥DC，又∵BC∥DE，∴四边形DHBC为平行四边形，∴BC=DH=1,在△ABC中，AB=，∴∠ACB=60°，从而BC=AC=OD，∴DH=OD，在等腰三角形DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，设DE交AC于N，∵BC∥DE，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°-（∠ONH+∠OHD）=40°，∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠DOC=20°，则∠CBD=∠OAD=20°，∵BC∥DE，∴∠BDE-∠CBD=20°.【知识点】等腰三角形的性质；圆；平行线判定及性质，直角三角形性质55\n5.（2022福建B卷，24，12）如图,D是△ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F,BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.(1)求证:BG∥CD;(2)设△ABC的外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.【思路分析】（1）先利用等腰三角形性质、圆内接四边形性质推出角相等，从而证得BC、DF的位置关系，再利用平行线性质证得∠ABC=90°，得出AC是圆的直径，由此可计算出∠ADC度数，再由BG⊥AD，即可证得结论；（2）先判定四边形DHBC是平行四边形，利用正弦函数求得∠ACB度数，分别判断出BC、AC和DH、AC的数量关系，再分两种情况讨论，利用根据等腰三角形性质计算出∠EDB的度数.【解题过程】解：（1）∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，又∵∠PCB+∠BCD=180°，∴∠PCB=∠BAD，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是圆的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD。（2）由（1）知BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH为平行四边形，∴BC=DH，在△ABC中，AB=DH，，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC。（ⅰ）当点O在DE的左侧时，如图1，作直径DM，连结AM，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°，∵DE⊥AB，∴∠55\nBED=90°，∴∠ABD+∠BDE=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE。∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，∵∠ADB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠ADM=∠BDE=20°；（ⅱ）当点O在DE的右侧时，如图2，作直径DN，连结BN，同（ⅰ）可得∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上，∠BDE=20°或∠BDE=40°。【知识点】等腰三角形的性质；平行线的判定及性质；圆周角的性质6.（2022广东省深圳市，22，？分）如图在⊙O中，BC＝2，AB＝AC，点D为AC上的动点，且cos∠ABC＝.(1)求AB的长度；(2)求AD·AE的值；(3)过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD＋DH.55\n【思路分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由垂径定理可得BM＝MC＝BC＝1，再由cos∠ABC＝即可求出AB的长度；（2）由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，然后由圆内接四边形对角互补可证得∠ADC＝∠ACE，从而证出△EAC∽△CAD，从而求出AD·AE的值；（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，可证得△ABN≌△ACD，可得AN＝AD，再由等腰三角形三线合一的性质可得DH＝NH，即可证得BH＝CD＋DH.【解题过程】解：（1）过点A作AM⊥BC于点M，∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2，∴BM＝MC＝BC＝1，又∵cos∠ABC＝，则在Rt△AMB中，，即，解得AB＝；(2)连接CD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ADC＝∠ACE，又∵∠EAC＝∠DAC，∴△EAC∽△CAD，∴，即，∴AD·AE＝＝10；（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，则在△ABN和△ACD中，∵，∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN＝AD，又∵AH⊥BD，∴DH＝NH，又∵BN＝CD，∴BH＝BN＋NH＝CD＋DH.【知识点】锐角的三角函数；圆周角定理的推论；垂径定理；等腰三角形的性质；相似三角形的性质和判定；全等三角形的性质和判定7.（2022河南，22，10分）（1）问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M．填空：55\n①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M．若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长．【思路分析】(1)依据条件，构造三角形全等，得到对应边相等，比值为1;对应角相等,再根据三角形内角和为180°，求出∠AMB的度数.或者由题意可知△OAC可由△OBD旋转而得到，所以根据对应边所在直线夹角等于旋转角这一性质得到∠AMB的度数.(2)首先由含30°角的直角三角形的三边关系得到.由（1）中三角形全等过渡到第二问三角形相似（根据两边对应成比例且夹角相等两三角形相似），得到=.且对应角相等，即∠CAO=∠BOD,再根据三角形内角和得到∠AMD=∠AOB=90°.（3）画出符合要求的图形至关重要，根据添加辅助圆的两种渠道“定点定长”和“定角定长”可添加以O为圆心OC为半径和以AB为直径的辅助圆，两圆的交点即为M，再套用（2）中的结论，可求AC得长度.【解题过程】（1）① ………………………………………………………………………1分55\n②（注：若填为40，不扣分）．………………………………………2分（2）（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分）…4分理由如下：∵∴∵∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD．∴………………………………………………………6分∴,∠CAO=∠DBO．…………………………8分（3）……………………………………………………10分提示：解法一：分别以AB为直径画圆，以O为圆心，OC为半径画圆，两个交点处C、M重合.如图所示.图1中,作OD⊥CD于点H，∵∠OCD=30°，∴∠HOD=30°，∴DH=,OH=,∴在Rt△OHB中，BH=.∴BD=,套用（2）中的结论AC==；图2中，同理BD=,∴AC==.图1图2解法二：若OD=1,OB=，则CD=2，AB=255\n①如图，当C1与M重合时，由（2）知∠AC1B=90°，设BD1=x，则AC1=在Rt△AC1B中，，∴，∴（舍去）②如图，当C2与M重合时，由（2）知∠AC2B=90°，设BD2=x，则AC2=在Rt△AC2B中，，∴，∴（舍去）∴当BD=2或BD=3时，【知识点】1.含30°角的直角三角形的三边关系2.三角形全等的判断及性质SSS三边对应相等，两三角形全等.55\nSAS两边对应相等且夹角相等，两三角形全等.AAS两角及其中一角的对边对应相等，两三角形全等.ASA两角及其夹边对应相等，两三角形全等.HL两直角三角形，有一组直角边和斜边分别对应相等，两三角形全等.3.相似的判定和性质4.圆的定义和性质：到定点的距离等于定长的点的集合；直径所对的圆周角是直角.5.勾股定理6.对数形结合思想，分析问题的能力，计算能力等都有较高要求.8.（2022湖南张家界，20，6分）55\n如图，是⊙的直径延长线上一点,且=4,点为上一个动点(不与重合),射线与⊙交于点(不与重合).(1)当在什么位置时,的面积最大,并求岀这个最大值；(2)求证:∽.【思路分析】（1）已知三角形的底边一定，当底边的高最大时，三角形有最大面积，即当点M在AB弧的中点处时，△MAB的面积最大.（2）如果两个三角形中，其中两个角相等，则这个两个三角形相似.因为弧BN所对的两个圆周角相等，∠P=∠P，所以.【解题过程】解：（1）当点M在AB弧的中点处时，的面积最大.∴；（2），.【知识点】最值问题，相似三角形的判定，同弧对等角9.（2022浙江省台州市，24，14分）如图，是的内接三角形，点在上，点在弦上（不与重合），且四边形为菱形.55\n（1）求证：；（2）求证：；（3）已知的半径为3.①若，求的长；②当为何值时，的值最大？【思路分析】（1）利用菱形的性质“菱形的对角线平分每一组对角”可以得到∠EBC=∠DBC，然后通过圆周角定理得到AC=CD，又因为CD=CE，等量代换可得AC=CE.（2）延长BA到点F，使AF=AC，连接FC，通过证明ΔBCE∽ΔBCF即可得证.（3）①连接ED，交BC于点H，连接OB，通过构造直角三角形以及利用菱形的性质即可求解.②通过设，从而表示出，然后通过勾股定理求出，建立关于x的二次函数，通过配方法求出二次函数的最值，x的值也就是的值，也就得到了所求的问题.【解题过程】（1）∵四边形BDCE是菱形，∴∠EBC=∠DBC，CD=CE，∴，∴AC=CD，∴AC=CE（2）如图所示，延长BA到点F，使AF=AC，连接FC，55\n∵AC=CE∴∠CEA=∠CAE,∴∠BEC=∠CAF∵BE=CE，AC=AF，∴∠EBC=∠ECB=∠ACF=∠F∴ΔBCE∽ΔBCF∴，即∵AC=CE，AC=AF，∴∴（3）①如图所示：55\n连接ED，交BC于点H，连接OB由得，∴，即，∴，∵四边形BDCE是菱形，∴ED⊥BC，BH=CH，即ED是BC的垂直平分线，∵点O是外心，∴点O在ED上，∵，∴，设AC=3k，BH=k，则BD=CE=AC=3k，在RTΔBDH中，，∴OH=OD-DH=3-在RTΔOBH中，，即，解得，55\n∴，∴=②如图所示：设，则，∵，∴，∴∴∵四边形BDCE是菱形∴BD=CE=AC在RTΔBDH中，，∴，55\n∴，在RTΔBOH中，，即，整理得：∴∵a=-9<0，∴有最大值∵∴当x=时，取到最大值，即时，取到最大值.【知识点】菱形的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的外心；勾股定理；配方法求二次函数的最值；55
