2022中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(三)例5如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1解析（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条．（2）如图2，在Rt△CEH中，∠C＝60°，EC＝x，所以．因为PQ＝FE＝BE＝4－x，所以．（3）因为，所以当x＝2时，平行四边形EFPQ的面积最大．此时E、F、P分别为△ABC的三边BC、AB、AC的中点，且C、Q重合，四边形EFPQ是边长为2的菱形（如图3）．图2图3过点E点作ED⊥FP于D，则ED＝EH＝．如图4，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时，0＜r＜；6\n如图5，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时，r＝；如图6，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时，＜r＜2；如图7，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时，r＝2时；如图8，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时，r＞2时．图4图5图6图7图8考点伸展本题中E是边BC上的动点，设EC＝x，如果没有限定0＜x≤2，那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x的变化而变化的？事实上，当x＞2时，点P就不存在了，平行四边形EFPQ也就不存在了．因此平行四边形EFPQ的面积随x的增大而增大．例6如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．6\n图1解析（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1．（2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）．把x＝1代入，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）．因此DE=2．因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此．当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到．解得，（与点E重合，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此．m的变化范围是0≤m≤3．图2图36\n考点伸展在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此．于是．解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）．因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．图4例7如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A、B、C的坐标．（2）当△CBD为等腰三角形时，求点的坐标．（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．图1解析（1）在中，当时，，所以点的坐标为．在6\n中，当时，，所以点的坐标为（4，0）．解方程组得，．所以点的坐标为．（2）因为点D在直线上，设点D的坐标为．当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况：①如图2，当DB＝DC时，设底边BC上的高为DM．在Rt△CDM中，，所以．这时点D的坐标为．②如图3，当CD＝CB＝5时，点D恰好落在y轴上，此时点D的坐标为（0，3）．根据对称性，点D关于点C对称的点D′的坐标为（8，－3）．③如图4，当BC＝BD时，设BC、DC边上的高分别为DM、BN．在Rt△BCN中，BC＝5，所以CN＝4，因此DC＝8．在Rt△DCM中，DC＝8，所以，．这时点D的坐标为．综上所述，当△CBD为等腰三角形时，点D的坐标为、（0，3）、（8，－3）或．图2图3图4（3）如图5，以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形：①当四边形AEOD为平行四边形时，．②当四边形ADEO为平行四边形时，．6\n图5③当四边形AODE为平行四边形时，．考点伸展如图5，第（3）题这样解：在△ABC中，已知BC＝5，BC边上的高为，解得AB＝，AC＝．由，得，所以．由，得，所以．结合图5，可以计算出，或．6
