2022中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)NKGCEDFABPM例3如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y．（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当△NPF的面积为32时，求x的值；（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．解析：（1）∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD∴∠E＝∠F＝90O，AE∥MC，MC∥NK∴AE∥NK，∴∠KNA＝∠EAF∴△KNA∽△EAF，∴＝，即＝∴y＝x＋6（0＜x≤6）（2）由（1）知NK＝AE，∴AN＝AF∵正方形DMNK，∴AP∥NM，∴＝＝1∴FP＝PM，∴S△MNP＝S△NPF＝32∴S正方形DMNK＝2S△MNP＝64∴y＝8，∴x＝2（3）连接PG，延长FG交AD于点H，则GH⊥AD易知：AP＝，AH＝x，PH＝－x，HG＝6；PG＝AP＋GF＝＋x①当两圆外切时在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(－x)2＋62＝(＋x)2解得：x＝－3－3（舍去）或x＝－3＋3②当两圆内切时在Rt△GHP中，PH2＋HG2＝PG2，即(－x)2＋62＝(－x)2方程无解所以，当x＝3－3时，两圆相切例4已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°，连接EF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以BE为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系；5\nABDCEFG图2ABDCEF图1（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由．解析：（1）猜想：EF＝BE＋DF证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′，易知点F′、B、E在同一直线上（如.图1）ABDCEF图1F′12∵AF′＝AF∠F′AE＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE∴EF＝F′E＝BE＋BF＝BE＋DF（2）在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2∵EC＝1－x，FC＝1－y，EF＝x＋y∴(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2∴y＝（0＜x＜1）（3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知EF＝BE＋DF，故此时⊙E与⊙F外切；②当点E在点C时，DF＝0，⊙F不存在.③当点E在BC延长线上时，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABF′（如图2）则AF′＝AF，∠1＝∠2，BF′＝DF，∠F′AF＝90°∴∠F′AE＝∠EAF＝45°又AE＝AE，∴△AF′E≌△AFE∴EF＝EF′＝BE－BF′＝BE－DF∴此时⊙E与⊙F内切综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切ABDCEFG图2F′12（4）△EGF与△EFA能够相似，只要当∠EFG＝∠EAF＝45°即可此时CE＝CF设BE＝x，DF＝y，由（3）知EF＝x－y在Rt△CFE中，CE2＋CF2＝EF2∴(x－1)2＋(1＋y)2＝(x－y)2∴y＝（x＞1）由CE＝CF，得x－1＝1＋y，即x－1＝1＋化简得x2－2x－1＝0，解得x1＝1－（舍去），x2＝1＋∴△EGF与△EFA能够相似，此时BE的长为1＋例5已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM．是否存在这样的t，使△B′DM5\n是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．BACD备用图BACD解析：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x则BE＝FG＝BG＝xBACD图①EFG∵AB＝3，BC＝6，∴AG＝AB－BG＝3－x∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC∴＝，即＝解得x＝2，即BE＝2（2）存在满足条件的t，理由如下：如图②，过D作DH⊥BC于点H则BH＝AD＝2，DH＝AB＝3由题意得：BB′＝HE＝t，HB′＝|t－2|，EC＝4－tBACD图②EFGHB′MN在Rt△B′ME中，B′M2＝B′E2＋ME2＝22＋(2－t)2＝t2－2t＋8∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC∴＝，即＝，∴ME＝2－t在Rt△DHB′中，B′D2＝DH2＋B′H2＝32＋(t－2)2＝t2－4t＋13过M作MN⊥DH于点N则MN＝HE＝t，NH＝ME＝2－t∴DN＝DH－NH＝3－(2－t)＝t＋1在Rt△DMN中，DM2＝DN2＋MN2＝t2＋t＋1（ⅰ）若∠DB′M＝90°，则DM2＝B′M2＋B′D2即t2＋t＋1＝(t2－2t＋8)＋(t2－4t＋13)，解得t＝（ⅱ）若∠B′MD＝90°，则B′D2＝B′M2＋DM2即t2－4t＋13＝(t2－2t＋8)＋(t2＋t＋1)，解得t1＝－3＋，t2＝－3－∵0≤t≤4，∴t＝－3＋（ⅲ）若∠B′DM＝90°，则B′M2＝B′D2＋DM2即t2－2t＋8＝(t2－4t＋13)＋(t2＋t＋1)，此方程无解BACD图③EFGB′H综上所述，当t＝或－3＋时，△B′DM是直角三角形（3）当0≤t≤时，S＝t25\n当≤t≤2时，S＝－t2＋t－当2≤t≤时，S＝－t2＋2t－BACD图④EFGB′H当≤t≤4时，S＝－t＋提示：当点F落在CD上时，如图③FE＝2，EC＝4－t，DH＝3，HC＝4由△FEC∽△DHC，得＝即＝，∴t＝当点G落在AC上时，点G也在DH上（即DH与AC的交点）BACD图⑤EFGB′MNt＝2当点G落在CD上时，如图④GB′＝2，B′C＝6－t由△GB′C∽△DHC，得＝即＝，∴t＝当点E与点C重合时，t＝4BACD图⑥EFGB′MNPQ①当0≤t≤时，如图⑤∵MF＝t，FN＝t∴S＝S△FMN＝·t·t＝t2②当≤t≤2时，如图⑥∵PF＝t－，FQ＝PF＝t－1BACD图⑦EFGB′PQMN∴S△FPQ＝(t－)(t－1)＝t2－t＋∴S＝S△FMN－S△FPQ＝t2－(t2－t＋)＝－t2＋t－③当2≤t≤时，如图⑦∵B′M＝B′C＝(6－t)＝3－t∴GM＝2－(3－t)＝t－1∴S梯形GMNF＝(t－1＋t)×2＝t－15\n∴S＝S梯形GMNF－S△FPQ＝(t－1)－(t2－t＋)＝－t2＋2t－BACD图⑧EFGB′PQNM④当≤t≤4时，如图⑧∵PB′＝B′C＝(6－t)＝－t∴GP＝2－(－t)＝t－∴S梯形GPQF＝(t－＋t－1)×2＝t－∴S＝S梯形GMNF－S梯形GPQF＝(t－1)－(t－)＝－t＋5
