2022中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)例1如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝30°，E为AB上一点，且AE＝4cm．动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm2？（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm2）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．ABDQCPEMABDCE备用图解析：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴△EAM∽△EBP.∵AE＝4cm，BE＝8cm，BP＝tcm，∴AM＝tcm由S△EAM＝3cm2、∠MAE＝30°、AE＝4cm，得×t×2＝3，解得t＝6∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm2（2）∵AD∥BC，∴S梯形PCDM＝(12－t＋12＋t)×6＝72－t∵S△MQD＝(12＋t)×t＝t2＋3t，S△PCQ＝(12－t)(12－t)×＝ABDQCPEM∴S＝S梯形PCDM－S△MQD－S△PCQ＝－t2＋t＋36∵S＝－t2＋t＋36＝－(t－2)2＋∴当t＝2时，△MPQ的面积最大，最大值为（3）存在，t的值有两个∵△PQE的外心恰好在它的一边上，∴△PQE为直角三角形∵∠PQE＜∠CQE＜90°，∴只能∠EPQ＝90°或∠PEQ＝90°选择求∠EPQ＝90°时的t值（若求∠PEQ＝90°时的t值，则计算相当复杂）∵BP＝DQ，BC＝DC，∴PQ∥BD∴PE⊥BD∵AC⊥BD，∴PE∥AC2\n又∵BA＝BC，∴BP＝BP＝8cm∴当t＝8s时，∠EPQ＝90°例2如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；ACBFED（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．ACBFED解析：（1）证明：连接AC∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°∴∠BAC＝60°，∠B＝60°∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC又△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF（2）当E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4由（1）知，S△ABE＝S△ACF∴S四边形AECF＝S△ABC＝×42＝4而△CEF的面积发生变化，其最大值为∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝4－AE2当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin60°，即AE＝4×＝2∴S△CEF的最大值为4－(2)2＝2
