活页作业 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．(理)如图α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．答案：D1．(文)平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，所以R∈γ.又因为C，R∈β，故CR＝β∩γ.答案：C2.(2022·揭阳模拟)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是( )A. B.C. D．2解析：如图，取AC中点G，连FG、EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝＝＝.答案：B3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为( )5\n解析：到定点B的距离等于到直线A1B1的距离，所以动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．答案：C4.如右图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面5．(理)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A．不存在 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有无数条解析：在EF上任取一点M.直线CD与点M确定的平面与直线A1D1交于点N，则直线MN与三条直线都相交，由点M的任意性可知这样的直线有无数条．答案：D5.(文)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：结合图形知直线A1B和A1C1满足条件．5\n答案：B6．(理)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面6．(文)已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/q.答案：B二、填空题7．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案：①②③8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．解析：延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此异面直线BA1与AC1所成的角为60°.5\n答案：60°三、解答题9．如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线．10．(理)如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．解：连接B1G，EG，B1F，CF.∴E、G是DD1、CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1＝EG.∴四边形A1B1GE是平行四边形，∴B1G∥A1E.∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．在Rt△B1C1G中，B1C1＝AD＝1，C1G＝AA1＝1，∴B1G＝.5\n在Rt△FBC中，BC＝BF＝1，∴FC＝.在Rt△FCG中，CF＝，CG＝1，∴FG＝.在Rt△B1BF中，BF＝1，B1B＝2，∴B1F＝.在△B1FG中，B1G2＋FG2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°.因此，异面直线A1E与GF所成的角为90°.10．(文)正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．5
