2022中考数学压轴题几何与函数问题精选解析(二)例3如图（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCMNPOABCMNDOABCMNPO图（1）图（2）图（3）【思路点拨】（1）证△AMN∽△ABC；（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQ⊥BC于Q，证△BMQ∽△BCA；（3）先找到图形娈化的分界点，＝2。然后分两种情况讨论求的最大值：①当0＜≤2时，②当2＜＜4时。解析（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．∴=．（0＜＜4）ABCMND图（2）OQ（2）如图（2），设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC＝=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴，即．ABCMNP图（1）O∴，∴．过M点作MQ⊥BC于Q，则．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，4\n∴△BMQ∽△BCA．∴．∴，．∴x＝．∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．ABCMNP图（3）O∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．故以下分两种情况讨论：①当0＜≤2时，．∴当＝2时，ABCMNP图（4）OEF②当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴．又△PEF∽△ACB．∴．∴．＝．当2＜＜4时，．∴当时，满足2＜＜4，．4\n综上所述，当时，值最大，最大值是2．例4如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．CDABEFNM（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．解析（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．∵AB∥CD，∴DG＝CH，DG∥CH．∴四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．CDABEFNMGH∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，∴△AGD≌△BHC（HL）．∴AG＝BH＝＝3．∵在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5，∴DG＝4．∴．CDABEFNMGH（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，∴ME＝NF，ME∥NF．∴四边形MEFN为矩形．∵AB∥CD，AD＝BC，∴∠A＝∠B．∵ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，∴△MEA≌△NFB（AAS）．∴AE＝BF．设AE＝x，则EF＝7－2x．∵∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，∴△MEA∽△DGA．4\n∴．∴ME＝．∴．当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．（3）能．由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝．若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．即7－2x．解，得．∴EF＝＜4．∴四边形MEFN能为正方形，其面积为．00000000………….4
