专题三归纳猜想问题1.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在( )A．第503个正方形的左下角B．第503个正方形的右下角C．第504个正方形的左上角D．第504个正方形的右下角解析 通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2.∵2013÷4＝503…1，∴数2022应标在第504个正方形的右下角．故选D.答案 D2．已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2022年、2022年、2022年举办、若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？( )A．公元2070年B．公元2071年C．公元2072年D．公元2073年解析 因A.2070－2009＝61，2070－2010＝60，2070－2012＝58，其中60是4的倍数，所以亚运会能在2070年举办，则世运会在2069年．奥运会在2072年举办．B．2071－2009＝62，2071－2010＝61，2071－2012＝59，均不是4的倍数，所以，这三项运动会均不在2071年举办．C．2072－2009＝63，2072－2010＝62，2072－2012＝60，60是4的倍数，所以奥运会能在2072年举办，则世运会在2069年．亚运会在2070年举办．7\nD．2073－2009＝64，2073－2010＝63，2073－2012＝61，64是4的倍数，所以世运会能在2073年举办，则亚运会在2074年．奥运会在2076年举办．故选：B.答案 B3．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，….根据上述算式中的规律，请你猜想210的末尾数字是( )A．2B．4C．8D．6解析 ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…∴210的末位数字是4.故选B.答案 B4．(2022·潜江)如图，已知直线l：y＝x，过点A(0，1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为( )A．(0，64)B．(0，128)C．(0，256)D．(0，512)解析 易求A(0，1)，A1(0，4)，A2(0，16)……，而2°＝1，22＝4，24＝16……，所以28＝256，点A4的坐标为(0，256)．答案 C5．一只跳蚤在第一象限及x轴、y7\n轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )A．(4，0)B．(5，0)C．(0，5)D．(5，5)解析 质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到(2，0)用4秒，到(2，2)用6秒，到(0，2)用8秒，到(0，3)用9秒，到(3，3)用12秒，到(4，0)用16秒，依次类推，到(5，0)用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是(5，0)．故选B.答案 B6．图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2)，依此规律继续拼下去(如图3)，…，则第n个图形的周长是( )A．2nB．4nC．2n＋1D．2n＋2解析 下面是各图的周长：图1中周长为4；图2周长为8；图3周长为16；7\n所以第n个图形周长为2n＋1.故选C.答案 C7．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为________．分析 易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依次类推，第n个矩形的面积为.解 已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的＝；第三个矩形的面积是＝；…故第n个矩形的面积为：.答案 8．下面是按一定规律排列的一列数：，－，，－，…那么第n个数是________．解析 ∵n＝1时，分子：2＝(－1)2·21，分母：3＝2×1＋1；n＝2时，分子：－4＝(－1)3·22，分母：5＝2×2＋1；n＝3时，分子：8＝(－1)4·23，分母：7＝2×3＋1；n＝4时，分子：－16＝(－1)5·24，分母：9＝2×4＋1；…，∴第n个数为：(－1)n＋1·.答案 (－1)n＋1·9．观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1②2×4－32＝8－9＝－1③3×5－42＝15－16＝－1④__________________…(1)请你按以上规律写出第4个算式；7\n(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．分析 (1)根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；(2)将(1)中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；(3)一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．解 (1)第4个算式为：4×6－52＝24－25＝－1；(2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1；(3)一定成立．理由：n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)．＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1.故n(n＋2)－(n＋1)2＝－1成立．10．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b3展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1,恰好对应着＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数等等．(1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式．(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.分析 (1)由(a＋b)＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1.(2)将25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果．解 (1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b57\n(2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1.11．(2022·广东佛山)规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：(1)写出奇数a用整数n表示的式子；(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．下面对函数y＝x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi012345…yi01491625…yi＋1－yi1357911…由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…请回答：当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？分析 (1)n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n＋1或2n－1.(2)根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成分数的形式，据此可以得到答案．(3)根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律．解 (1)n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n＋1或2n－1；(2)有理数b＝(n≠0)；(3)①当x＝0时，y＝0，当x＝时，y＝，当x＝1时，y＝1，当x＝时，y＝，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…7\n②当x＝0时y＝0，当x＝时，y＝，当x＝时，y＝，当x＝时，y＝，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…7
