第7讲一元一次不等式(组)考纲要求命题趋势1．了解不等式(组)有关的概念．2．理解不等式的基本性质；会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3．能列出一元一次不等式(组)解决实际问题. 不等式(组)在中考中以解不等式(组)、求不等式(组)的特殊解为主．而紧密联系日常生活实际的不等式(组)的应用，更是中考的热点内容，且难度大，综合性强.知识梳理一、不等式的有关概念及其性质1．不等式的有关概念：(1)不等式：用符号“＜”或“＞”或“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有__________，组成这个不等式的解集．(3)解不等式：求不等式的________的过程叫做解不等式．2．不等式的基本性质：(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__________，即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向__________，即若a＜b，且c＞0，则ac______bc.(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向__________，即若a＜b，且c＜0，则ac______bc.二、一元一次不等式(组)的解法1．一元一次不等式：只含有__________未知数，且未知数的次数是1且系数不等于0的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一次不等式的基本步骤：去分母、__________、移项、__________、系数化为1.3．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．4．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集．5．一元一次不等式组解集的确定方法．若a＜b，则有：(1)的解集是__________，即“同大取大”．(2)的解集是__________，即“同小取小”．(3)的解集是__________，即“大小小大中间夹”．(4)的解集是__________，即“大大小小无解答”．三、不等式(组)的应用8\n1．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．2．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)检验解是否符合实际情况；(7)写出答案(包括单位名称)．自主测试1．如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( )A．a＋c＞b＋cB．c－a＞c－bC．ac＞bcD．＞2．不等式2x＋1＞－3的解集在数轴上表示正确的是( )3．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如下图，则该不等式组的解集是( )A．－1≤x＜3B．－1＜x≤3C．x≥－1D．x＜34．不等式组的解集是( )A．－＜x≤2B．－3＜x≤2C．x≥2D．x＜－35．有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg，每捆材料重20kg，电梯最大负荷为1050kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载__________捆材料．考点一、不等式的性质【例1】已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是( )A．a＋c＞b＋cB．c－a＜c－bC．＞D．a2＞ab＞b2解析：∵a＞b，∴－a＜－b，根据不等式性质一知，A，B均正确．∵c≠0，∴c2＞0，根据不等式性质二知C项正确．D项中当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，故D不正确．答案：D方法总结不等式的基本性质是不等式变形的依据，是我们应掌握的基本知识．特别要注意的是，不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变．触类旁通1下列不等式变形正确的是( )8\nA．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得－2a＜－2bC．由a＞b，得－a＞－bD．由a＞b，得a－2＜b－2考点二、不等式(组)的解集的数轴表示【例2】不等式8－2x＞0的解集在数轴上表示正确的是( )解析：不等式8－2x＞0的解集是x＜4，故选C.答案：C方法总结不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来，具体表示方法是先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈；再确定方向，大向右，小向左．触类旁通2不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )考点三、不等式(组)的解法【例3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来解：解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＜4.所以，不等式组的解集为1≤x＜4.在数轴上表示为方法总结1．解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式两边同时乘(或除)以一个负数，要改变不等号的方向．2．解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共部分．解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则将可能出现错误．3．在把两个不等式的解集表示在数轴上时，要特别注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右”．触类旁通3求满足不等式组的整数解．考点四、确定不等式(组)中字母的取值范围【例4】关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是( )A．－5≤a≤－B．－5≤a＜－8\nC．－5＜a≤－D．－5＜a＜－解析：解原不等式组，得2－3a＜x＜21.由已知条件可知2－3a＜x＜21包含4个整数解，这4个整数解应为17,18,19,20，这时2－3a应满足16≤2－3a＜17，解得－5＜a≤－，故应选C.答案：C方法总结根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围，解决此类问题时，一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集，再根据已知不等式(组)的解集情形，求出字母的取值范围．触类旁通4若不等式组有解，则a的取值范围是( )A．a＞－1B．a≥－1C．a≤1D．a＜1考点五、不等式(组)的应用【例5】某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？解：(1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15－2x)台．依题意，得解得6≤x≤7.∵x为正整数，∴x＝6或7.方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．(2)方案1需补贴：(6×2100＋6×2500＋3×1700)×13%＝4251(元)；方案2需补贴：(7×2100＋7×2500＋1×1700)×13%＝4407(元)．∴国家财政最多需补贴农民4407元．方法总结1．利用不等式(组)解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定．2．在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨．触类旁通5某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元．(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过228\n240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？1．(2022湖北武汉)在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是( )2．(2022山东临沂)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )3．(2022四川凉山)设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c4．(2022四川广安)不等式2x＋9≥3(x＋2)的正整数解是__________．5．(2022山东济宁)解不等式组并在数轴上表示出它的解集．6．(2022湖南益阳)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．1．若a＞b，则( )A．a＞－bB．a＜－bC．－2a＞－2bD．－2a＜－2b2．不等式x＞1在数轴上表示正确的是( )8\n3．现用甲、乙两种运输车将46吨物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )A．4辆B．5辆C．6辆D．7辆4．不等式组的解在数轴上表示为( )5．关于x的不等式－2x＋a≤2的解集如图所示，那么a的值是( )A．－4B．－2C．0D．26．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为__________．7．关于x的不等式3x－a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是__________．8．已知关于x，y的方程组的解x，y都是正数，求m的取值范围．参考答案导学必备知识自主测试1．A 2．C 3．A4．B 解x＋1＞0，得x＞－3，解2－x≥0，得x≤2，所以不等式组的解集是－3＜x≤2.5．42 设最多还能搭载x捆材料，由题意，得20x＋210≤1050，解得x≤42，故该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载42捆材料．探究考点方法触类旁通1．B 运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘以或者除以一个负数，不等式的方向要改变．触类旁通2．A 因为由2x＋1≤3，得x≤1，所以－3＜x≤1.触类旁通3．解：解不等式①，得x＞－2.解不等式②，得x≤6.在同一数轴上表示不等式①②的解集如下：8\n∴原不等式组的解集为－2＜x≤6.∴原不等式组的整数解为x＝－1,0,1,2,3,4,5,6.点评：求不等式组的特殊解时，首先应先求出每个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后再寻找出符合条件的特殊解．触类旁通4．A 解不等式组得因为“大小小大中间找”，满足有解的条件，所以－a＜1，解得a＞－1.触类旁通5．解：(1)设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，得解得答：每台电脑机箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元．(2)设购进电脑机箱z台，得解得24≤z≤26.因为z是整数，所以z＝24或25或26.利润10z＋160(50－z)＝8000－150z，可见z越小利润就越大，故z＝24时利润最大为4400元．答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4400元．点评：在列方程组解应用题时，关键是找相等关系，可结合图象法、列表法等，将题目的已知和结论借助一些辅助工具分析，从而快速找出相等关系；而在列不等式解决实际问题时，要找准题目当中的“大于”“不小于”“超过”“不足”“住不满”等一些表示不等关系的“关键词”．品鉴经典考题1．B 解不等式x－1＜0得x＜1，数轴上是圆圈，且在1的左边．2．A ∵由①得x＜3，由②得x≥－1，∴不等式组的解集为－1≤x＜3，在数轴上表示为故选A.3．A 由图可知，2c＝b，b＜a，所以c＜b＜a.4．1,2,3 解不等式得x≤3，所以正整数解是1,2,3.5．解：由不等式①得x＜5，由不等式②得x≥－1.把①②的解集在数轴上表示为所以，原不等式组的解集为－1≤x＜5.6．解：(1)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：80x＋60(17－x)＝1220，解得x＝10，∴17－x＝7.答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵．(2)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：17－x＜x，解得x＞8\n8，购进A，B两种树苗所需费用为80x＋60(17－x)＝20x＋1020，则费用最省需x取最小整数9，此时17－x＝8，这时所需费用为20×9＋1020＝1200(元)．答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1200元．研习预测试题1．D 2．C3．C 设甲种运输车x辆，由题意，得5x＋4(10－x)≥46，解得x≥6，所以甲种运输车至少应安排6辆．4．C 解2x－1＞1，得x＞1，解4－2x≤0，得x≥2，故选C.5．C 解不等式－2x＋a≤2，得x≥，从数轴看出它的解集为x≥－1，所以＝－1，即a＝0.6．a＜4 由两方程相加得4x＋4y＝4＋a，所以x＋y＝1＋＜2，解得a＜4.7．6≤a＜9 解不等式3x－a≤0，得x≤，由题意得2≤＜3，∴6≤a＜9.8．解：解方程组得因为x，y都是正数，所以解这个不等式组，得＜m＜7.所以m的取值范围是＜m＜7.8
