2022中考数学压轴题菱形问题精选解析(三)例5已知菱形ABCD中，BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD．（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：DQ＋BP＝CD；（2）如图2，当∠BAD＝120°时，试探究线段DQ、BP、CD之间的数量关系，并证明你的结论；ABCDPQ图1BPQADC图2ABCDPQEFM图3（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E，交BA延长线于点M，作∠DCE的平分线交AD边于点F．若＝，EF＝，求线段BP的长．解析：ABCDPQ（1）证明：连接AC在菱形ABCD中，∵∠BAD＝90°∴四边形ABCD为正方形，∴∠PAC＝∠QDC＝45°∵∠PCQ＝∠ABD，∴∠PCQ＝45°∴∠ACP＝45°－∠ACQ，又∠DCQ＝45°－∠ACQ∴∠ACP＝∠DCQ，∴△APC∽△DQC∴＝＝，∴AP＝DQ∵AP＋BP＝AB＝CD，∴DQ＋BP＝CD（2）DQ＋BP＝2CD证明：连接AC，在DQ上取一点M，连接CM，使∠MCD＝∠MDC＝30°则∠QMC＝∠PAC＝60°过点M作MG⊥CD于G，则CG＝CD，CG＝CMABCDPQMG∴CD＝CM＝DM∵∠ACP＝∠ACB－∠BCP＝60°－∠BCP∠MCQ＝∠MCB－∠PCQ－∠BCP＝60°－∠BCP∴∠ACP＝∠MCQ，∴△APC∽△MQC∴＝＝＝，∴MQ＝AP∵MQ＝DQ－DM＝DQ－CD，AP＝CD－BP3\n∴(CD－BP)＝DQ－CD∴DQ＋BP＝2CD（3）解：在菱形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝30°∵∠PCQ＝∠ABD＝30°，∴∠PCQ＝∠QDC∵BM∥CD，∴∠PMC＝∠QCD∴△CQD∽△MPC，∴＝＝，∴＝设BC＝5k，则MC＝7k，过点C作CH⊥AB于H则BH＝BC＝k，CH＝BC＝k，MH＝＝k∴BM＝BH＋MH＝8k，∴AM＝BM－AB＝3kABCDPQEFMHGN∵AM∥CD，∴＝＝∴＝，∴AE＝k延长CF、BM交于点G，则∠DCF＝∠G∵FC平分∠ECD，∴∠MCG＝∠DCF∴∠MCG＝∠G，∴MG＝MC＝7k，∴AG＝AM＋MG＝10k∵AG∥CD，∴＝＝∴＝，∴AF＝k∴EF＝AF－AE＝k＝，∴k＝1，∴CD＝5过点C作CN⊥BD于N，则DN＝CD＝∴BD＝2DN＝5∵DE∥BC，∴＝＝∴＝，∴DQ＝∴BP＝2CD－DQ＝例63\n如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB=60度，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E,F分别从A，C两点同时出发，以1cm/s的速度分别沿AB,CB向点B运动，EM,CD的延长线相交于G，GF交AD于O，设运动时间为x（s），三角形CGF的面积为y（cm²）解析：（1）∵DC‖AB，∴△DMG∽△AME，∴DG:AE=DM:AM，∴AE=AN*DG/DM，即当x=4s时，GD的长度是2cm．（2）∵△DMG∽△AME，∴DG/AE=DM/AM，∴DG=DM*AE/AM=2x/4=x/2，∴GC=6+x/2，过F作FH⊥DC于H点，∴FH=CF•sin60°=√3/2x，∴y=1/2GC•FH，=1/2（6+x/2)*√3/2x．（3）设运动x（s）时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5，此时△OGD∽△FGC，∴DG:GC=OD:FC，∴CD=GD*FC/GC=x²/x+12，过D作DP⊥BC于P，则PD=6×sin60°=3√3，即x²/x+12+x=2，解得：x1=（√73-5/2）x2=-(√73-5）/2（舍去），经检验：(√73-5)/2是原方程的解．∴当时：(√73-5)/2，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5．3
