第一部分 第三章 第14讲命题点1 二次函数的实际应用1．(2022·云南22题9分)草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为w元，求w的最大值．解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，根据题意，得解得∴y与x的函数解析式为y＝－2x＋340(20≤x≤40)．(2)由已知得w＝(x－20)(－2x＋340)＝－2x2＋380x－6800＝－2(x－95)2＋11250.∵－2<0，∴当x≤95时，w随x的增大而增大．∵20≤x≤40，∴当x＝40时，w最大，最大值为－2×(40－95)2＋11250＝5200元．命题点2 二次函数与几何问题的综合探究2．(2022·昆明22题9分)如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范图；(2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．解：(1)由题意，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x，令y＝0，得x2－4x＝0，解得x＝0或x＝4，∴点A的坐标为(4,0)，根据图象可知当y≤0时，自变量x的取值范图是0≤x≤4.8\n(2)设直线AB的解析式为y＝mx＋n，则解得∴y＝x－4，设直线AP的解析式为y＝kx＋c.∵PA⊥BA，∴k＝－1，则有－4＋c＝0，解得c＝4，∴y＝－x＋4.∴解得或∴点P的坐标为(－1,5)，在Rt△BAP中，AB＝＝3，AP＝＝5.∴S△PAB＝AB·AP＝×3×5＝15.3．(2022·昆明23题12分)如图1，对称轴为直线x＝的抛物线经过B(2,0)，C(0,4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴上是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由对称性得点A的坐标为(－1,0)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把C(0,4)代入得4＝－2a，解得a＝－2，∴y＝－2(x＋1)(x－2)，∴抛物线的解析式为y＝－2x2＋2x＋4.(2)如答图1，设点P(m，－2m2＋2m＋4)，过P作PD⊥x轴，垂足为D，∴S四边形COBP＝S梯形CODP＋S△PDB＝m(－2m2＋2m＋4＋4)＋(－2m2＋2m＋4)(2－m)＝－2m2＋4m＋4＝－2(m－1)2＋6.∵－2<0，∴S有最大值，S最大＝6.(3)存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形．8\n分以下两种情况：①当∠BQM＝90°时，如答图2，∵∠CMQ>90°，∴只能CM＝MQ.设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把B(2,0)，C(0,4)代入y＝kx＋b，得解得∴直线BC的解析式为y＝－2x＋4，设M(m，－2m＋4)，则MQ＝－2m＋4，OQ＝m，BQ＝2－m，在Rt△OBC中，BC＝＝＝2，∵MQ∥OC,∴△BMQ∽△BCO，∴＝，即＝，∴BM＝(2－m)＝2－m，∴CM＝BC－BM＝2－(2－m)＝m.∵CM＝MQ，∴－2m＋4＝m,m＝＝4－8，∴Q(4－8,0)；图1 图2 图3答图②当∠QMB＝90°时，如答图3，∵∠CMQ＝90°，∴只能CM＝MQ，同理可设M(m，－2m＋4)，在Rt△COB和Rt△QMB中，tan∠CBO＝tan∠MBQ＝＝＝2.又∵tan∠MBQ＝，由①知BM＝2－m，MQ＝CM＝m，∴tan∠MBQ＝＝＝2，∴m＝4－2m，∴m＝，∴M(，)．8\n此时BM＝2－m＝，MQ＝，∴BQ＝＝＝，∴OQ＝BQ－OB＝－2＝，∴Q(－，0)．综上所述，Q点坐标为(4－8,0)或(－，0)．4．(2022·曲靖23题12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2ax＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,3)，tan∠OAC＝.(1)求抛物线的解析式；(2)点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；(3)点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵C(0,3)，∴OC＝3.∵tan∠OAC＝＝，∴OA＝4,∴点A的坐标为(－4,0)．把A(－4,0)，C(0,3)代入y＝ax2＋2ax＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋3.(2)设AC的解析式为y＝kx＋b，把A(－4,0)，C(0,3)代入y＝kx＋b，得解得∴AC的解析式为y＝x＋3.设点N的坐标为(x,0)，则点H的坐标为(x，x＋3)，点P的坐标为(x，－x2－x＋3)，∴PH＝－x2－x＋3－(x＋3)＝－x2－x＝－(x＋2)2＋.8\n∵－<0,∴PH有最大值，∴PH最大＝.即线段PH的最大值是.(3)如答图，过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE＝∠MKC＝90°，答图∴∠MEG＋∠EMG＝90°.∵四边形CMEF是正方形，∴EM＝MC，∠EMC＝90°，∴∠EMG＋∠CMK＝90°，∴∠MEG＝∠CMK，∴△MKC≌△EGM，∴MG＝CK.由抛物线知对称轴为直线x＝－1，设M点坐标为(x，－x2－x＋3)，则G点坐标为(－1，－x2－x＋3)，K点坐标为(0，－x2－x＋3)，∴MG＝|x＋1|，CK＝|－x2－x＋3－3|＝|－x2－x|＝|x2＋x|，∴|x＋1|＝|x2＋x|，∴x2＋x＝±(x＋1)，∴x2＋x＝－x－1或x2＋x＝x＋1.解得x1＝－4，x2＝－，x3＝－，x4＝2.代入抛物线解析式得y1＝0，y2＝，y3＝，y4＝0.∴点M的坐标是M1(－4,0)，M2(－，)，M3(－，)，M4(2,0)．5．(2022·昆明23题9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，点A8\n的坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x＝.(1)求抛物线的解析式；(2)M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM＝CH时，求点M的坐标；(3)在(2)的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°<α<90°)，在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵x＝－＝，b＝，∴a＝－，把A(4,0)，a＝－代入y＝ax2＋x＋c，可得(－)×42＋×4＋c＝0，解得c＝2，则抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.(2)如答图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E.答图1∵y＝－x2＋x＋2，∴当x＝0时，y＝2，∴C点的坐标是(0,2)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把A(4,0)，C(0,2)代入y＝kx＋b，得解得∴直线AC的解析式为y＝－x＋2.∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，∴设点M的坐标为(m，－m2＋m＋2)，8\n点H的坐标为(m，－m＋2)，∴MH＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－m2＋2m.∵CM＝CH，OC＝GE＝2，∴MH＝2EH＝2×[2－(－m＋2)]＝m.又∵MH＝－m2＋2m，∴－m2＋2m＝m，即m(m－2)＝0，解得m＝2或m＝0(不符合题意，舍去)，∴m＝2，当m＝2时，y＝－×22＋×2＋2＝3，∴点M的坐标为(2,3)．(3)存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：∵抛物线与x轴交于A，B两点，A(4,0)，A，B两点关于直线x＝对称，∴B(－1,0)．∵AC＝＝2，BC＝＝，AB＝5，∴AC2＋BC2＝(2)2＋()2＝25，AB2＝52＝25.∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°.线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG＝90°，设P点坐标为(n,0)，则N点坐标为(n，－n2＋n＋2)，如答图2，①当＝时，答图2∵∠N1P1G＝∠ACB＝90°，∴△N1P1G∽△ACB，∴＝，8\n解得n1＝3，n2＝－4(不符合题意，舍去)，∴点P1的坐标为(3,0)；②当＝时，∵∠N2P2G＝∠BCA＝90°，∴△N2P2G∽△BCA，∴＝，解得n1＝1＋，n2＝1－(不符合题意，舍去)，∴点P2的坐标为(1＋，0)．综上所述：存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，点P的坐标为(3,0)或(1＋，0)．8
