（福建专用）2013年高考数学总复习第八章第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系课时闯关（含解析）一、选择题1．以下几个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2D．3解析：选B.①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得四边形的四条边可以不在一个平面上．2．(2012·南平调研)若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( )A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行解析：选B.若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1B．2C．3D．4解析：选B.有2条：A1B和A1C1，故选B.4．如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )解析：选D.在A图中分别连接PS、QR，易证PS∥QR，∴P、S、R、Q共面；在C图中分别连接PQ、RS，5\n易证PQ∥RS，∴P、Q、R、S共面．如图，在B图中过P、Q、R、S可作一正六边形，故四点共面，D图中PS与RQ为异面直线，∴四点不共面，故选D.5．正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过点E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是( )A．线段C1FB．线段CFC．线段CF和一点C1D．线段C1F和一点C解析：选C.如图，DE∥平面BB1C1C，∴平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥ED，连结EM，易证MP＝ED，∴MP綊ED，则M到达B1时仍可构成四边形，即P到F.而P在C1F之间，不满足要求．P到点C1仍可构成四边形．二、填空题6．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．答案：1或47．(2012·宁德质检)在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．解析：对于①可举反例，如AB∥CD，A、B、C、D没有三点共线，但A、B、C、D共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案：②8.如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．解析：∵AB∥A1B1，∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝a，∴B1C1＝BC＝a.∴BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.答案：30° 45°三、解答题9.5\n如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？(2)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？(3)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？解：(1)E、F、G、H为所在边的中点时，四边形EFGH为平行四边形．证明如下：∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，且EH＝BD.同理，FG∥BD，且FG＝BD，从而EH∥FG，且EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形．(本题答案不唯一，只要保证平面EFGH与AC、BD都平行，则EFGH就为平行四边形．)(2)当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC时，四边形EFGH为矩形．(3)当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．10.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH∥AD且GH＝AD.又BC∥AD且BC＝AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．一、选择题1．(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝5\nAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形．∴∠A1BD1＝60°.∴BA1与AC1成60°的角．2.(2010·高考江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D.连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．二、填空题3．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①4．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是__________．解析：如图①所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝，如图②，故AC的取值范围是0<AC<.5\n答案：(0，)三、解答题5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1、AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．解：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设交点为P，则P∈FD1，P∈DA.又∵FD1⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．如图所示．6．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角．解：如图，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC.又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.5
