第六单元图形变换第21讲 图形的平移、旋转与对称考纲要求命题趋势1．理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移和图形旋转的概念，并掌握它们的性质．2．能按平移、旋转或对称的要求作出简单的图形．3．探索成轴对称或中心对称的平面图形的性质．4．运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 这部分内容重点考查图形的平移、旋转、轴对称的性质，图形三大变换的设计，与图形变换相关的计算和逻辑推理证明等．题型多为选择题、填空题、解答题，有时平移与旋转常与三角形和四边形结合作为中档题或较难试题.知识梳理一、图形的轴对称1．定义(1)轴对称：把________图形沿着某一条直线对折后，如果能与另一个图形________，那么就说这________图形成轴对称，这条直线就是________，两个图形中的对应点叫做__________．(2)轴对称图形：把________图形沿某条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相________，那么________叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．2．性质(1)对称点的连线被________垂直平分；(2)对应线段相等，对应角相等；(3)成轴对称的两个图形是全等图形．二、图形的中心对称1．定义(1)中心对称：把一个图形绕着一点旋转________后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这一点成中心对称，这个点叫做________，旋转前后的点叫做________．(2)中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．2．性质(1)关于某点成中心对称的两个图形是__________；(2)关于某点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心______．三、图形折叠问题折叠问题是轴对称变换，折痕所在直线就是轴对称问题中的对称轴；应用时注意折叠所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性质，寻找相等的量．四、图形的平移1．定义11\n在平面内，将一个图形沿__________移动一定的距离，图形的这种变换，叫做平移变换，简称______．确定一个平移变换的条件是________和________．2．性质(1)平移不改变图形的________与________，即平移前后的两个图形是__________；(2)连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等；(3)对应线段平行(或共线)且相等；(4)对应角相等．五、图形的旋转1．定义在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着________旋转一定的______，图形的这种变换，叫做旋转变换．这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做________．图形的旋转由________和________所决定．2．性质(1)图形上的每一点都绕着________沿着相同的方向旋转了________大小的角度；(2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是________的；(3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的________相等；(4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角．六、简单的平移作图与旋转作图1．平移作图的步骤(1)首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；(2)根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；(3)顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形．2．旋转作图的步骤(1)找出旋转中心与旋转角；(2)找出构成图形的关键点；(3)作出这些关键点旋转后的对应点；(4)顺次连接各对应点．自主测试1．小华将一张如图所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图形变换构成了下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形的是( )11\nA．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位4．如图所示，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )A．30°B．45°C．90°D．135°5．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫做格点)．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′.11\n考点一、轴对称图形与中心对称图形的识别【例1】如图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )解析：选项A，B都不是轴对称图形，选项C是轴对称图形，但不是中心对称图形，只有选项D既是轴对称图形又是中心对称图形．故应选D.答案：D方法总结识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称图形的特征，看看能否找出其对称轴或对称中心，再去作出判断．触类旁通1下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )考点二、图形的平移【例2】如图，把图①中的⊙A经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图②中的对应点P′的坐标为( )A．(m＋2，n＋1)B．(m－2，n－1)C．(m－2，n＋1)D．(m＋2，n－1)解析：平移时图形上每个点平移的方向和距离都相同，⊙A经过平移到⊙O，点A的横坐标增加2个单位，纵坐标减小1个单位．则点P移到P′，移动的距离与点A相同．所以点P′的横坐标为m＋2，纵坐标为n－1.答案：D方法总结在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)〔或(x－a，y)〕；将点P(x，y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y＋b)〔或(x，y－b)〕．触类旁通2如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为__________．11\n考点三、图形的旋转【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为( )A．30,2B．60,2C．60，D．60，解析：由题意可知BC＝CD，∠B＝60°，所以△BCD是等边三角形，所以旋转角∠BCD＝60°.通过题意可得△FCD是直角三角形，且∠FCD＝30°，CD＝2，所以DF＝1，CF＝，所以△FCD的面积为×1×＝.答案：C方法总结图形在旋转过程中，图中的每一个点与旋转中心的连线都绕着旋转中心转动了相同的角度，对应线段相等，对应角相等．触类旁通3如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，有下列结论：①∠CDF＝α；②A1E＝CF；③DF＝FC；④AD＝CE；⑤A1F＝CE.其中正确的是__________(写出正确结论的序号)．考点四、平移、旋转作图【例4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(－1,1)，C(－1,3)．11\n(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；(3)将△A2B2C2平移得到△A3B3C3，使A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3，点C2的对应点是C3(4，－1)，在坐标系中画出△A3B3C3，并写出点A3，B3的坐标．解：(1)如图，C1(－1，－3)．(2)如图，C2(3,1)．(3)如图，A3(2，－2)，B3(2，－1)．方法总结要画出一个图形的平移、旋转后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、旋转作图中最常用的方法．1．(2022上海)在下列图形中，为中心对称图形的是( )A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形2．(2022浙江嘉兴)下列图案中，属于轴对称图形的是( )11\nA．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°4．(2022浙江丽水)在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是( )A．①B．②C．③D．④5．(2022山东德州)在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是__________．(只要填写一种情况)6．(2022四川乐山)如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)(2)在(1)问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．11\n1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A．等边三角形B．平行四边形C．梯形D．矩形2．如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致．那么应该选择的拼木是( )3．以ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B，D点的坐标分别为(1,3)，(4,0)，把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是( )A．(3,3)B．(5,3)C．(3,5)D．(5,5)4．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )A．3B．4C．5D．65．如图，AB左边是计算器上的数字“5”，若以直线AB为对称轴，那么它的轴对称图形是数字__________．11\n6．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________．7．如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α(0°＜α＜180°)，则∠α＝__________.8．如图是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，则图中阴影部分的面积为__________cm2.9．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．11\n(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；(3)观察△A1B1C1与△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．参考答案导学必备知识自主测试1．A 2．B 3．C 4．C5．解：如图所示：探究考点方法触类旁通1．C触类旁通2．30° 由平移知AC∥BE，由两直线平行内错角相等得∠CBE＝∠C，由三角形的内角和得∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°.触类旁通3．①②⑤品鉴经典考题1．B 2．A3．B 因为点C的对应点F是向下平移5格，所以A，C错误，点A的对应点D，是顺时针方向旋转90°，所以D错误，只有B是正确的．4．B 因为涂黑②后的阴影部分，绕中间小正方形的中心旋转180°，能与原图形重合．5．AB∥CD或AD＝BC，∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠D＝180°等(答案不唯一) 因为四边形ABCD只要是平行四边形，它就是中心对称图形．6．解：(1)如图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形．11\n(2)由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1＝4，CC1＝2，高是4，∴S四边形BB1C1C＝(BB1＋CC1)×4＝(4＋2)×4＝12.研习预测试题1．D 2．B 3．D4．D ∵BE＝EF＝3，BC＝AD＝8，∴EC＝5.∵∠EFC＝90°，∴FC＝＝4.∵△CFE∽△CBA，∴＝，＝，∴AB＝6.5．26．(0,1) 连接AD，BE，作线段AD，BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1)．7．90°8．26 因为由题意知△ABC≌△DEF，则S△ABC＝S△DEF.S阴影＝S△DEF－S△HEC＝S△ABC－S△HEC＝S四边形ABEH.由题意知，四边形ABEH为直角梯形，∴S梯形ABEH＝BE(AB＋HE)＝26cm2，∴S阴影＝26cm2.9．解：(1)△A1B1C1如图，A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)；(2)△A2B2C2如图，A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)；(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x＝3对称．如图．11
