知识点34与圆有关的位置关系一、选择题1.（2022四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点为原心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）A.3B.2C. D.【答案】D【解析】由题可知，B（-2,0），C（0，），P为直线上一点，过P作圆O的切线PA，连接AO，则在Rt△PAO中，AO=1，由勾股定理可得，要想使PA最小，要求PO最小，所以过点O作OP⊥BC于点P，此时PO=，PA=【知识点】一次函数，圆的切线，勾股定理2.（2022四川内江，7，3）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2＝4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【答案】C【解析】解：∵3－2＜O1O2＜3＋2，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选择C．【知识点】圆与圆的位置关系3.（2022江苏无锡，8，3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的与边AB、CD分别交于点E、F.给出下列说法：(1)AC与BD的交点是的圆心；(2)AF与DE的交点是的圆心；(3)BC与相切.其中正确说法的个数是（）A.0B.1C.2D.3110\n【答案】C【思路分析】利用圆周角定理的推理确定的圆心，进而判定(1)、(2)的正确性；连接OG，通过证明OG⊥BC说明BC与相切.【解题过程】∵矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴AF与DE都是的直径，AC与BD不是的直径，∴AF与DE的交点是的圆心，AC与BD的交点不是的圆心，∴(1)错误、(2)正确.连接AF、OG，则点O为AF的中点，∵G是BC的中点，∴OG是梯形FABC的中位线，∴OG∥AB，∵AB⊥BC，∴OG⊥BC，∴BC与相切.∴(3)正确.综上所述，正确结论有两个.【知识点】矩形的性质、圆周角定理的推论、梯形中位线的判定与性质、圆的切线的判定4.（2022·重庆B卷，10，4）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是110\n（）A．2B．C．D．【答案】B．【解析】如下图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC．∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝2，tanA＝，∴OD＝AD•，tanA＝2×tan30°＝2×＝2．∴AO＝2OD＝4，AB＝OA＋OB＝6．∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，∴∠ABD＝∠AOD＝30°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°．∴∠C＝90°＝∠ADO．∴OD∥BC．∴，即．∴DC＝．110\n【知识点】圆圆的切线相似三角形5.（2022山东烟台，10，3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数是（ ）A．56°B．62°C．68°D．78°【答案】Ｃ【解析】∵点I是△ABC的内心，∴AI、CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC=90°+∠B=124°，∴∠B=68°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠B＝68°，故选C．【知识点】三角形内心；圆内接四边形的性质；6.（2022四川省德阳市，题号9，分值：3）已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A.2B.1C.3D.32第9题答图【答案】B.110\n【解析】如图，设△ABC的边长为a，由正三角形的面积公式得S△ABC=34a2，∴=34a2=3，解得a=2或-2（舍），∴BC=2.∵∠BAC=60°，BO=CO，∴∠BOC=120°，则∠BCO=30°.∵OH⊥BC，∴BH=12BC=1，在Rt△BOH中，BO=BH÷cos30°=233，所以圆的半径r=233.则OF=233.如图，正六边形内接于圆，且半径为233，可知∠EOF=60°，在△EOF中，OE=OF，OD⊥EF，∴∠EOD=30°.在Rt△DOE中，OD=OF·cos30°=233×32=1.所以边心距为1.110\n【知识点】正多边形和圆1.（2022湖北鄂州，8，3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，AC是⊙O的直径，OP与AB相交于点D，连接BC．下列结论：①∠APB＝2∠BAC；②OP∥BC；③若tanC＝3，则OP＝5BC；④AC2＝4OD·OP．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A．【思路分析】利用切线长定理证明Rt△APO≌Rt△BPO，再利用同角的余角相等，可证得∠AOP＝∠C，得到OP∥BC，∠APB＝2∠BAC，故①②正确；利用勾股定理和∠AOP＝∠C，可证得OP＝，故③正确；利用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明△ABC∽△PAO，再通过等量代换可证得AC2＝4OD·OP，故④正确．【解析】解：A选项，设OP与⊙O交于点E，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°，则在Rt△APO和Rt△BPO中，∵，∴Rt△APO≌Rt△BPO（HL），∴∠APB＝2∠APO＝2∠BPO，∠AOE＝∠BOE，∴∠AOP＝∠C，∴OP∥BC，故②正确；∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠C＝90°，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＋∠AOP＝90°，即∠C＋∠APO＝90°，∴∠APO＝∠BAC，∴∠APB＝2∠APO＝2∠BAC，故①正确；∵tanC＝3，∴tan∠AOP＝3，则在Rt△ABC中，，则AB＝3BC，故AC＝，在Rt△BPO中，，则AP＝3OA，故OP＝，故③正确；∵OA＝OC，OP∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝，BC＝2OD，在△ABC和△PAO中，∵∠OAP＝∠ABC＝90°，∠AOP＝∠C，∴△ABC∽△PAO，∴，∴，∴，∴AC2＝4OD·OP，故④正确．故选A．110\n【知识点】切线长定理；相似三角形的性质和判定；中位线定理；勾股定理；平形线的判定定理；全等三角形的判定定理2.（2022·重庆A卷，9，4）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4B．2C．3D．2.5【答案】A．【解析】如下图，连接OD．∵PC切⊙O于点D，∴OD⊥PC．∵⊙O的半径为4，∴PO＝PA＋4，PB＝PA＋8．∵OD⊥PC，BC⊥PD，110\n∴OD∥BC．∴△POD∽△PBC．∴，即，解得PA＝4．故选A．【知识点】圆；直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与3.（2022河北省，15，2）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5B．4C．3D．2【答案】B【解析】设△ABC的AB边上的高为h，△MNI的MN边上的高为r，周长为a，则△ABC的内切圆半径为r．∴△ABC的面积＝12AB·h＝12（AB＋BC＋AC）·r．∴4h＝9r．∴rh＝49．∵△MNI∽△ABC，∴rh＝a9＝49．∴a＝4．故选B．【知识点】三角形的内心，三角形相似4.（2022湖北宜昌，12，3分）如图，直线是的切线，为切点，交于点，点在上，连接，则的度数为()110\n(第12题图)A．30°B．35°C.40°D．45°【答案】D【解析】∵直线是的切线，为切点，∴∠OCB=90°，∵，∴∠COD=90°，∴∠CED=45°，故选择D.【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质.5.（2022广东省深圳市，10，3分）如图，一把直尺，80°的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是()A．3B．C．D．【答案】D．【思路分析】由切线长定理定理可得，∠CAO＝∠OAB，从而求出∠BAO的度数，再在Rt△OAB中，用60°角的正切即可求出半径的长．【解析】解：如图，设圆心为点O，设另一个切点为点C，连接OA、OB、OC，则由切线长定理可得，∠CAO＝∠OAB＝（180°－60°）＝60°，则在Rt△OAB中，tan∠BAO＝，即，解得OB＝，故直径为．故选D．【知识点】切线的性质；切线长定理；锐角三角函数110\n6.（2022湖北荆门，9，3分）如图，在平面直角坐标系中，，，，是的内心，将绕原点逆时针旋转后，的对应点的坐标为（）A．B．C.D．【答案】A.【解析】∵I是△ABC的内心，，，，∴I的坐标为（3，2），∴将绕原点逆时针旋转后，I的对应点I′的坐标为（-2，3）.故选A.【知识点】三角形的内心，作图-旋转变换7.（2022山东省泰安市，9，3）如图，与相切于点，若，则的度数为（）A．B．C．D．110\n【答案】A【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA、OB，可求得∠AOB的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论.解：连接OA、OB，∵BM与相切∴∠OBM=90°∵∴∠ABO=50°∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO=50°∴∠AOB=80°∴=【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质二、填空题1.（2022四川内江，24，6）已知△ABC的三边a，b，c满足a＋＋｜c－6｜＋28＝4＋10b，则△ABC的外接圆半径＝．【答案】110\n【思路分析】将已知a＋＋｜c－6｜＋28＝4＋10b进行分组，配成完全平方式，利用平方数，绝对值的非负性求出a，b，c的值，从而确定三角形的形状，然后求出外接圆半径．【解题过程】解：原式整理得：－10b＋25＋a－1－4＋4＋｜c－6｜＝0，＋－4＋4＋｜c－6｜＝0，＋＋｜c－6｜＝0，∵≥0，≥0，｜c－6｜≥0，∴b＝5，c＝6，a＝5，∴△ABC为等腰三角形．如图所示，作CD⊥AB，设O为外接圆的圆心，则OA＝OC＝R，∵AC＝BC＝5，AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴CD＝＝4，∴OD＝CD－OC＝4－R，在Rt△AOD中，＝＋，解得R＝．【知识点】完全平方公式；绝对值；勾股定理；等腰三角形外接圆；2.（2022安徽省，12，5分）如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE【答案】60°【解析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．解：连接OA，110\n∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为：60．【知识点】切线的性质；菱形的性质．3.（2022湖南岳阳，16，4分）.如图，以为直径的与相切于点，交的延长线于点，直径，，弦，垂足为点，连接，，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①；②扇形的面积为；③；④若点为线段上一动点，则有最大值20.25.110\n【答案】①③④.【解析】解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB，∴，故①正确；∵∠A=30°，∴∠COB=60°，∴扇形OBC=，故②错误；∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∴∠OCD=∠OFC，∠EOC=∠COF，∴，故③正确；设AP=x，则OP=9-x，∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=，∴当x=时，AP·OP的最大值为=20.25，故④正确.故答案为①③④.【知识点】垂径定理，扇形面积计算公式，相似三角形的判定，二次函数的性质4.（2022江苏连云港，第14题，3分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________°.【答案】44【解析】解：连接OB.110\n∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=22°，∴∠AOB=136°，∵OC⊥OA，∴∠AOC=90°，∴∠COB=46°，∵CB是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠OCB=90°－46°=44°，故答案为：44°.【知识点】切线的性质；直角三角形的性质5.（2022江苏泰州，16，3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心、长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为.【答案】或【解析】设⊙P的半径为r，∵∠ACB=90°，∴=sinA=，，∵AC=12，∴BC=5，AB=13，由旋转得∠A′CB′=∠ACB=90°，∠A′=∠A，A′C=AC=12，B′C=BC=5，A′B′=AB=13，∴∠A′CB=180°，∴A′、C、B′三点共线，∵点P到直线BC的距离小于半径P′A，∴⊙P与直线BC始终相交，过点P作PD⊥AC于点D，110\n则∠B′DP=∠B′CA′=90°，∵∠DB′P=∠CB′A′，∴△B′DP∽△B′CA′，∴，∴，∴，当⊙P与AC边相切时，PD=PA′，∴，∴，延长A′B′交AB于点E，∵∠A＋∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′＋∠B=90°，∴∠A′EB=90°，同上得，当⊙P与AB边相切时，A′E=2PA′，∴，综上所述，⊙P的半径为或.【知识点】锐角三角函数，直线与圆的位置关系110\n6.（2022山东威海，16，3分）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．【答案】135°【解析】连接CE，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°；∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°；∵△AE≌△EB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°．【知识点】三角形的内切圆、全等三角形的判定与性质7.（2022四川省宜宾市，13，3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，S=.(结果保留根号）【答案】2【解析】如图：110\n根据题意可知OH=1,∠BOC=60°，∴△OBC为等边三角形，∴tan∠BOH，∴BH=,∴S=12××1×=2，故答案为2.【知识点】正多边形的计算；解直角三角形8.（2022浙江湖州，14，4）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是．【答案】70°【解析】∵⊙O内切于△ABC，∴OB平分∠ABC．∵∠ABC＝40°，∴∠OBD＝20°．∴∠BOD＝70°．故填70°.【知识点】三角形的内切圆，切线长定理9.（2022宁波市，17题，4分）如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为___________【答案】3或43【解析】解：(1)当⊙P与DC相切时，如图（1）所示，设BP=x，则PC=8-x;∵DC于圆相切，（第17题图）∴PC=PM110\n又∵M是AB中点∴BM=4在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2图1∴x2+42=(8-x)2∴解得：x=3∴BP=3(2)如图（2）所有当⊙P与DA相切时过点P作PE⊥AD,交AD与点E∵⊙P与DA相切与点E∴EP=MP=8在Rt△BMP中，根据勾股定理可得∵BM2+BP2=MP2图2∴BP=82-42=43综上所述：BP的值为3或43【知识点】切线的判定、勾股定理10.（2022浙江温州，16，5）.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm.110\n【答案】8【思路分析】设小正六边形的中心为O连接OP,OA,OB,OC,OD，连接CP得两个等边三角形，利用小正六边形的面积得小正六边形的边长为所以得OP=7，在△OPB中解三角形得到OB=8所以圆的半径为8【解题过程】设小正六边形的中心为O,连接OP,OB,OC,OD，连接CP得两个等边三角形，利用小正六边形的面积为6个小等边三角形得设小正六边形的边长为x,所以每个小等边三角形的面积为，得，得x=所以再利用四边形OCPD为菱形得OP=，在△OPB中解三角形，过点P作PHOB因为∠OBP=60°∠HPB=30°得到BH=,PH=,所以在△OPH中利用勾股定理得OH=,所以OB=8所以圆的半径为8【知识点】圆的内接正六边形的性质，正六边形的面积，解三角形，菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质。1.（2022湖南益阳，15，4分）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝ 度．【答案】45【解析】∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°．110\n∵BC是圆的切线，AB是圆的直径，∴∠ABC=90°．∵AD=DC，∴BD垂直平分AC．∴AB=BC∴△ABC为等腰直角三角形．∴∠C=45°．【知识点】圆的基本性质，切线的性质，等腰直角三角形2.（2022湖南益阳，18，4分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M、N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC=．【答案】【思路分析】过点O作OD⊥AC，垂足为D．根据题目给出的数据可知△ABC为直角三角形，根据作图可知点O为△ABC的内心，从而根据内切圆半径公式，求出内切圆半径OD，从而求出OC的长．【解析】解：过点O作OD⊥AC，垂足为D．110\n由作图可知AE、CF分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴点O为△ABC的内心，OC平分∠ACB，∵AB=5，AC=4，BC=3．∴32＋42=52．∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∵OD为内切圆半径，∴OD=∵∠OCD=∠ACB=45°．∴△OCD为等腰直角三角形．∴OC=OD=．【知识点】勾股定理的逆定理，三角形的内切圆，基本作图，等腰直角三角形．3.（2022内蒙古呼和浩特，12，3分）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_______【答案】：1【解析】设圆的半径为R，则圆的内接正方形的边心距为R×cos45°，正三角形的边心距为R×cos60°．∴=：1．【知识点】正多边形有关计算110\n4.（2022湖南省湘潭市，13，3分）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB________.【答案】60°【解析】∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°.【知识点】圆的切线的性质；直角三角形的性质5.（2022湖南省永州市，18，4）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有种.【答案】4【解析】点A、B可以在输油管道所在直线的同侧或异侧两种情形讨论即可．当点A、B位于输油管道所在直线的同侧时，这条直线平行线于直线AB，且到AB的距离为0.5km的两条直线，如图l1、l2；当点A、B位于输油管道所在直线的两侧时，由于到输油管道所在直线的距离都为0.5km，则这条直线必过线段AB的中点C，且AD=0.5km，AC=1km，则∠ACD=30°，如图l3、l4.所以，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种.因此，本题填：4．【知识点】解操作题方案设计题6.（2022浙江省台州市，14，5分）110\n如图，是的直径，是上的点，过点作的切线交的延长线于点.若，则度．【答案】26°【解析】如图所示，连接OC∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=32°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴∠DOC=64°，∵DC是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，在RTΔOCD中，根据“直角三角形的两个锐角互余”，可得∠D=90°-∠DOC=90°-64°=26°【知识点】切线的性质；三角形外角的性质；直角三角形的性质；7.（2022广西玉林，18题，3分）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2=________110\n第18题图【答案】12+【解析】正六边形边长为6+，所以MN=6+，O1M=O2N，在△ABF中，O1是内心，所以设内切圆半径为r，r=O1M，AB=AF=6+，∠BAF=120°，所以BF=12+，AM=3+，用等面积法求r，即，解得r=3，所以O1O2=O1M+MN+O2N=12+第18题解图【知识点】正六边形，三角函数，等面积法三、解答题1.（2022四川泸州，24题，12分）如图10，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF.（1）求证：；（2）连接EB交CD于点G，过点G作GHAB于点H，若PC=，PB=4，求GH的长.110\n第24题图【思路分析】（1）由切割线定理和相似三角形，得到边之间的关系，进而证明结论；（2）由相似三角形和勾股定理，得到EF长，再由相似，求得GH的长度【解题过程】（1）圆O中，DF=EF，所以AB⊥ED，因为CP与圆O相切与点C，所以OC⊥CP，所以△OFD∽△OCP，所以，所以OC·OD=OF·OP，因为OC=OD，所以（2）因为PC2=PB·PA，PC=，PB=4，所以PA=8，所以AB=4，由（1）可得EF=FD=，△GHO∽△DFO，所以，△GHB∽△EFB，所以，所以，设HO=x，则，解得x=，由相似可得GH=3HO=【知识点】垂径定理，切线性质，切割线定理，相似三角形，勾股定理2.（2022四川绵阳，23，11分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与A，B重合）.直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E.（1）求证：BE=CE；（2）若BE∥AB，求sin∠ACO的值.110\n【思路分析】（1）证明：连接OD，如图，利用切线长定理得到EB=ED，利用切线的性质得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ACB，则EC=ED，从而得到BE=CE；（2）作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE=CE=r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH=DH=r，CD=r，接着根据勾股定理计算出OC=r，然后根据正弦的定义求解．【解题过程】（1）证明：连接OD，如图，∵EB、ED为⊙O的切线，∴EB=ED，OD⊥DE，AB⊥CB，∴∠ADO+∠CDE=90°，∠A+∠ACB=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠CDE=∠ACB，∴EC=ED，∴BE=CE；（2）解：作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，∵DE∥AB，∴∠DOB=∠DEB=90°，∴四边形OBED为矩形，110\n而OB=OD，∴四边形OBED为正方形，∴DE=CE=r，易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形，∴OH=DH=r，CD=r，在Rt△OCB中，OC==r，在Rt△OCH中，sin∠OCH===，即sin∠ACO的值为．【知识点】切线的性质，三角函数的概念3.（2022四川内江，26，12）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE2＝CD·OE；110\n（3）若tanC＝，DE＝，求AD的长．【思路分析】（1）连接OD．通过“SAS”证明△BOE≌△DOE得到∠OBE＝∠ODE＝90°，从而证明DE与⊙O相切；（2）将等式两边同乘以，结论变为＝CD·OE．连接BD交OE于F，由OE∥AC，O为AB中点，可以得到E、F分别为BC、BD的中点，这样EF就是△BDC的中位线了，EF＝CD，则CD·OE＝EF·OE，然后再由△BEF∽△OEB，和切线长定理将BE换为DE，便可以证得结论；（3）因为△BDC是直角三角形，且E为BC的中点，所以可以知道BE＝2DE＝5，由tanC＝，可以在Rt△ABC中求出AB的长和AC的长，然后再通过△ADB与△ABC相似就可以得到AD的长．【解题过程】（1）DE与⊙O的位置关系是相切．证明：连接OD．∵OE∥AC，∴∠BOE＝∠A，∠DOE＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BOE＝∠DOE，∵OB＝OD，OE＝OE，∴△BOE≌△DOE，∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）证明：连接BD交OE于F．∵OE∥AC，∴＝＝．∵OA＝OB，∴BF＝DF，BE＝CE，∴EF＝CD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OE∥AC，∴∠OFB＝∠ADB＝90°，∴∠OBE＝∠BFE，∵∠BEO＝∠BEF，∴△BEF∽△OEB，∴＝，∴＝EF·OE＝CD·OE．∵AB为直径，AB⊥BE，∴BE是⊙O的切线，由（1）得DE也是⊙O的切线，∴BE＝DE，∴DE2＝CD·OE，∴2DE2＝CD·OE；（3）由（2）得∠BDC＝90°，BE＝CE，∴DE＝BC，∵DE＝，∴BC＝5．在Rt△ABC中，tanC＝＝，∴AB＝，∴AC＝＝．∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴＝，∴＝AD·AC，∴AD＝÷＝．110\n【知识点】圆的有关性质；切线的判定；切线长定理；三角形中位线；相似三角形的判定和性质；三角形函数；4.（2022浙江金华丽水，21，8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．【思路分析】本题考查了切线的判定；勾股定理；锐角三角函数的综合运用.（1）连结OD，利用等角代换证得OD⊥AD即可．（2）设⊙O的半径为r．在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程（4－r）2＝r2＋20，解方程可得r的值．【解题过程】解：（1）连结OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠3＝∠1．在Rt△ACD中，∠1＋∠2=90°，∴∠3＋∠2=90°，110\n∴∠4＝180°－（∠2＋∠3）＝180°－90°＝90°．∴OD⊥AD．∴AD是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为r．在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝8×＝4，∴AB＝＝＝4．∴OA＝4－r．在Rt△ACD中，tan∠1＝tan∠B＝．∴CD＝AC·tan∠1＝4×＝2，∴AD2＝AC2＋CD2＝42＋22＝20．在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，∴（4－r）2＝r2＋20．解得r＝．【知识点】切线的判定；勾股定理；锐角三角函数5.（2022山东滨州，22，12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB．求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC²＝2AD·AO．第22题图【思路分析】本题主要考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质；110\n（1）解答关键是通过添加辅助线，证明∠OCD＝90°，证明直线DC是⊙O的切线；（2）将结论转化为AC²＝AD·AB，通过等积化等比、等比定相似，确定需要证明△ADC∽△ACB，再利用“AA”证明即可.【解题过程】(1)证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠OAC，由题意可知OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA,∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD,又∵AD⊥CD,∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠OCD＝90°，∴直线DC是圆O的切线。第22题答图(2)连接BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以∠ACB＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC,所以△ADC∽△ACB，所以＝,所以AC²＝AD·AB,所以AC²＝2AD·AO．【知识点】三角形内角和定理、相似三角形的性质6.（2022浙江衢州，第22题，10分）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EF⊥AB于H。第22题图110\n（1）求证：△HBE∽△ABC；（2）若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长。【思路分析】本题主要考查了圆的性质、圆的切线的性质、相似三角形的判定及性质，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形找到线段之间的鹅关系式解题的关键．（1）根据AC为切线，AB为直径可得到∠CAB=∠CFA=90°，又因为∠ABC为公共角，故可得到两个三角形相似；（2）连接AF，又因为∠C为公共角，故可得到△HBE与△CBA相似，从而得到,根据提供的相关数值，可计算得到AC的值，令EH的值为X，可利用△HBE与△CBA相似，得到,从而建立方程解得EH的值。【解题过程】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴ACAB,∵HEAB，∴∠CAB=∠EHB=90°∵∠ABC=∠ABC，∴△HBE∽△ABC.（2）解：连接AF，∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴∠CFA=CAB∵∠C=∠C，∴△CAF∽△CBA，∴=，∵CF=4，BC=CF+BF=4+5=9，∴=，∴AC=6∵D为弧BF的中点，∴∠FAD=∠BAD，∵HEAB，EFAF，∴EF=EH.设EH=，则EF=,BE=5-，∵△HBE∽△ABC，∴=，∴，∴=2，即EH=2.第22题图110\n【知识点】圆与相似三角形的综合、切线的性质与判定、圆周角定理7.（2022甘肃白银，20，6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°。（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O(要求：不写作法，保留作图痕迹）。（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系,直接写出结果。【思路分析】(1)题按照尺规作角平分线的方法作就可以了。（2）直线与圆有三种位置关系：相交，相切，相离。其主要方法是判断圆心到直线的距离与半径的关系。【解题过程】（1）如图，⊙O为所求作的圆，OC为所求作的∠ACB的平分线。（2）AC为⊙O的切线。【知识点】尺规作图，尺规作角平分线，尺规作圆，切线的判定方法。27．8.（2022甘肃白银，27，10分）如图，点O是△ABC的边AB边上一点，⊙O与边AC相切于点E,与边BC,AB分别交于点D,F,且DE=EF.(1)求证：∠C=90°。(2)当BC=3，sinA=时，求AF的长。【思路分析】(1)连接OE,可知OE垂直AC，因此只需证OE∥BC，即可证∠C=90°。因为有FE=DE，可以证得∠FOE=∠FBC,从而得证OE∥BC。（2）由已知可求得AC的长，同时由（1）问可证得△AOE中三边之比也为3:4:5.于是利用切线长定理可求出半径，当然AF也就求出了。【解题过程】证明：连接OE,BE.∵⊙O与边AC相切于点E110\n∴OE⊥AC∴∠OEA=90°∵DE=EF∴∠EBF=∠EBC,即∠FBC=2∠EBE∵∠FOE=2∠EBE∴∠FOE=∠FBC∴OE∥BC∴∠C=∠OEA=90°。即∠C=90°。（2）由（1）问证明知：∠C=90°，∵在RT△ABC中，BC=3，sinA=∴∴AB=5,∵在△AOE中，∠OEA=90°，∴=设EO=FO=R,则有FB=2R,∴AO=,AE=AF=AO-FO=,∵AE是⊙O的切线，∴由切线长定理，得：即:,解得;R=.110\n∴AF===.∴AF的长是：。【知识点】同弧所对圆周角与圆心角的关系，平行线的性质，三角函数的定义，切线长定理，勾股定理。9.（2022山东聊城，24，10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，是△BED的外接圆.（1）求证：AC是的切线；（2）已知的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长.【思路分析】（1）连接OE，利用圆的半径相等得到∠OEB=∠OBE，利用BE平分∠ABC交AC于点E得到∠CBE=∠OBE，进而得到∠OEB=∠CBE，最后利用OE∥BC得到∠OEA=90°，从而得到AC是的切线；（2）由（1）知∠CBE=∠OBE，可以证明△BCE∽△BED，利用相似三角形的对应边成比例可以得到BC的长；再OE∥BC得到△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可以得到长AD的长.【解题过程】解：（1）如图所示，连接OE，∵OE=OB，110\n∴∠OEB=∠OBE.∵BE平分∠ABC交AC于点E∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是的切线.（2）∵ED⊥EB，∠C=90°，∴∠BED=∠C=90°，由（1）知∠CBE=∠OBE，∴△BCE∽△BED，∴.∵的半径为2.5，BE=4，∴，∴BC=.∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴，∵OE=2.5，BC=，AO=AD+OD=AD+2.5，AB=AD+BD=AD+5，∴,110\n∴AD=.【知识点】等腰三角形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、平行线的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、比例想基本性质、一元一次方程的解法、可化为一元一次方程的分式方程的解法10.（2022山东潍坊，22，8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C.（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC=，AC=，求AD的长.【思路分析】（1）连接OA，利用同弧所对的圆周角相等，半径相等，结合已知条件证明∠OAD=∠BAE，利用直径所对圆周角是直角可证明∠OAE=90°；（2）过点A作AF⊥BC，垂足为F.先证明△ABC为等腰三角形，再证明△AFC∽△BAD即可求出AD的长.【解题过程】（1）连接OA交BC于点F∵OD=OA，∴∠D=∠OAD.∵∠C=∠D,∠C=∠BAE,∴∠OAD=∠BAE.∵BD为⊙O直径，∴∠BAD=90°.即∠OAD＋∠OAB=90°.∴∠BAE＋∠OAB=90°.即∠OAE=90°.110\n∴AE与⊙O相切于点A.（2）标准答案：∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC，∴，，∴AB=AC，∵BC=，AC=，∴BF=，AB=，在Rt△ABF中，AF=，在Rt△OFB中，OB2=BF2＋(OB－AF)2，∴OB=4，∴BD=8，∴在Rt△ABD中，AD=.方法2：过点A作AF⊥BC，垂足为F.∵BC∥AE，∴∠ABC=∠BAE.∵∠BAE=∠C,∴∠C=∠ABC.110\n∴AB=AC=.∴CF=BC=.∴AF=∵∠AFC=∠BAD=90°,∠C=∠D,∴△AFC∽△BAD.∴.∴.【知识点】切线的判定，相似三角形的判定和性质11.（2022年山东省枣庄市，23，8分）如图，在中，，，以为直径作⊙交于点.（1）求线段的长度；（2）点是线段上的一点，试问：当点在什么位置时，直线与⊙相切？请说明理由.【思路分析】（1）首先连接CD，由BC为直径，可得∠BDC=90°，然后由勾股定理求得AB的长，再利用等积法，求得答案；（2）由ED与⊙O相切，得∠EDO=ECO=90°，又由ED，EC是切线长，可得CD⊥EO，CD⊥AB，证得AB∥EO，可得E是AC的中点．即可知点E运动到AC中点时时，直线ED与⊙O相切．110\n【解题过程】解：（1）连接CD，∵BC为⊙O的直径∴∠CDB=90°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，∴AB==5（cm），∵，∴CD==，又在Rt△ADC中，AD2=AC2﹣CD2，∴AD=（cm）；（2）如图，连接ED，EO，∵ED与⊙O相切，∴∠EDO=ECO=90°，∴ED，EC是切线长，∴CD⊥EO，∵CD⊥AB，∴AB∥EO，∴CO：OB=CE：AE，∵OC=OB，∴AE=CE，110\n即E是AC的中点．∴E在AC的中点处，直线ED与⊙O相切．【知识点】切线的性质与判定；切线长定理；勾股定理12.（2022四川省成都市，21，10）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE＝8，sinB＝，求DG的长．【思路分析】（1）连接OD，根据同圆半径相等，及角平分线条件得到∠DAC＝∠ODA，得OD∥AC，切线得证；（2）连接EF，DF，根据直径所对圆周角为直角，证明∠AFE＝90°，可得EF∥BC，因此∠B＝∠AEF，再利用同弧所对圆周角相等可得∠B＝∠ADF，从而证明△ABD∽△ADF，可得AD与AB、AF关系；（3）根据∠AEF＝∠B，利用三角函数，分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半径和AF，代入（2）的结论中，求出AD，在利用两角对应相等，证明△OGD∽△FGA，再利用对应边成比例，求出DG：AG的值，即可求得DG的长．【解题过程】解：（1）连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为⊙O半径，BC是⊙O的切线．（2）连接EF，DF．∵AE为⊙O直径，∴∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF，又∵∠ADF＝∠AEF，∴∠B＝∠ADF，又∠OAD＝∠DAC，∴△ABD∽△ADF，∴＝，∴AD2＝AB·AF，∴AD＝110\n．（3）设⊙O半径为r，在Rt△DOB中sinB＝＝，∴＝，解得r＝5，∴AE＝10，在Rt△AFE中sin∠AEF＝sinB＝，∴AF＝10×＝，∴AD＝＝＝．∵∠ODA＝∠DAC，∠DGO＝∠AGF，∴△OGD∽△FGA，∴＝＝，∴DG＝．【知识点】切线的判定；相似三角形；圆的有关性质；锐角三角函数13.（2022四川省达州市，24，11分）阅读材料：已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1＋PA2＝PA3，从而得到＝是定值.（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整：第24题图1证明：如图1，作∠PA1M＝60°，A1M交A2P的延长线于点M.∵△A1A2A3是等边三角形，∴∠A3A1A2＝60°.110\n∴∠A3A1P＝∠A2A1M，又A3A1＝A2A1，∠A1A3P＝∠A1A2P，∴△A1A3P≌△A1A2M.∴PA3＝MA2＝PA2＋PM＝PA2＋PA1∴＝，是定值.（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问还是定值吗？为什么？第24题图2（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则＝___________（只写出结果）.第24题图3110\n参考数据：如图，等腰△ABC中，若顶角∠A＝108°，则BC＝AC；若顶角∠A＝36°，则BC＝AC.【思路分析】（1）阅读材料，得出方框内的内容.先根据全等三角形的性质得PA3＝MA2，PA1＝MA1，然后根据全等三角形的判定和性质得PA1＝PM.（2）用类比的方法证得还是定值.（3）用类比的方法证得还是定值.【解题过程】解：（1）方框内的内容为：∴PA3＝MA2，PA1＝MA1，∵∠PA1M＝60°，∴△PA1M是等边三角形.∴PA1＝PM.（2）是定值.理由：如图2，作∠PA1M＝90°，A1M交A2P的延长线于点M.∵A1A2A3A4是正方形，∴∠A4A1A2＝90°.110\n∴∠A4A1P＝∠A2A1M，又A4A1＝A2A1，∠A1A4P＝∠A1A2P，∴△A1A4P≌△A1A2M.∴PA4＝MA2，PA1＝MA1，∵∠PA1M＝90°，∴PM＝PA1.∴PA4＝MA2＝PA2＋PM＝PA2＋PA1，作∠PA2MN＝90°，A2N交A1P的延长线于点MN.同理可得PA3＝PA1＋PA2，∴PA3＋PA4＝(1+)(PA1＋PA2)∴＝＝1－，是定值.（3）＝＝，是定值.【知识点】全等三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质；勾股定理；分母有理化；多边形内角和；类比的思想方法14.（2022四川广安，题号25，分值：9）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上的一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.（1）求证：∠PCA=∠ABC.（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若cos∠P=45，CF=10，求BE的长.110\n第25题图【思路分析】对于（1），首先根据切线的性质可知∠PCA+∠ACO=90°，再根据直径所对的圆周角是直角得∠CAO+∠ABC=90°，并由等边对等角得∠ACO=∠CAO，最后根据等角的余角相等解答.对于（2），先根据等角的三角函数值相等求出CH，FH，再设CO=5x，CD=4x，可知DO=3x，再表示出DF，然后根据两个角相等的两个三角形相似得出△AFD∽△CFH，可表示出AD，再根据AD+DO=5x求出x的值，进而求出AB，进而说明△CHF∽△AEB，并根据对应边成比例求出答案.【解题过程】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，∴CO⊥PC，即∠PCO=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°…………………………………………………………………………1分∵CO=AO，∴∠ACO=∠CAO，即∠PCA+∠CAO=90°…………………………………………………………………………2分∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAO+∠ABC=90°，………………………………………………………………………3分∴∠PCA=∠ABC…………………………………………………………………………………4分（2）解：∵∠P+∠POC=90°，∠POC+∠FCH=90°，∴∠P=∠FCH，∴cos∠FCH=cos∠P=45.110\n∵AE∥PC，∴∠CHF=90°.∵CF=10，cos∠FCH=CHCF=45，∴CH=8.在Rt△CFH中，FH=6…………………………………………………………………………5分在Rt△CDO中，cos∠DCO=CDCO=45，设CD=4x，CO=5x，则DO=3x，可知DF=4x-10.∵∠AFD=∠CFH，∠ADF=∠CHF，∴△AFD∽△CFH，∴ADCH=DFFH.∵CH=8，DF=4x-10，FH=6，∴AD=43(4x-10)，………………………………………………………………………………6分则AD+DO=5x，即43(4x-10)+3x=5x，解得x=4，∴AB=40………………………………………………………………………………………7分∵∠A=∠FCH，∠CHF=∠E=90°，∴△CHF∽△AEB，…………………………………………………………………………..8分∴CFAB=FHBE.∵CF=10，AB=40，FH=6，∴BE=24………………………………………………………………………………………9分110\n15.（2022四川省南充市，第22题，8分）如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为3，，.（1）求证：是的切线.（2）求的值.【思路分析】(1)欲证PC与⊙O相切，只需证明OC⊥PC，题中给出线段的长，可以利用勾股定律的逆定理，从而得到∠OCP=90°.(2)利用相似三角形的判定定理，先证明△OCD∽△OPC，在利用相似三角形的性质，证得OC、OD、OP之间的关系，即可求得CD和AD的长，最后直接利用三角函数计算即可.【解题过程】(1)证明：连接OC.1分∵⊙O的半径为3，∴OC=OB=3.又∵BP=2，∴OP=5.在△OCP中，OC2+PC2=32+42=52=OP2，∴△OCP为直角三角形，∠OCP=90°.3分∴OC⊥PC，故PC为⊙O的切线.4分(2)解：过点C作CD⊥OP于点D，∠ODC=∠OCP=90°.∵∠COD=∠POC，∴△OCD∽△OPC.5分∴，∴OC2=OD•OP，∴OD=，，∴CD=.又∵AD=OA+OD=，7分∴在Rt△CAD中，tan∠CAB=.8分110\n【知识点】圆的切线的判定定理；勾股定理逆定理；相似三角形的性质和判定；锐角三角函数16.（2022湖南长沙，24题，9分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3.（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形；（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离。第24题图【思路分析】（1）由平行线分线段成比例得到中位线，利用中位线的性质进行求解；（2）平行线性质和题目中已知条件∠BAD=∠CAD得出∠E=∠BAD=∠CAD=∠ACE，进而利用等角对等边得到等腰三角形；（3）设出两圆半径R和r，在外接圆中，构造Rt△BDP，利用勾股定理进行求解，在内切圆中，用两种方法计算△ABC的面积，得到关于内切圆半径r的方程，进而求得两半径的差。【解题过程】（1）因为AD为△ABC中边BC上的中线，所以BD=DC，因为AD∥EC，所以BA=AE，所以AD为△BCE的中位线，CE=6，所以AD=CE=3（2）因为AD∥EC，所以∠BAD=∠E，∠ACE=∠CAD，因为∠BAD=∠CAD，所以AC=AE，又因为BA=AE，所以AB=AC，△ABC为等腰三角形（3）如图，△ABC中，AB=AC，BD=DC，所以AD⊥BC，因为BC=8，AD=3，由勾股定理可得，AB=AC=5圆P圆Q为△ABC的外接圆和内切圆，连BP、AP，因为PA⊥BC，所以在Rt△BDP中，R2-(R-3)2=42，所以R=，PD=，△ABC中，连接BQ、CQ，110\n第24题解图【知识点】中位线定理，平行线性质，等腰三角形性质，勾股定理，等面积法17.（2022江苏省盐城市，25，10分）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折得到△ABD．（1）试说明点D在⊙O上；BE为⊙O的切线；（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC·AE，求证：BE为⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．【思路分析】（1）因为AB为直径，点C是⊙O上一点，由圆的对称性得出点D在⊙O上；（2）利用相似三角形的判定得出△DAB∽△BAE，进而证得∠ABE＝90°．（3）证△FCA∽△FDB．利用相似三角形的性质构建方程，解之可得线段EF的长．【解题过程】解：（1）∵AB为直径，点C是⊙O上一点，∴∠ACB＝90°．将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴∠ADB＝90°，点D在⊙O上；（2）∵AB2＝AC·AE，∠DAB＝∠BAE，∴△DAB∽△BAE．∴∠ABE＝∠ADB＝90°．∴BE为⊙O的切线；（3）∵BC＝2，AC＝4，∴BD＝2，AD＝4，AB＝2．∵AB2＝AC·AE，∴AE＝5，DE＝1．在Rt△BDE中，∵BD＝2，DE＝1，∴BF＝．110\n∵∠C＝∠FDB＝90°，∠F＝∠F，∴△FCA∽△FDB．∴＝，即＝，整理，得3EF2－2EF－5＝0．解得EF＝－1(舍去)，EF＝．即线段EF的长为．【知识点】圆的基本性质；相似三角形的判定与性质18.（2022山东烟台，23，9分）（本题满分9分）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上，F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．【思路分析】（1）连接CD、ED，利用两次“等腰三角形的底角相等”，以及“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”即可求解；（2）根据切线的性质，DE⊥EF，则∠2+∠5=90°，而∠2=2α，∠5=α，∴∠ADC=3α=90°得到α值代入（1）结论即可求解；（3）由（2）可推出，∠ABF=45°=∠CAD，∴AN∥BF，∴=，然后由AD=求出AM和BM的值代入即可．110\n【解题过程】（1）连接CD、ED，∴∠1=∠EBD=α，∴∠2=∠1+∠B=2α．∵DC=DE，∴∠2=∠3=2α，∴∠CDA=∠3+∠EBD=3α．∵DC=DA，∴∠CAD=．（2）∵EM=BM，∴∠4=∠EBD=α．∵∠4=∠5，∴∠5=α，若EF为⊙D的切线，则∠2+∠5=90°．由（1）知，∠2=2α，∴α+2α=90°，∴α=30°，∴∠CAD=．（3）在（2）条件下，∠DEF=90°，∴∠DBF=45°=∠CAD，∴AN∥BF，∴=．由（2）知，∠ADC=3α=90°，∠CAD=45°，∴CD=AD=．∵∠EBD=α=30°，∠BDC=90°，∴BD=CD=3．∵∠1=30°，∠DEF=90°，∴DM=2EM=2MB，∴，DM=2，∴AM=2+，∴．【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；圆周角定理的推论；含30°角的直角三角形的性质；平行线分线段成比例定理；19.（2022山东省淄博市，22，8分）（本小题满分8分）110\n如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P.∠APB的平分线分别交AB、AC于点D、E，其中AE、BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根.（1）求证：PA▪BD=PB▪AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由.【思路分析】（1）只需证明△PAE∽△PBD即可，由已知可得PA⊥AB，AC⊥BC，从而可得∠PAC=∠B，再由PD平分∠APB即可得相似；（2）过点D作DM⊥BC于点M，连接EM，若存在则必为四边形DMEA，只需验证四边形ADME是否为平行四边形且有一组邻边相等.由已知可得∠AED=∠EAP+∠APE，∠ADE=∠DBP+∠BPD则不难证明∠AED=∠ADE，从而AD=AE，DM=AE，再由DM∥AC可得四边形ADME为菱形，再由已知方程求得AE=2，BD=3，进而求得DM、AE均为2，利用勾股定理求得BM，利用DM∥AC所得比例式求出CM长，从而利用AE▪CM求得菱形面积.【解题过程】∵AP为⊙O的切线，AB是直径∴∠BAP=90°，即∠BAC+∠EAP=90°∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠DBP=90°∴∠EAP=∠DBP又∵PD平分∠APB，∴∠APE=∠BPD∴△APE∽△BPD∴∴PA▪BD=PB▪AE（2）存在过点D作DM⊥BC于点M，连接EM110\n∵PD平分∠APB，又AD⊥PA，DM⊥PM∴DM=DA∵∠AED=∠EAP+∠APE，∠ADE=∠DBP+∠BPD又由（1）知∠EAP=∠DBP，∠APE=∠BPD∴∠AED=∠ADE∴AD=AE，DM=AE∵DM⊥BC，AC⊥BC，∴DM∥AC∴四边形ADME为菱形易得x2-5x+6=0的两个根为2,3∵AE＜BD∴BD=3，AE=2∴四边形ADME为菱形，∴DM=AE=AD=2在Rt△BDM中，BD=3，DM=2，∴BM==∵DM∥AC∴∴，∴MC=110\n∴S菱形ADME=AE▪MC=2×=【知识点】圆的切线的性质；相似三角形的判定和性质；菱形的判定和性质；菱形面积；三角形内外角关系20.（2022四川省德阳市，题号24，分值：11）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB.（1）求证：DH=DB.（2）过点D作BC的平行线交AC，AB的延长线分别于点E，F，已知CE=1，圆O的直径为5，①求证：EF为圆O的切线；②求DF的长.【思路分析】对于（1），连接HB，根据三角形内心的性质可知∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，再根据等弧所对的圆周角相等，得∠DBC=∠DAC，然后根据三角形的外角的性质可知∠DHB=∠DAB+∠ABH=∠DAC+∠CBH，及∠DBH=∠DBC+∠CBH，进而根据等角对等边得出答案.（2），对于①，连接OD，根据同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，得∠DOB=∠BAC，可知OD∥AC，再根据BC∥EF，可知AC⊥EF，进而得出OD⊥EF，可得答案.对于②，先作DG⊥AB，再根据“HL”证明△CDE≌△BDG，可得GB=1，然后根据两角分别相等的两个三角形相似，得DB2=AB·BG，即可求出DB，DG，ED，再说明△OFD∽△AFE，根据相似三角形的对应边成比例得出答案.【解题过程】（1）证明：连接HB，∵点H是△ABC的内心，∴∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，………………………………………………………………1分而∠DBC=∠DAC，∠DHB=∠DAB+∠ABH=∠DAC+∠CBH.又∵∠DBH=∠DBC+∠CBH，110\n∴∠DHB=∠DBH，………………………………………………………………………………2分∴DH=DB…………………………………………………………………………………………3分（2）①连接OD，∵∠DOB=2∠DAB=∠BAC，∴OD∥AC………………………………………………………………………………………4分∵AC⊥BC，BC∥EF，∴AC⊥EF，……………………………………………………………………………………5分∴OD⊥EF，∴EF是圆O的切线……………………………………………………………………………6分②如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠EAD=∠DAB，∴DE=DG，DC=DB，∠CED=∠DGB=90°，∴△CDE≌△BDG，∴GB=CE=1……………………………………………………………………………………7分在Rt△ADB中，DG⊥AB，∴∠ADB=∠DGB，∠DBG=∠ABD，∴△DBG∽△ABD，…………………………………………………………………………8分∴DB2=AB·BG=5×1=5，∴DB=5，DG=2，∴ED=2…………………………………………………………………………………………9分∵H为内心，AE=AG=4，而DO∥AE，∴△OFD∽△AFE，………………………………………………………………………………10分∴DFDF+DE=ODAE，即DFDF+2=524，110\n∴DF=103…………………………………………………………………………………………11分【知识点】三角形内心的性质，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定21.（2022四川省宜宾市，23，10分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD,CE⊥AD于点E.（1）求证：直线EC为圆O的切线；（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值.【思路分析】（1）连接AC，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠ACB=90°，然后再结合CD=BC，得到△ABD是等腰三角形，且AC是中线，从而得到∠BAC=∠DAC，再结合∠OCA=∠BAC，得到∠OCA=∠DAC，从而根据平行线的判定方法得到AE∥OC，所以∠OCE=∠CEE=90°，所以CE是切线；（2）首先根据直径所对的圆周角是90°，得到∠AFB=90°，然后根据AA证明△PEF∽△PEA和△PCF∽△PAC，从而得到对应边成比例，进而求出PC=PE，然后根据直角三角形PEF中求出正弦值.【解题过程】（1）连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，又∵CD=BC，∴CA是线段BD的垂直平分线，∴AD=AB，且∠BAC=∠DAC，又∵∠OCA=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC，∴AE∥OC，∴∠OCE=∠CEA=90°，又∵点C在圆上，∴CE是切线；（2）∵AB是直径，点F在圆上，110\n∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA，∵∠EPF=∠EPA，∴△PEF∽△PEA，∴PE2=PF×PA，∵∠FBC=∠PCF=∠CAF，又∵∠CPF=∠CPA，∴△PCF∽△PAC，∴PC2=PF×PA，∴PE=PC，在直角△PEF中，sin∠PEF=．【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质；三角函数；圆的切线的判定22.（2022天津市，21，10）已知是的直径，弦与相交，.（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.【思路分析】本题考查了切线的性质与圆周角定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用圆周角定理解决有关问题．（Ⅰ）由直径所对圆周角为直角，得∠ACB=90°,再由圆周角定理可得；（Ⅱ）连结OD，先由得∠P，再由圆的切线的性质和三角形外角的性质，可得∠AOD的度数，最后根据圆周角定理求得∠ACD的度数，根据等腰三角形的性质可得∠OCD的度数.110\n【解题过程】解：（Ⅰ）∵是的直径，∴.∴.又∵，∴.由为的中点，得.∴.∴.（Ⅱ）如图，连接.∵切于点，∴，即.由，又，∴是的外角，∴.∴.又，得.∴.110\n【知识点】切线的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形外角的性质23.（2022宁波市，26题，14分）如图1，直线l：y=-34x+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，点C是线段OM上一动点(0<AC<165)以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D交线段AB于点E连结OE并延长交⊙A于点F.（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证:△OCE∽△OEA;②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值110\n图1图2备用图（第26题图）【思路分析】【解题过程】解：（1）把A(4,0)代入，得-34×4+b=0解得b=3∴直线l的函数表达式为y=-34x+3∵AO⊥BO,OA=4,BO=3tan∠BAO=34（2）①如图，连结AF，∵CE=EF,∴∠CAE=∠EAF又∵AC=AE=AF,∴∠ACE=∠AEF∴∠OCE=∠OEA又:∠COE=∠EOA∴△OCE∽△OEA②如图，过点E作EH⊥x轴于点H∵tan∠BAO=34∴设EH=3x,AH=4x∴AE=AC=5x,OH=4-4x∵△OCE∽△OEA,110\n∴OEOA=OCOE即OE2=OA·OC∴(4-4x)2+(3x)2=4(4-5x)解得x1=1225,x2=0(不合题意，舍去)∴E(5225,3625)（3）如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N∴tan∠BAO=3∴cos∠BAO=45∴AN=OA·cos∠BAO=165设AC=AE=r∵ON⊥AB,AM⊥OF,∴∠ONE=∠AME=90°,EM=12EF又∵∠OEN=∠AEM,∴△OEN∽△AEM∴OEAE=ENEM即OE·12EF=AE·EN∴OE·EF=2AE·EN=2r·165-r∴OE·EF=-2r2+325r0<r<165当r=85时，OE·EF有最大值，最大值为12825【知识点】一次函数表达式、相似、垂径定理、三角函数110\n24.（2022浙江温州，22，10）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上.（1）求证：AE=AB.（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长.【思路分析】（1）由折叠得△ADE≌△ADC，得到∠AED＝∠ACD，AE＝AC因为同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等得∠ABD＝∠AED，用等量代换得∠ABD＝∠ACD，等角对等边所以AB=AC,.用等量代换得AE=AB(2)如图,过点A作AH⊥BE于点H因为AB=AE,BE=2,用等腰三角形三线合一得到BH=EH=1.因为同弧所对的圆周角相等∠ABE=∠AEB=∠ADB,cos∠ADB=,所以cos∠ABE=cos∠ADB=110\n所以得所以得AC=AB=3.所以∠BAC=90°,AC=AB,利用勾股定理得BC=3【解题过程】解（1）由题意得△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD，∴AB=AC,.AE=AB(2)如图,过点A作AH⊥BE于点H∵AB=AE,BE=2,∴BH=EH=1.∵∠ABE=∠AEB=∠ADB,cos∠ADB=,∴cos∠ABE=cos∠ADB=∴∴AC=AB=3.∵∠BAC=90°,AC=AB,∴BC=3【知识点】折叠的性质，同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，勾股定理，等腰三角形三线合一，三角函数。25.（2022浙江温州，24，14）如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E.110\n（1）求证：∠BPD=∠BAC.（2）连接EB，ED，，当tan∠MAN=2，AB=时，在点P的整个运动过程中.①若∠BDE=45°，求PD的长.②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长.连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC//BE时，记△OFP的面积为S1，△CFE的面积为S2，请写出的值.【思路分析】(1)先利用垂直的定义得到∠ABP=∠ACP=90°,利用四边形的内角和定理证明∠BAC和∠BPC互补再利用∠BPD和∠BPC也互补，所以利用同角的补角相等得到∠BPD=∠BAC。（2）①如图1,利用∠APB=∠BDE=45°,得BP=AB=2再利用tan∠BPD=tan∠BAC=2得到DP=2②如图23,4,△BED为等腰三角形分三种情况：当BD=BE时，在同圆或等圆中等弦所对的圆周角相等得∠BPD=∠BPE利用圆的内接四边形的外角等于内对角得∠BPD=∠BAC=∠BPE,所以tan∠BPE=2.因为AB=2,所以BP=,所以BD=2。当BE=DE时，∠EBD=∠EDB，因为同弧所对的圆周角相等，所以∠APB=∠BDE,圆的内接四边形的外角等于内对角，所以∠DBE=∠APC，所以∠APB=∠APC，△ABP≌△ACP,得到AC=AB=2，过点B作BG⊥AC于点G得四边形BGCD是矩形,AB=2,所以tan∠BAC=2所以AG=2,所以BD=CG=2-2当BD=DE时∠DEB=∠DBE利用圆的内接四边形的外角等于内对角得∠DBE==∠APC，∠DPB=∠BAC,110\n又因为同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等∠DEB=∠DPB=∠BAC,所以∠APC=∠BAC,设PD=x,则BD=2x又因为AG=2,BG=CD=4，AC=2x+2，PC=4-x因为tan∠APC=所以解得x=所以BD=2x=3(3)提示:如图5过点O作OH⊥DC于点H因为tan∠BPD=tan∠MAN=1;所以BD=DP令BD=DP=2a,PC=2b得OH=a, CH=a+2b,AC=4a+2b由OC∥BE得∠OEP==∠BEP=90°,因为O是BP的中点所以F也是EP的中点。因为∠OCH=∠PAC,所以△COH∽△APC或tan∠OCH=tan∠PAC,所以 所以a(4a+2b)=2b(a+2b),得a=b再用相似△CFP∽△CHO或者三角函数,得CF=CP==a所以OF=a所以得【解题过程】解(1)∵PB⊥AM,PC⊥AN,∴∠ABP=∠ACP=90°,∴∠BAC+∠BPC=180°,∵∠BPD+∠BPC=180°,∴∠BPD=∠BAC(2)①如图1,∠APB=∠BDE=45°,∠ABP=90°,∴BP=AB=2∵∠BPD=∠BAC∴tan∠BPD=tan∠BAC,∴=2.∴BP=PD∴PD=2110\n②,I.如图2,当BD=BE时,∠BED=∠BDE,∴∠BPD=∠BPE=∠BAC,∴tan∠BPE=2.∵AB=2,∴BP=,∴BD=2Ⅱ.如图3,当BE=DE时,∠EBD=∠EDB∵∠APB=∠BDE,∠DBE=∠APC∴∠APB=∠APC∴AC=AB=2过点B作BG⊥AC于点G得四边形BGCD是矩形∵AB=2,tan∠BAC=2∴AG=2,∴BD=CG=2-2Ⅲ如图4,当BD=DE时,∠DEB=∠DBE=∠APC.110\n∵∠DEB=∠DPB=∠BAC,∴∠APC=∠BAC,设PD=x,则BD=2x∴∴∴x=∴BD=2x=3综上所述,当BD为2,3或2-2时,△BDE为等腰三角形(3)如图5过点O作OH⊥DC于点H∵tan∠BPD=tan∠MAN=1;∴BD=DP∵BP是直径∴ ∠BEP=90°,令BD=DP=2a,PC=2b得OH=a, CH=a+2b,AC=4a+2b由OC∥BE得∠OEP=∠BEP=90°,∵O为BP的中点∴ F为EP的中点所以110\n∵∠OCH=∠PAC,（同角的余角相等）∴tan∠OCH=tan∠PAC,（∴ ∴a(4a+2b)=2b(a+2b),∴a=b∵cos∠OCH=∴CF=CP==a∴CF=a∴OF=OC-CF=a-a=a∴∴【知识点】等腰三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，圆的内接四边形的外角等于内对角的性质，三角函数，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，两个三角形面积的比值1.（2022湖北鄂州，22，10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连接PA，且∠PAB＝∠ADB．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AB＝6，tan∠ADB＝，求PB的长；（3）在（2）的条件下，若AD＝CD，求△CDE的面积．110\n【思路分析】（1）由OA＝OC，∠PAB＝∠ADB，证得∠2＝∠PAB，再由BC为⊙O的直径可得∠CAB＝90°，由等量代换可证得OA⊥AP；（2）过点B作BF⊥AP于点F，由∠PAB＝∠ADB，tan∠ADB＝，可解得BF＝，再由BF∥OA可证得△BEC∽△CFA，求得PB的值；（3）由AD＝CD可得∠3＝∠CDA，由等量代换可得∠3＝∠CBD，得，再证明△CDE∽△BDC可得，再根据BC＝10，利用勾股定理求得△CDE的面积．【解析】解：（1）证明：如下图（1），连接OA，∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，又∵∠PAB＝∠ADB，∠1＝∠ADB，∴∠2＝∠PAB，∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠2＋∠OAB＝90°，∴∠PAB＋∠OAB＝90°，即OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线；（2）过点B作BF⊥AP于点F，∵∠PAB＝∠ADB，tan∠ADB＝，∴＝，可设BF＝3a，AF＝4a，又∵AB＝6，∴，∴a＝，∴BF＝3a＝，AF＝4a＝，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴△BEC∽△CFA，∴，即，25PB＝18PB＋90，解得PB＝；（3）∵AD＝CD，∴∠3＝∠CDA，又∵∠CDA＝∠CBD，∴∠3＝∠CBD，又∵tan∠ADB＝，∴tan∠3＝，可设DE＝4b，CD＝3b，∴S△CDE＝CD·DE＝·3b·4b＝6b2，∵∠3＝∠CBD，又∵∠BDC＝∠CDE，∴△CDE∽△BDC，，即，，解得BD＝，则在Rt△BCD中，CD2＋DB2＝BC2，即，解得b2＝，∴S△CDE＝6b2＝．110\n【知识点】圆的切线的判定；圆周角定理；勾股定理；相似三角形的性质和判定；三角形的面积公式；三角函数2.（2022湖北黄冈，18题，7分）如图，AD是O的直径，AB为O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP与点C.（1）求证：∠CBP=∠ADB.（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长.第18题图【思路分析】（1）连接OB，则OB⊥BC，因为AD是直径，则∠ABD=90°，故∠OAB=∠OBA=∠DBC，因为OB=OD，所以∠D=∠OBD，因为∠CBP与∠OBD都与∠DBC互余，所以∠CBP=∠ADB；（2）易得△ABD∽△AOP，则,由AB、AO的长度可求出BP的长度。【解析】解：（1）连接OB，则OB⊥BC，∠OBC=90°，因为AD是直径，则∠ABD=90°，即∠OBA与∠DBC都与∠DOB互余，所以∠OBA=∠DBC，因为OD=OB，∠OAB=∠OBA，所以∠OAB=∠DBC，因为∠CBP与∠OBD都与∠DBC互余，所以∠CBP=∠ADB；（2）在△ABD和△AOP中，∠DAB=∠PAO，因为OP⊥AD，所以∠POA=90°=∠DBA，故△ABD∽△AOP，则110\n，因为AB=1，AO=2，AD=2AO=4，则AP=8，BP=7第18题解图【知识点】圆的切线性质，圆周角定理的推论，互余，等腰三角形，相似三角形3.（2022湖南郴州，22，8）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°.（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长.【思路分析】（1）①连接AO，利用同弧所对的圆周角相等，从而得∠B=∠AEC=30°，然后利用等边对等角得∠B=∠D=30°；利用外角性质及三角形内角和定理，证明OA⊥AD，从而得直线AD是⊙O的切线；（2）先判定△OAC是等边三角形，利用正弦函数求得AM长度，然后根据垂径定理计算出AE长度.【解析】解：（1）∵∠AEC=30°，∴∠B=∠AEC=30°，∵AB=AD，∴∠B=∠D=30°，连结OA，∴OA=OB，∴∠B=∠BAO=30°，∴∠AOD=60°，∴∠OAD=180°-30°-60°=90°，∴OA⊥AD，∴直线AD是⊙O的切线；110\n（2）∵∠AOC=60°，OA=OB，∴△OAC是等边三角形，∵⊙O的半径为4，AE⊥BC，∴，，∴AE=.【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；切线的判定4.（2022内蒙古呼和浩特，24，12分）如图，已知BC⊥AC,圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且.(1)求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC,求的值。【思路分析】本题主要考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质；（1）解答关键是通过添加辅助线，证明∠PDO＝90°，证明直线PD是⊙O的切线；（2）确定需要证明△ADO∽△ACP，将已知转化为含有关键元素的未知数比例式，求出这一关键元素，利用勾股定理及平行线分线段成比例性质，构建比例式，求出要求解的比值。【解析】解答：（1）证明：连接PO，DO，∵,∴MD∥PO，∴∠POC=∠DMO，OD=OM，∴∠MDO=∠DMO，110\n∵∠DOC=∠DMO+∠MDO，∴∠POC=∠DOP，OD=OC,PO=PO，∴△POC≌△POD，∴∠PDO=∠POO=90°，∴PD是⊙O的切线；（2）∵MO=CO=MC，且，AM=MC，AO=AM+OM，∴,∴AP=18，∵PD是圆O的切线，∴∠ADO=∠ACP=90°，∠A=∠A（公共角）∴△ADO∽△ACP，∴,且AM=MC=2r，∴，∴r=，∴OD=r=，DP=AP-AD=18-12=6，由勾股定理得PO=,∵PO∥MD，且MO=CO，∴BP=CP=DP=6，∵PO∥MD，∴，110\n∴，∴DM=,∴。【知识点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理。5.(2022山东菏泽，22，10分)如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.（1）求的度数；（2）求证：；（3）求证：是⊙O的切线.【思路分析】（1）由等腰三角形的性质求出∠ACB和∠ABC的度数，由角平分线的定义和平行线的性质求出∠D的度数，再由圆周角定理求出∠AFB的度数，由外角的性质得出∠DAF的度数；（2）由平行线的性质求出∠DAE=72°，从而求出∠EAF=∠D，再由公共角，得出△AEF∽△DEA，得出比例式，从而得解；（3）连接OA，OB，由圆周角定理得出∠AOB的度数，从而得出∠OAB的度数，再得出∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线．【解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ACB=∠ABC=72°．∵BD是∠ABC的平分线，110\n∴∠CBD=36°．∵AD∥BC，∴∠D=∠CBD=36°．∵∠AFB和∠ACB都是所对的圆周角，∴∠AFB=∠ACB=72°，∴∠DAF=∠AFB－∠D=72°－36°=36°．（2）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠C=72°，∴∠EAF=36°=∠D．又∵∠AEF=∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴=，∴AE2=EF·DE．（3）连接OA，OB，∵∠ACB=72°，∴∠AOB=144°．∵OA=OB，∴∠OAB=(180°－144°)=18°．∵∠ABD=∠D=36°，∴∠BAD=180°－2×36°=108°，∴∠OAD=∠BAD－∠OAB=108°－18°=90°，∴AD是⊙O的切线．110\n【知识点】平行线的性质；圆周角定理及推论；相似三角形的判定与性质；切线的判定；6.（2022四川遂宁，21，10分）如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM.（1）求证：CM2=MN·MA（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长.【思路分析】（1）首先根据圆周角定理得出∠CAM=∠DCM，进而得出△CMN∽△AMC，然后根据相似三角形的性质可得，进而证明出结论；（2）首先连接OA，DM，根据切线的性质可得∠PAO=90°，由∠P=30°，可求出半径r的值，然后根据M点是半圆CD的中点，可得CM=DM，在Rt△CMD中，由勾股定理可得出结果.【解析】解：（1）证明：∵在⊙O中M点是半圆CD的中点，∴∠CAM=∠DCM，又∵∠M是公共角，∴△CMN∽△AMC，110\n∴,∴CM2=MN·MA.（2）解：连接OA，DM，∴PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，又∵∠P=30°，∴OA=PO=(PC+CO)，设⊙O的半径为r，∵PC=2,∴r=（2+r），解得r=2，又∵CD是直径，∴∠CMD=90°，∵M点是半圆CD的中点，∴CM=DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2+DM2=CD2,∴2CM2=(2r)2=16,110\n∴CM2=8,∴CM=2【知识点】切线性质，圆周角定理，勾股定理7.（2022甘肃天水，T23，F8）如图所示，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC.（1）求证：∠BAC=∠BCP；（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的角平分线交AC于点D，你认为∠CDP的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由；若没有变化，求出∠CDP的大小.【思路分析】对于（1），先根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角，得∠PCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°,再根据同角的余角相等，得∠ACO=∠PCB.然后结合等边对等角得出答案；对于（2），先根据三角形外角的性质得∠CDP=∠A+∠APD，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，及角平分线的定义，可得∠CDP=12∠PCO，进而得出答案.【解析】（1）连接CO.∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CO，即∠OCP=90°，∴∠PCB+∠BCO=90°…………………………………………………………………………2分∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，110\n∴∠ACO+∠BCO=90°,∴∠ACO=∠PCB…………………………………………………………………………………4分∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO，∴∠PCB=∠CAO，即∠BAC=∠BCP…………………………………………………………………………………5分（2）∠CDP的大小不发生变化………………………………………………………………6分∵∠CDP=∠A+∠APD，∠BOC=2∠A，∠CPO=2∠APD，∠PCO=90°，∴∠CDP=12∠BOC+12∠CPO=12（∠BOC+∠CPO）=12∠PCO=45°…………………………………8分【知识点】切线的性质，三角形外角的性质，圆周角定理8.（2022江苏淮安，24，10）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A,BC交⊙O于点D，点E是AC的中点。(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2,∠B=50°，AC=4.8,求图中阴影部分的面积。【思路分析】本题综合考查圆的有关性质与计算，（1）连接AD、OD，由圆周角定理可得△ADC为直角三角形，再由E为中点，根据斜边的中线等于斜边的一半可得EA=ED,进而推得∠ADO为直角，可得结果.（2）先根据已知条件得出△ADE与△ADO的面积，再根据图形表示出阴影部分的面积，利用扇形面积公式可得结果.【解析】110\n（1）DE与⊙O相切，理由如下：连接AD、OD∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°∴△ADC为直角三角形∵点E是AC的中点∴EA=ED∴∠EAD=∠EDA∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA∵AC是⊙O的切线∴∠BAC=90°∴∠OAD+∠EAD=90°∴∠ODA+∠EDA=90°即∠ADO=90°∴DE与⊙O相切（2）∵AC是⊙O的切线∴△BAC为直角三角形在Rt△BAC中，AC=4.8，AB=4,由勾股定理得，110\n由（1）知△ADC为直角三角形∴Rt△ADC∽Rt△BAC∴同理【知识点】切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；扇形的面积公式；圆周角定理；直角三角形的性质9.（2022江西，20，8分）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．第20题图【思路分析】（1）本题直线AB为与⊙O无交点，故要过O作AB的垂线．先证明△BOE≌△BOC，从而可以证明EO＝OC；(2)在Rt△ABC中，利用正切三角函数求出AC的值，利用勾股定理求出AB，证明△ABD∽△OBC，从而求出AD的长．【解析】(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°，110\n∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°，第20题解图∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD，又∵BC为⊙O切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC＋∠OBC＝90°，∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，在△BOE和△BOC中，，∴△BOE≌△BOC(AAS)，∴EO＝CO，∵EO⊥AB，∴AB为⊙O切线；(2)解：∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵tan∠ABC＝，BC＝6，∴AC＝BC·tan∠ABC＝8，在Rt△ABC中，110\nAB2＝AC2＋BC2，∴AB＝10，∵BC，BA都为圆外一点B引出的切线，∴BE＝BC＝6，∴AE＝4，∵tan∠ABC＝，∴tan∠EOA＝，∴＝，∴OE＝3，∴OB＝3，∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABD∽△OBC，∴＝，∴＝，∴AD＝2.【知识点】切线的性质与判定，勾股定理，全等三角形，相似三角形，三角函数10.（2022山东省日照市，20，12分）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l经过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点.(1)求证：直线l是⊙O的切线；(2)若PA=6，求PB的长.110\n【思路分析】(1)连接OA，根据半径相等、圆周角的性质只要证得OA⊥l即可；(2)连接AD，证明△PAD∽△PBA，根据相似三角形的对应边成比例，求得PB的长【解析】解：(1)连接OA..∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA.∵点A是的中点，∴=.∴∠DPA=∠APB.∴∠OAP=∠APB.∵PB⊥l，∴∠ABP=90°.∴∠PAB+∠APB=90°.∴∠PAB+∠OAP=90°.即OA⊥l，∴直线l是⊙O的切线.(2)连接AD，∵PD是直径，∴∠PAD=90°.110\n∵PB⊥l，∴∠PBA=90°.∴∠PAD=∠PBA.∵∠DPA=∠APB，∴△PAD∽△PBA.∴，即.∴PB=.【知识点】切线的判定相似三角形的判定和性质11.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，22，12）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．【思路分析】（1）先由切线的性质，得∠PAO＝90°，再利用垂径定理，得直线OP垂直平分线段AB，从而PA＝PB．然后利用SSS证明△PAO≌△PBO，从而∠PBO＝∠PAO＝90°，于是问题得证；（2）连接BD．由垂径定理和勾股定理及三角形的中位线性质，先求出AD、AB、BD的长，然后利用相似三角形的判定与性质，求出BE、DE的长，最后由三角函数定义，锁定sinE的值．【解析】（1）证明：连接OB．∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°．∵OC⊥弦AB，∴AC＝BC，从而直线OP垂直平分线段AB．110\n∴PA＝PB．又∵PO＝PO，OA＝OB，∴△PAO≌△PBO（SSS）．∴∠PBO＝∠PAO＝90°．∴PB⊥OB．又∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．（2）解：如下图，连接BD．∵OC⊥弦AB，AC＝4，∴AB＝2AC＝8．在Rt△AOC中，由勾股定理，得OA＝＝＝5，从而AD＝2AO＝10．∵AC＝BC，OA＝OD，∴BD＝2OC＝6．∵PB是⊙O的切线，∴∠EBD＋∠OBD＝90°．∵AD是⊙O的直径，110\n∴∠ABO＋∠OBD＝90°．∴∠ABO＝∠EBD．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB．∴∠EBD＝∠EAB．又∵∠E＝∠E，∴△EBD∽△EAB．∴，即．∴DE＝，OE＝．∴sinE＝＝．【知识点】圆的位置关系；切线的判定；垂径定理；三角函数；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质与判定；勾股定理；三角形的中位线的性质12.（2022贵州安顺，T25，F12）如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.(1)求证：AB是半圆0所在圆的切线；(2)若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径.【思路分析】(1)作OE⊥AB于E，连接OD、OA,根据等腰三角形的性质可得OA是顶角平分线，再根据角平分线的性质可得OE=OD，最后根据切线的判定定理得出结论;(2)可根据余弦，得出OB的长，再根据勾股定理，得出OA的长，最后根据三角形面积，得出OE的长.【解题过程】解：（1）证明：如图，作OE⊥AB于E，连接OD、OA,110\n第25题答图∵AB=AC，O为BC的中点，∴∠CAO=∠BAO.∵AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC.∵OE⊥AB，∴OD=OE，即OE等于半径长.∵AB经过半圆O半径的外端E，∴AB是半圆O所在圆的切线.（2）解：∵AB=AC,O是BC的中点，∴AO⊥BC.由cos∠ABC=，AB=12，得OB=ABcos∠ABC=8.由勾股定理，得由三角形的面积，得∴OE=即半圆O所在圆的半径是..【知识点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，切线的判定定理与性质，余弦，勾股定理，三角形面积公式.13.（2022四川雅安，23题，10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，过点D作MD110\n⊥BD，交AB于点M，以BM为直径作圆O。第23题图（1）求证：AC是圆O的切线；（2）若AC=3，BC=4，求AM的长。【思路分析】（1）连接OD，则△OBD为等腰三角形，BD平分∠ABC，可得OD∥BC，从而得到OD⊥AC，即AC为切线；（2）易得△ADO∽△ACB，利用对应边的比例关系，得到半径长度，进而求得AM【解题过程】（1）连接OD，在Rt△BDM中，DO为斜边上的中线，所以DO=OM=OB，即OD为圆O的半径，所以∠OBD=∠ODB，又因为BD平分∠ABC，所以∠OBD=∠DBC，所以∠DBC=∠ODB，所以OD∥BC，所以∠ODA=∠C=90°，OD⊥AC，所以AC为圆O的切线；（2）AC为圆O的切线，所以OD⊥AC，∠ADO=∠ACB=90°，△ADO∽△ACB，则，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=，设圆O的半径为r，r=，所以AM=5-2×=110\n第23题解图【知识点】切线判定，平行线，相似三角形14.（2022湖北荆门，23，10分）如图，为的直径，为上一点，经过点的切线交的延长线于点，交的延长线于点，交于，于，分别交、于、，连接，.（1）求证：平分；（2）若，，①求的半径；②求的长.【思路分析】（1）首先连接OC，根据DE与⊙O相切于点C可得OC⊥DE，进而得出OC∥AD，然后根据平行线的性质可得∠1=∠3，根据等腰三角形的性质可得∠2=∠3，进而证明出结论；（2）①首先根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠DAE=∠M，进而得出∠M=∠COE，然后根据锐角三角函数的定义可得cos∠COE=，进而求出r的值；②首先连接BF，根据AB是直径以及锐角三角函数的值可得出AF的长，根据①可得出CE的值，然后证明△AFN∽△CEB，根据相似三角形的性质即可求出FN的长.【解题过程】（1）证明：连接OC，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE.又∵AD⊥DE，∴OC∥AD，110\n∴∠1=∠3.∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AC平分∠DAE.（2）解：①∵，∴∠DAE=∠M，又∵OC∥AD，∴∠COE=∠DAE=∠M，∵OC⊥DE，∴∠OCE=90°，设⊙O的半径为r，则cos∠COE=，解得r=4.②连接BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴AF=ABcos∠DAE=8×=，在Rt△OCE中，OE=r+BE=4+1=5，OC=4，∴CE===3,110\n∵AB为⊙O的直径，∴∠2+∠OBC=90°，∵∠OCE=90°，∴∠OCB+∠BCE=90°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠BCE=∠2=∠1，∵AB⊥FM，∴,∴∠5=∠4，∵∠AFB=∠D=90°，∴FB∥DE，∴∠5=∠E=∠4，∴△AFN∽△CEB，∴,∴FN=.【知识点】切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质15.（2022武汉市，21，8分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB(1)求证：PB是⊙O的切线.(2)若∠APC＝3∠BPC，求的值.110\n【思路分析】（1）如图①，连接OB，OP，△OAP与△OBP三边对应相等，这两个三角形全等，得∠OBP=∠OAP=90°，故PB是⊙O的切线.（2）如图②，连接BC，AB与OP交于点H，易证OP⊥AB，∠OPC＝∠PCB＝∠CPB，由△OAH∽△CAB得；由△HPB∽△BPO，求得；再由△HPE∽△BCE，可得的值.【解题过程】（1）证明：如图①，连接OB，OP，在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OBP=∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，∴PB是⊙O的切线.21题答图⑵如图②，连接BC，AB与OP交于点H，∵∠APC＝3∠BPC，设∠BPC＝x，则∠APC＝3x，∠APB＝x＋3x＝4x，由⑴知 ∠APO＝∠BPO＝2x，∴∠OPC＝∠CPB＝x，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵易证OP⊥AB，∴∠AHO＝∠ABC＝90°，即OP∥BC，∴∠OPC＝∠PCB＝∠CPB＝x，∴CB＝BP，易证△OAH∽△CAB，∴＝＝，设OH＝a，∴CB＝BP＝2a，易证△HPB∽△BPO，∴＝，∴设HP＝，∴＝，110\n解得 （舍）或，∵OP∥CB，易证△HPE∽△BCE，∴＝＝＝.【知识点】全等三角形的判定性质切线的判定相似三角形的判定性质16.（2022湖南省永州市，24，10）如图，线段AB为⊙O的直径，点C、E在⊙O上，弧BC=弧CE，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F.（1）求证：CF=BF；（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6，求证：直线CM是⊙O的切线.【思路分析】（1）如图，延长CD交⊙O于G，利用垂径定理得到弧BC=弧BG，则可证明弧CE=弧BG，然后根据圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得到CF=BF；（2）连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH=，OH=，接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM=∠OHB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．【解题过程】（1）延长CD交⊙O于G，∵CD⊥AB，∴弧BC=弧BG，∵弧BC=弧CE，∴弧CE=弧BG，∴∠CBE=∠GCB，∴CF=BF；（2）连接OE、OC，OC交BE于H，∵弧BC=弧CE，∴∠EOC=∠BOC，∵OE=OB，∴OC⊥BE，110\n在Rt△OBH中，cos∠OBH==，∴BH=×6=，∴OH==，∵==，==，∴=，而∠HOB=∠COM，∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM=∠OHB=90°，即：OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．【知识点】切线的判定垂径定理圆周角定理解直角三角形17.（2022四川自贡，23，10分）如图，在⊿中，.⑴.作出经过点,圆心在斜边上且与边相切于点的⊙；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）⑵.设⑴中所作的⊙与边交于异于点的另外一点,若⊙的直径为5，；求的长.（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成⑵问）【思路分析】（1）作出的⊙与边相切于点，∴，，连接弦，有，∴是的角平分线．根据垂径定理，∴圆心O在弦的垂直平分线上．（2）平分，∴∽，根据对应边成比例，求出长，在中，应用勾股定理即可求长.【解题过程】（1）如图，作的平分线交于点，作线段的垂直平分线交于点．以点为圆心，以为半径作圆O，图中即为所求．110\n（2）∵是⊙的直径，∴.∵平分，∴.在与中，，∴∽，∴，即，解得.在中，综上所述，长为.【知识点】尺规作图，切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形18.（2022河南，19，9分）如图,AB是⊙O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F．（1）求证：CE=EF；110\n（2）连接AF并延长,交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形．【思路分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定；以及菱形、正方形的性质等知识点，综合性较强．（1）连结OC；证CE=EF应证∠ECF=∠EFC，根据条件可知∠ECO=∠FOB=90°，根据∠ECO=∠FCO+∠ECF=90°;∠EFC=∠B+∠CFE=90°利用转化思想即可得结论.（2）①四边形ECFG为菱形时，CF=CE；由（1）可得CE=EF；所以CE=CF=EF；从而得到△CEF为等边三角形；在Rt△DCF中可求∠D；②由（1）可得CE=EF；在Rt△DCF中可得CE=ED；所以E为DF的中点；四边形ECOG为正方形时，△ECO为等腰直角三角形，∠CEF=45°；∠CEF为等腰三角形CED的外角，可求∠D.【解题过程】（1）连接OC.∵CE是O的切线,∴OC⊥CE．∴∠FCO+∠ECF=90°．∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°．∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°．∵OC=OB,∴∠FCO=∠B．∴∠ECF=∠CFE．∴CE=EF.110\n(2)∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠DCF=90°∴∠DCE+∠ECF=90°，∠D+∠EFC=90°又∵CE=EF∴∠ECF=∠CFE∴∠D=∠DCE∴ED=EC∴ED=EC=EF即点E为线段DF中点①四边形ECFG为菱形时，CF=CE∵CE=EF∴CE=CF=EF∴△CEF为等边三角形∴∠CEF=60°∴∠CEF=∠D+∠DCE又∵ＥＤ＝ＥＣ∴∠D=∠DCE∴∠D＝∠DCE＝３０°②四边形ECOG为正方形时，△ECO为等腰直角三角形110\n∴∠ＣＥＦ=４５°∵∠CEF=∠D+∠DCE又∵ＥＤ＝ＥＣ∴∠D=∠DCE∴∠D＝∠DCE＝２２.５°【知识点】圆的切线的性质；等腰三角形的判定；三角形外角定理；菱形、正方形的性质19.（2022湖北省孝感市，23，10分）如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）已知，，求和的长.【思路分析】（1）连接，，根据等腰三角形的性质、直径所对的圆周角为直角以及平行线的性质，可知：，即是的切线.(2)连接，由（1）可知，根据勾股定理可求得DF长，根据相似三角形的判定定理及其中位线的性质可求得BE的长，再根据即可求出AB的长，最后根据勾股定理即可求出AE的长；连接DE，圆内接四边形的外角的性质和等腰三角形的性质，可得出∠DEF=∠DEF=∠C，根据相似三角形的判定定理，可得出△AEB∽△AFG，再根据相似三角形的性质即可求出BG的长.110\n【解题过程】（1）证明：连接，，∵，是的直径，∴，.∴.∵，∴.∴是的切线.（2）解：连接，∵，∴，∵，∴，∴.∵，∴，∴.∴.∴.∵，，∴.∴△AEB∽△AFG.∴.连接DE，∵AB=AC,∴∠DEF=∠DEF=∠C.又∵DF⊥AC，∴EF=CF.∴.110\n∴.【知识点】切线的判定；相似三角形的判定和性质；角的余弦的定义；圆内接四边形的外角的性质；勾股定理的应用.20.（2022四川凉山州，25，8分）已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，选EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA＝∠B求证：（1）MC是⊙O的切线；（2）△DCF是等腰三角形.(第25题图)【思路分析】（1）要证MC是⊙O的切线，设法证OC⊥MC.连接CO,∵OC=OA∴∠A=∠ACO,∵OC=OB∴∠OCB=∠B,110\n在△ABC中，∵∠A+∠ACB+∠B=180°,∴∠A+∠ACB+∠ACO+∠OCB=180°,∴2∠ACO+2∠B=180°,∴∠ACO+∠B=90°,∵∠MCA＝∠B∴∠ACO+∠MCA=90°,∴∠MCO=90°,∴OC⊥MC,∴MC是⊙O的切线；（2）要证明△DCF是等腰三角形.设法证明角相等.∵EG⊥AB于H∴∠FHB=90°∴∠B+∠BFH=90°∵∠BFH=∠DFC又由（1）知，∠OCB=∠B∴∠OCB+∠DFC=90°由（1）证得OC⊥MC,∴∠OCD=90°∴∠OCB+∠DCF=90°∴∠DFC=∠DCF∴△DCF是等腰三角形.(第25题第1问答图)【解题过程】证明：（1）连接CO,∵OC=OA∴∠A=∠ACO,∵OC=OB∴∠OCB=∠B,在△ABC中，∵∠A+∠ACB+∠B=180°,∴∠A+∠ACB+∠ACO+∠OCB=180°,∴2∠ACO+2∠B=180°,∴∠ACO+∠B=90°,∵∠MCA＝∠B∴∠ACO+∠MCA=90°,∴∠MCO=90°,110\n∴OC⊥MC,∴MC是⊙O的切线；（2）∵EG⊥AB于H∴∠FHB=90°∴∠B+∠BFH=90°∵∠BFH=∠DFC又由（1）知，∠OCB=∠B∴∠OCB+∠DFC=90°由（1）证得OC⊥MC,∴∠OCD=90°∴∠OCB+∠DCF=90°∴∠DFC=∠DCF∴△DCF是等腰三角形.【知识点】切线的判定，等腰三角形的判定.21.（2022·北京，22，5）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．110\n【思路分析】（1）利用切线长定理，得PC＝PD，从而点P在线段CD的垂直平分线上，再由OC＝OD，得点O在线段CD的垂直平分线上，于是OP⊥CD．（2）先由∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠COD＝60°，进而∠DOP＝30°，最后用cos∠DOP＝，将相关数据代入求出OP的长．【解题过程】（1）证明：如下图，连接OC、OD．∵PC、PD切⊙O于点C、D，∴PC＝PD．∴点P在线段CD的垂直平分线上．∵OC＝OD，∴点O在线段CD的垂直平分线上．∴OP⊥CD．（2）解：如下图，连接AD，BC．∵OA＝OD，∠DAB＝50°，∴∠DOA＝80°．同理，∠BOC＝40°．∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°．110\n∵OC＝OD，PD＝PC，OP＝OP，∴△OPC≌△OPD．∴∠POD＝∠POC＝30°．∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥DP．在Rt△OPD中，cos∠DOP＝，∴OP＝＝．【知识点】与圆有关的位置关系；圆的切线的性质；解直角三角形；全等三角形的性质与判定；三角形内角和定理；线段的垂直平分线的判定定理；切线长定理22.（2022广西玉林，23题，9分）如图，在△ABC中，以AB为直径作圆O交BC于点D，∠DAC=∠B（1）求证：AC是圆O的切线；（2）点E是AB上一点，若∠BCE=∠B，tan∠B=，圆O的半径是4，求EC的长。【思路分析】（1）由圆周角定理得到∠B和∠DAB互余，由等量代换得到∠BAD和∠DAC互余，进而得到垂直，即AC是圆O的切线；（2）先在Rt△ABC中，由三角函数求得AC的长度，在Rt△AEC中，由勾股定理得到方程，进而解得EC的长【解题过程】（1）在圆O中，因为AB是直径，所以∠ADB=90°，所以∠B+∠DAB=90°，因为∠DAC=∠B，所以∠BAD+∠DAC=90°，所以BA⊥AC，所以AC是圆O的切线；（2）r=4，AB=2r=8，Rt△ABC中，tan∠B=，所以AC=4，因为∠BCE=∠B，所以设EB=EC=x，所以AE=8-x，在Rt△AEC中，由勾股定理得，x2=(8-x)2+42，x=5，所以EC=5【知识点】圆周角定理，切线判定，三角函数，勾股定理23.（2022江苏省宿迁市，26，10）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．110\n（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．【思路分析】（1）见切点，连半径，然后证明垂直关系即可；（2）设法将CF放在直角三角形中，利用特殊直角三角形的边角关系求其长度．【解题过程】（1）连接OC，2分则OC＝OA．∵OD⊥AC，∴∠POA＝∠POC．又∵OP＝OP，∴△POA≌△POC．又∵∠PAO＝90°，∴∠PCO＝∠PAO＝90°，即OC⊥PC．∴PC是⊙O的切线．4分（2）∵∠ABC＝60°，且OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∠COP＝60°．由（1）知OC⊥PC，∴△PCO为直角三角形．∵AB＝10，∴OC＝5．∴PC＝OC＝5．4分【知识点】圆的切线，三角形全等24.（2022陕西，23，8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．110\n（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．【思路分析】（1）连接ON，分别利用等边对等角，证明∠ONC=∠B，从而得到ON∥DB,结合NE为切线即可证明；（2）连接ND，可证明MD是△ABC的中位线，从而得到MD=BC=NB，也可证明四边形MDNC为矩形．【解题过程】（1）连接ON．∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，∴CD=AB=BD．∴∠DCB=∠B．∵OC=ON，∴∠ONC=∠DCB．∴∠ONC=∠B．∴ON∥DB．∵NE是⊙O的切线，∴ON⊥NE．∴NE⊥AB．110\n（2）连接ND．∵CD为⊙O直径，∴∠CND=∠CMD=90°∵CD=BD=AD,∴BN=BC,CM=AM．∴DM是△ABC的中位线∴DM=BC．∴MD=NB．【知识点】切线的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线110
