锐角三角函数杨老师专题讲座锐角三角函数知识点总结与复习直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。对边邻边斜边ACB如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)(倒数)余切(∠A为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°011001不存在23\n不存在106、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义例1在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是()A．sinA＝B．tanA＝C．cosB＝D．tanB＝分析sinA＝＝，tanA＝＝，cosB＝＝．故选D.例2在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tanA等于；分析在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tanA＝．分析在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴sinA＝．故填．例3（12·哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是；【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=.例4（2022内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为；CBA图4CBA图4D【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝＝＝．例5(2022宁波)，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=,则BC的长为；【解析】cosB==，又∵AB=6∴BC=4例622题图（2022贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan,即ctan=，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦=；23\n（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。（2）由tanA=，为了计算方便，可以设BC=3AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．【解析】（1）设BC=1,∵α=30◦∴AB=2∴由勾股定理得：AC=ctan30◦==(2)∵tanA=∴设BC=3AC=4∴ctanA==例7（2022山东滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ）A．不变B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍D．不能确定【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．【答案】选A．例8（2022湖南）观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．解析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．答案：解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．例9(2022山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中，，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有哪组ABCDEFF【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB的长为x，则BC=，BD=，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三组【点评】23\n此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．例10（2022江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．【解析】要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则BM=DM=，易得：DN=，设PM=x，则PD=-x，由△DNP∽△BMP，得：，即，∴PN=x，由DN2+PN2=PD2，得：+x2=(-x)2，解得：x1=，x2=（舍去），∴tan∠APD==2．例11.（2022江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于．分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC=例12（2022山东日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）23\nA．tanA•cotA=1B．sinA=tanA•cosAC．cosA=cotA•sinAD．tan2A+cot2A=1解答：解：根据锐角三角函数的定义，得A、tanA•cotA==1，关系式成立；B、sinA=，tanA•cosA=，关系式成立；C、cosA=，cotA•sinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．故选D．点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．例13（2022•贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是．解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC===2，∴tan∠CAD===2．故选A．例14（2022烟台）如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．例15（2022四川）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（ ）A、B、C、D、解答：故选D．同步练习1（2022甘肃）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB23\n绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为．ABCC’B’解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=CD：BD=，∴tanB′=tanB=．2（2022甘肃兰州）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是．解：∵sin60°=，cos60°=，∴点M（－，）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（－，－）．故选B．3（2022广东）已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）A、sinA=cosAB、sinA＞cosAC、sinA＞tanAD、sinA＜cosA解答：解：∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA，故选：B．4、（2022•宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为．cm解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC=，又AC=30cm，tan∠BAC=，则BC=ACtan∠BAC=30×=10cm．故选C．5、（2022福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF==．6、23\n（2022连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是．【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=x,于是BF=（+1）x.在直角三角形ABF中，tan∠FAB==+1=tan67.5°.选B。7、（2022福州）如图15，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是.（结果保留根号）解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有，设BC=x，则DC=1-x，因此，解方程得，（不合题意，舍去），即AD=；又cosA=答案：8、（2022南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合.OB与尺上沿的交点B在尺上的读书恰为2厘米，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为厘米.（结果精确到0.1厘米，参考数据sin370≈0.60,cos370≈0.80,tan370≈0.75）解析：由于∠AOB=45°，B点读书为2厘米，则直尺的宽为2厘米，解直角三角形得点C的读数为2÷tan370≈2÷0.75≈2.7厘米.答案：2.79、（2022·湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据≈1.414）（2）求∠ACD的余弦值.23\nACBD【解答】（1）结AC，∵AB=BC=15千米，∠B=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=15千米.又∵∠D=90°，∴AD==12（千米）∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3+12=30+4.242+20.784≈55（千米）.面积=S△ABC+S△ADC=×15×15+×12×3=+18≈157（平方千米）.（2）cos∠ACD=.10、（2022甘肃兰州）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（2），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角减至，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1=4米，，，楼梯占用地板的长度增加了多少米？（计算结果精确到0.01米。参考数据：tan40°=0.839，tan36°=0.727）第22题图d223\n解析：根据在Rt△ACB中，AB=d1tanθ1=4tan40°，在Rt△ADB中，AB=d2tanθ2=d2tan36°，即可得出d2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度．解：由题意可知可得，∠ACB=∠θ1，∠ADB=∠θ2在Rt△ACB中，AB=d1tanθ1=4tan40°，在Rt△ADB中，AB=d2tanθ2=d2tan36°，得4tan40°=d2tan36°，∴d2=≈4.616，∴d2-d1=4.616-4=0.616≈0.62，答：楼梯占用地板的长度增加了0.62米．11、（2022贵州）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）解析：首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．答案：解：过点C作CD⊥AB于D∵BC=200m，∠CBA=30°，∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，BD=BC•cos30°=200×=100≈173（m），∵∠CAB=54°，在Rt△ACD中，AD=≈≈74（m），∴AB=AD+BD=173+74=247（m）．答：隧道AB的长为247m．12、（2022新疆建设兵团）如图，在△ABC中，∠A＝90°．（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．解答：解：（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，如图所示即是所求．（2）∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∴AB1＝3，AC1＝4，tan∠AB1C1＝＝．专题2特殊角的三角函数值例1（2022，湖北孝感）计算：cos245°+tan30°·sin60°=________．【答案】1例2（2022陕西）计算：．23\n【解析】原式【答案】例3(2022广安)计算：cos45o+；解析：==例4计算|－3|＋2cos45°－(－1)0．解：原式＝3＋2×－1＝＋2．例5计算－＋＋(－1)2022－cos60°．解：原式＝＋3＋(－1)－＝3－1＝2．例6计算|－|＋(cos60°－tan30°)0＋．解：原式＝＋1十＋2＝3＋1．例7计算－(π－3.14)0－|1－tan60°|－.解：原式＝8－1－＋1＋＋2＝10.例8（2022呼和浩特）计算：【解析】三角函数、绝对值、乘方【答案】例9（2022天水）计算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°= ．分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA•tan（90°﹣A）=1．解答：解：原式=+1+=2．故答案为2．例10（2022•莱芜）若a=3﹣tan60°，则=。23\n解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣，∴原式===故答案为：．练习1、（2022浙江）计算：|－1|－－（5－π）0+4cos45°.【解】原式=1－×2－1+4×=练习2、（2022浙江衢州）（1）计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°；解答：解：（1）原式=，=；练习3、计算：20220＋－2sin45°；原式＝1＋2－＝1＋；练习3、观察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1(α是锐角)；③tan30°＋tan60°＝tan90°；④tan44°＜1．其中成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个练习3、C[提示：sin59°＞sin28°成立，0＜cosα＜1(α是锐角)成立，tan30°＋tan60°＝＋≠tan90°，tan44°＜tan45°，即tan44°＜1．]练习4、计算2sin30°－tan60°＋tan45°＝．练习5、如图28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，BC＝，则AB的长为．练习6、当x＝sin60°时，代数式·＋的值是．练习7、已知cos59°24′≈0.509，则sin30°36′≈．练习8、若∠A，∠B互余，且tanA－tanB＝2，则tan2A＋tan2B＝．练习9、如图28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cosB＝，则这个菱形的面积是.10．已知正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，点D落在DC延长线上的点D′处，则∠BAD′的正弦值为.11．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于．12．在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝2，AB＝2，则BC＝．13．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为．则θ＝．23\n14．如图28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC＝．(1)求DC的长；(2)求sinB的值．练习4、2－[提示：2sin30°－tan60°＋tan45°＝2×－＋1＝2－.]练习5、3＋[提示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△BDC中，tanB＝．∴，∴BD＝3CD，∵BC＝，∴CD2＋(3CD)2＝()2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tanA＝，∴AD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋.]练习6、．[提示：∵·＋＝2x，∴原式＝2sin60°＝．]练习7、0.509[提示：sin30°36′＝cos59°24′．]练习8、6[提示：∵∠A，∠B互余，∴tanA·tanB＝1，tan2A＋tan2B＝(tanA－tanB)2＋2tanA·tanB＝22＋2＝6．]练习9、[提示：∵cosB＝，设BE＝5x，则AB＝13x，∴AE＝＝12x．∵AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝，则AE＝12x＝12×＝，BC＝5x＋1＝5×＋1＝，∴S＝×＝．]10．[提示:如图28－155所示，根据题意得DD′＝2DC，设正方形的边长为x，则AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根据勾股定理得AD′＝＝x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝＝.∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sin∠BAD′＝．]11．30°[提示：如图28＝156所示，∵SABCD＝S矩形BEFC，且BC＝BC(底相同)，∴GC＝FC．∵CF＝DC，∴GC＝DC，．∵∠DGC＝90°，sin30°＝，∴∠CDG＝30°，即这个平行四边形的一个最小内角为30°．]12．＋13．30°[提示：x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．]14．解：(1)∵cos∠ADC＝，∴设CD＝3x，则AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6．(2)∵AC＝4x＝8，BC＝5x23\n＝10，∴AB＝，∴sinB＝．专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。例1、（2022湖北襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为m．图5CDABOEAOBEDCF【解析】如下图，过点A作AF⊥CD于F，则AF＝BD＝12m，FD＝AB＝1.6m．再由OE∥CF可知∠C＝∠AOE＝60°．所以，在Rt△ACF中，CF＝＝4，那么CD＝CF＋FD＝(4＋1.6)m．例2、（2022珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：）第24题图【解析】如图,根据题意,得∠COD＝90°,∠ACO＝45°,∠BCO＝30°,AB＝2,求CO.设CO为x米,根据AO＝CO,列方程,解得即可.23\n【答案】解:设CO为x米在Rt△BCO中,tan30°＝,则BO＝在Rt△ACO中,AO＝CO,得方程＋2＝x解得x≈5.答:CO长大约是5米.例3、（2022江苏盐城）如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为450：如果小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为300.求小华的眼睛到地面的距离。（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）.【答案】设AC=BD=x，在Rt△ACA1中，∠AA1C=450，∴AA1=x，在Rt△DBB1中，BB1==，又∵BB1-AA1=,即×-x=，解得：x=≈1.4（米）．例4、（2022山西）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）【解析】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴四边形ABFE为矩形．∴AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米．…2分在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100米．∴CE===（米）．…4分在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100．∴DF===100（米）．…6分∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）．…8分答：岛屿两端A．B的距离为542.3米．例5、（2022呼和浩特22）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为α，在A处测得D点的仰角为β。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m。请你通过计算用含α、β、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。23\n【答案】解：过点A作AM⊥CD于M在Rt△BCD中，tanα=∴CD=BC·tanα=mtanα在Rt△AMD中，tanβ=∴DM=AM·tanβ=mtanβ∴AB=CD–DM=m(tanα–tanβ)例6、（2022湖北随州，20）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的高度为多少米？（，结果精确到米）。解析：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度，再利用移动距离为AB=100米，可建立关于h1、h2的方程组，解这个方程组求得两山峰高度。答案：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，依题意，有（米）（米）答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米。23\n题型二方位角问题1、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。2、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4：OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。例1、（2022山东省潍坊）轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是．海里解答：BC=50×0.5=25海里；根据方位角知识得，∠BCD=30°，=75°－30°；CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；∠A=∠CBD=45°所以CA=CB所以CB=25海里例2、（2022年四川德阳）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=A.B.2C.D.【解析】如图6所示，根据题意可知∠APB=90°．且AP=20,PB=60×=40.所以tan∠ABP=例3、（2022连云港）已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km。一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后到达C处。现测得C处位于Ａ观测点北偏东79.8°方向。求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长（精确到0.1km）.(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)23\n【解析】过点B作AC的垂线，把所求线段AC换为两线段的差。利用Rt△ABH和Rt△BCH求线段AH、CH的长，利用AH－CH确定AC的长。【答案】BC=40×=10.在Rt△ADB中，sin∠DAB=,sin53.2°≈0.8。所以AB=≈=20.如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H。在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC－∠DAB=63.6°―37°=26.6°，tan∠BAH=,0.5=,AH=2BH.BH2＋CH2=AB2,BH2+(2BH)2=202,BH=4,,所以AH=8，在Rt△AHB中，BH2＋CH2=BC2，CH=所以AC=AH―CH=8―2＝6≈13.4k.例4、（2022四川攀枝花）如图6，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）【答案】作CD⊥AB于D，设BD=x，∵∠BCD=30°，∴CD=x，因为∠CAD=45°，∴AD=CD=x，AB=x–x，依据题意，x–x=0.5，x=，答：再航行小时，离渔船C的距离最近。23\n例5、（第22题图）APCB36.9°67.5°（2022山东东营）如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）【解析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．【答案】过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．在Rt△APC中，∵tan∠A=，∴AC=．在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=．∵AC＋BC=AB=21×5，∴，解得.∵，∴（海里）．∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．例6、（2022山东省青岛）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）⑴求教学楼AB的高度；⑵学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）.（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【答案】解：⑴过点E作EM⊥AB，垂足为M.设AB为x.Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+13在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，∴tan22°=，=，x=12.即教学楼的高12m.⑵由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25.在Rt△AME中，cos22°= ，23\n∴ＡＥ＝ ≈ ≈２７．即ＡＥ之间的距离约为２７ｍ．题型三、坡比是垂直高度与水平距离的比值，即是坡角的正切值应用举例：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。例1、(2022广安)如图2，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是．m图2解：tan∠BAC=，∠BAC=30°,sin∠BAC=,sin∠BAC=,AB=2BC=100m例2、小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．[来%︿~&源#:中教网]（第20题图）【解析】连结PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米………1分设PM=米在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=tan45°＝（米）…3分在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=(－10)tan60°＝(－10)（米）…5分[来@源:中国#教育︿%出版~网]由AM+BN=46米，得+(－10)＝46……6分解得，，23\n∴点P到AD的距离为米．（结果分母有理化为米也可）……8分【答案】（结果分母有理化为米也可）例3、（2022湖北）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡（第12题）ABC3018的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是cm．【解析】如图，过点B作BD⊥AC于D，依题意可求得AD＝60cm，BD＝54cm；由斜坡BC的坡度i＝1：5，求得CD＝270cm，故AC＝CD－AD＝270－60＝210（cm）．例4、（2022浙江省绍兴，19）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，按坡角∠BAC为32°.（1）求一楼与二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2.小明跨上电梯时，该电梯以每少上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480，tan32°=0.6249.【解析】（1）在Rt△ABC中，已知∠BAC=32°，斜边AB的长为16.50米，根据锐角三角函数的定义即可求得一楼与二楼之间的高度BC．（2）先计算1级电梯的高，再根据10秒钟电梯上升了20级可计算10秒后他上升的高度．【答案】解：（1）∵sin∠BAC=，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74米.（2）∵tan32°=级高级宽，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225，∵10秒钟电梯上升了20级，∴小明上升的高度为：20×0.156225米.例5、（2022浙江丽水，19）学校校园内有一小山坡，经测量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1:3（即为CD与BC的长度之比），A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.【解析】：∴AD=AC-CD=6-2.答：开挖后小山坡下降的高度AD为（6-2）米.23\n例6、（2022深圳）小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为．米图3-1【解答】：如图3—1，根据坡角易求树的下半部分的高为2米，树的上半部分所在直角三角形的水平距离为米，由两个直接三角形相似易求树的上半部分高度为米，知树的高度为米，选择A图3例7（2022江苏泰州24）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A在同一水平线上，A、B、P、C在同一平面内．（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离．（精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）45°60°（第24题图）【解析】过C作BP的垂线，垂足为G，利用特殊Rt△PCG和Rt△ABP中的边角关系，我们容易计算出CG（即AB）的长，最后用AC=BP+PG，就是C、A之间的距离．【答案】（1）过C作BP的垂线，垂足为G，在Rt△PCG中，CG=PCsin450=30×=15，所以AB=15=21.2（m）（2）PG=PCcos450=30×=15，BP=，所以C、A之间的距离=BP+PG=15+5=33.5（m）例8（2022四川23\n）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为16米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE的坡度．ABCD图9E【解析】（1）求出横截面△DCE的面积，然后乘以坝堤长度即可得出体积．可以分别过点A，D作BC边上的高将问题转化为解直角三角形问题．（2）求大坝背水坡面DE的坡度就是求坡面DE上一点到BE的铅直高度与它到点E的水平宽度的比，这一点通常取梯形的顶点．【答案】解：（1）过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H，∴AG＝DH．在Rt△ABG中，AG＝sin60°·AB＝×16＝8，∴DH＝8．∴S△DCE＝·DH·CE＝×8×8＝32.∴需要填土石方32×150＝4800(m3)．（2）在Rt△DHC中，HC＝＝＝24，∴HE＝HC＋CE＝24＋8＝32．∴加固后大坝背水坡面DE的坡度＝＝＝．ABCDEGH例9(2022江苏苏州)如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为 11.0 米；（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？23\n解答：解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，∴∠BEF最大为45°当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF=BD=15，DF=15，故：DE=DF﹣EF=15（﹣1）≈11.0；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，PA=AD•cos30°=×30=15．在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=×（15+27）=15+9．GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．答：建筑物GH高为45.6米．23
