归纳与猜想归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在中考试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．考向一 数字规律问题数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．【例1】如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a53＝7.1 2 3 4 3 2 12345432345654345676545678765678987678910987则(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.(2)此数表中的四个数anp，ank，amp，amk，满足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________.解析：根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3，a52＝6，a53＝7，所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.对于(2)中四个数anp，ank，amp，amk，可以发现anp与ank为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理amk与amp之差也为同行中第k个数与第p个数之差．根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0.答案：(1)0 (2)0方法归纳解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．考向二 数式规律问题解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．【例2】给出下列命题：命题1：直线y＝x与双曲线y＝有一个交点是(1,1)；命题2：直线y＝8x与双曲线y＝有一个交点是；命题3：直线y＝27x与双曲线y＝有一个交点是；7\n命题4：直线y＝64x与双曲线y＝有一个交点是；……(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)；(2)请验证你猜想的命题n是真命题．解：(1)命题n：直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是；(2)将代入直线y＝n3x得：右边＝n3×＝n2，左边＝n2，∴左边＝右边．∴点在直线y＝n3x上．同理可证：点在双曲线y＝上，∴直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是.方法归纳此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．考向三 数形规律问题根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．【例3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆__________个(用含n的代数式表示)．解析：观察图形可知，第n个图形比第(n－1)个图形多n个小圆，所以第n个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．答案：n(n＋1)方法归纳解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．一、选择题1．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F7\n循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6….当AB＝1时，l2011等于( )A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为( )A．52010B．52011C．52009D．54020二、填空题3．按一定规律排列的一列数，依次为1,4,7，….则第n个数是__________．4．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________．7\n5．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1，－1)，A3(0,0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为__________．三、解答题6．观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1②2×4－32＝8－9＝－1③3×5－42＝15－16＝－1④__________________________……(1)请你按以上规律写出第4个算式；7\n(2)把这个规律用含字母n(n为正整数)的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．7．观察图形，解答问题：(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：图①图②图③三个角上三个数的积1×(－1)×2＝－1(－3)×(－4)×(－5)＝－60三个角上三个数的和1＋(－1)＋2＝2(－3)＋(－4)＋(－5)＝－12积与和的商－2÷2＝－1(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.8．(1)△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．图1图2图3(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2＝__________.(3)按(1)(2)的方法，再在余下的四个三角形中，分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图3)；继续操作下去…，则第10次剪取时，S10＝__________.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．7\n参考答案专题提升演练1．B 可以发现规律：每段弧的度数都等于60°，Kn－1Kn的半径为n，所以l2011＝＝.2．D 由题意知，OA＝1，OD＝2，DA＝，∴AB＝AD＝，利用互余关系证得△DOA∽△ABA1，∴＝，∴BA1＝AB＝，∴A1B1＝A1C＝AB＝，同理，A2B2＝A1B1＝2，一般地AnBn＝n，第2011个正方形的面积为(A2010B2010)2＝54020，故选D.3．3n－2 思路一：将数列看成1＋3×0,1＋3×1,1＋3×2，…，1＋3×(n－1)，所以第n个数是1＋3×(n－1)，即3n－2.思路二：将数列看成3×1－2,3×2－2,3×3－2，…，3×n－2，所以第n个数是3n－2.4． 因为A1，B1分别是EF，FD的中点，所以A1B1＝ED.因为正六角星形A1F1B1D1C1E1∽正六角星形AFBDCE，所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积:正六角星形AFBDCE的面积＝2＝.所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝.同理正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积:正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝2＝，所以正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积＝×＝2.如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积等于4＝.5．(2,1006)6．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；(2)n(n＋2)－(n＋1)2＝－1；(3)一定成立．理由：因为n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1，故(2)中的式子一定成立．7．解：(1)图②：(－60)÷(－12)＝5，图③：(－2)×(－5)×17＝170，(－2)＋(－5)＋17＝17，170÷10＝17.(2)图④：5×(－8)×(－9)＝360，5＋(－8)＋(－9)＝－1，y＝360÷(－12)＝－30，图⑤：＝－3，解得x＝－2.8．解：(1)如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，∴3x＝2，解得x＝.7\n∴S正方形PNMQ＝2＝.又∵1＞，∴甲种剪法所得的正方形的面积更大．(2)S2＝.(3)S10＝.解法1：探索规律可知：Sn＝.剩余三角形的面积和为2－(S1＋S2＋…＋S10)＝2－＝.解法2：由题意可知，第1次剪取后剩余三角形面积和为2－S1＝1＝S1.第2次剪取后剩余三角形面积和为S1－S2＝1－＝＝S2.第3次剪取后剩余三角形面积和为S2－S3＝－＝＝S3.…第10次剪取后剩余三角形面积和为S9－S10＝S10＝.7
