第22讲图形的相似考纲要求命题趋势1．了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2．了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题．3．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质. 相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明.知识梳理一、比例线段1．比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即__________________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称__________．2．比例线段的基本性质＝⇔ad＝bc.3．黄金分割把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是AB和BC的__________，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点.≈0.618AB，BC＝二、相似多边形1．定义对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做________，相似比为1的两个多边形全等．2．性质(1)相似多边形的对应角________，对应边成________；(2)相似多边形周长的比等于________；(3)相似多边形面积的比等于__________．三、相似三角形1．定义各角对应________，各边对应成________的两个三角形叫做相似三角形．2．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与________相似；(2)两角对应________，两三角形相似；(3)两边对应成________且夹角________，两三角形相似；(4)三边对应成________，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．11\n3．性质(1)相似三角形的对应角________，对应边成________；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于________；(3)相似三角形周长的比等于________；(4)相似三角形面积的比等于____________．四、位似变换与位似图形1．定义取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与OP的______等于常数k(k＞0)，点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫做________，常数k叫做________，一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形．2．性质两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于________．3．画位似图形的步骤(1)确定位似________；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．自主测试1．若相似△ABC与△DEF的相似比为1:3，则△ABC与△DEF的面积比为( )A．1:3B．1:9C．3:1D．1:2．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )A．＝B．＝C．＝D．＝3．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．11\n4．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.求证：(1)△ACB∽△DCE；(2)EF⊥AB.考点一、相似图形的性质【例1】如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A．2cm2B．4cm2C．8cm2D．16cm2解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得＝2，＝，S阴影＝8cm2.答案：C方法总结相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面积．触类旁通1如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( ) A．87°B．60°C．75°D．120°考点二、相似三角形的性质与判定【例2】如图，在ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，它们相交于点11\nG，延长BE交CD的延长线于点H，则图中相似三角形共有( )A．2对B．3对C．4对D．5对解析：依据题中的条件，平行四边形的对边平行，由AD∥BC，可得△HED∽△HBC，由AB∥CD，可得△HED∽△BEA，△HFG∽△BAG.根据相似的传递性，可得△HBC∽△BEA，一共有四对相似三角形．答案：C方法总结判定两个三角形是否相似首先看是否存在平行线或能否作出相关的平行线，再看是否存在两组对应角相等，若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例．触类旁通2已知如图(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( )A．都相似B．都不相似C．只有(1)相似D．只有(2)相似考点三、位似图形【例3】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是( )A．(3,2)B．(－2，－3)C．(2,3)或(－2，－3)D．(3,2)或(－3，－2)解析：分两种情况计算，即矩形OABC和矩形OA′B′C′在原点的同侧和两侧．答案：D方法总结位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．位似图形所有对应点的连线相交于位似中心．触类旁通3如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0)．以点C11\n为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )A．－aB．－(a＋1)C．－(a－1)D．－(a＋3)考点四、相似三角形的应用【例4】问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200cm，影长为156cm.任务要求：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图(3)，设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(提示：如图(3)，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝2602)11\n解：(1)如题图，△ABC∽△DEF，∴＝.∵AB＝80cm，AC＝60cm，DF＝900cm，∴＝.∴DE＝1200cm，即DE＝12m.故学校旗杆的高度是12m.(2)如题图(3)，连接OM，设⊙O的半径为rcm.与(1)类似得＝，即＝.∴GN＝208cm.在Rt△NGH中，根据勾股定理得NH2＝1562＋2082＝2602，∴NH＝260cm.∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH.则∠OMN＝∠HGN＝90°.又∠ONM＝∠HNG，∴△OMN∽△HGN.∴＝.又∵ON＝OI＋IN＝OI＋(GN－GI)＝r＋8，∴＝，解得r＝12.∴景灯灯罩的半径是12cm.方法总结应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解．触类旁通4一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm,30cm,36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm,45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边．截法有( )A．0种B．1种C．2种D．3种1．(2022贵州铜仁)如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是( )11\nA．∠E＝2∠KB．BC＝2HIC．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL2．(2022山东聊城)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论不正确的是( )A．BC＝2DEB．△ADE∽△ABCC．＝D．S△ABC＝3S△ADE3．(2022山东泰安)如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是( )A．4B．3C．2D．14．(2022重庆)已知，△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．5．(2022湖南娄底)如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM＝__________米．6．(2022湖南张家界)已知△ABC与△DEF相似且面积比为4:25，则△ABC与△DEF11\n的相似比为__________．1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )2．如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为( )A．2B．3C．4D．63．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为__________．4．如图，在△ABC中，DE∥AB，CD:DA＝2:3，DE＝4，则AB的长为__________．(第4题图)5．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m，与树相距15m，则树的高度为__________m.(第5题图)6．如图所示，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3,2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是__________．11\n7．如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB__________.8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上且AE＝8，EF⊥BE交CD于点F.(1)求证：△ABE∽△DEF.(2)求EF的长．参考答案导学必备知识自主测试1．B 2．C 3．1:24．证明：(1)∵＝，＝＝，∴＝．又∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB∽△DCE.(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC.又∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°.∴∠EFA＝90°，∴EF⊥AB.探究考点方法触类旁通1．A触类旁通2．A触类旁通3．D触类旁通4．B (1)假设以27cm为一边，把45cm截成两段，设这两段分别为xcm，ycm(x＜y)．则可得：＝＝①或＝＝②(注：27cm不可能是最小边)，由①解得x＝18，y＝22.5，符合题意；由②解得x＝，y＝，x＋y＝＋＝＝54＞45，不合题意，舍去．(2)假设以45cm为一边，把27cm截成两段，设这两段分别为xcm，ycm(x＜y)．则可得：11\n＝＝(注：只能是45是最大边)，解得x＝30，y＝，x＋y＝30＋37.5＝67.5＞27，不合题意，舍去．综合以上可知，截法只有一种．品鉴经典考题1．B ∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E＝∠K，故A错误；∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，∴BC＝2HI，故B正确；∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，∴六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长×2，故C错误；∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，∴S六边形ABCDEF＝4S六边形GHIJKL，故D错误．故选B.2．D ∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，故A正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确；∵△ADE∽△ABC，∴＝，故C正确；∵DE是△ABC的中位线，∴AD:AB＝1:2，又∵△ADE∽△ABC，∴S△ABC＝4S△ADE，故D错误．3．D 连接DE并延长交AB于H.∵CD∥AB，∴∠C＝∠A，∠CDE＝∠AHE.∵E是AC中点，∴EC＝AE，∴△DCE≌△HAE，∴DE＝HE，DC＝AH.∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF＝BH.∵BH＝AB－AH＝AB－DC＝2，∴EF＝1.故选D.4．9:1 ∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴三角形的相似比是3:1，∴△ABC与△DEF的面积之比为9:1.5．3.42 根据题意得AO⊥BM，NM⊥BM，11\n∴AO∥NM，∴△ABO∽△NBM，∴＝.∵OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，∴BM＝OB＋OM＝4＋5＝9(米)，∴＝，解得NM＝3.42(米)，∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．故答案为3.42.6．2:5研习预测试题1．A 2．B 3．2:3 4．10 5．7 6．(1,0)或(－5，－2)7．略．8．(1)证明：如图，∵EF⊥BE，∴∠EFB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.在矩形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEF.(2)解：在△ABE中，∠A＝90°，AB＝6，AE＝8，∴BE＝＝＝10.又∵DE＝AD－AE＝12－8＝4，由(1)得△ABE∽△DEF.∴＝.∴EF＝＝＝.11
