（福建专用）2013年高考数学总复习第九章第5课时古典概型、几何概型课时闯关（含解析）一、选择题1．(2011·高考福建卷)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )A.B.C.D.解析：选C.因为S△ABE＝SABCD，则点Q取自△ABE内部的概率P＝＝.故选C.2．(2010·高考北京卷)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )A.B.C.D.解析：选D.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数有5种选法，从{1,2,3}中随机选取一个数有3种选法，由分步计数原理知共有5×3＝15种选法．而满足b>a的选法有：当b＝3时，a有2种，当b＝2时，a有1种，共有2＋1＝3种选法．由古典概型知b>a的概率P＝＝，故选D.3．(2012·福州调研)在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin的值介于－与之间的概率为( )A.B.C.D.解析：选D.∵－1≤x≤1，∴－≤≤.由－≤sin≤，得－≤≤，即－≤x≤1.故所求事件的概率为＝.4．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.B.5\nC.D.解析：选A.∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝＝，故选A.5．(2012·山东临沂质检)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为α，则α∈的概率为( )A.B.C.D.解析：选D.当α∈(0，]，得cosα≥0，从而a·b＝m－n≥0.当m＝1时，n＝1；当m＝2时，n＝1、2；当m＝3时，n＝1、2、3…；当m＝6时，n＝1、2、3、4、5、6.故所求概率为＝.二、填空题6．(2011·高考福建卷)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析：所取出的2个球颜色不同的概率P＝＝＝.答案：7．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.解析：m可能取到的值有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，对应的基本事件个数依次为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，∴7对应的事件发生的概率最大．答案：78．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为________．解析：首先在平面直角坐标系中作出集合Ω和集合A所表示的平面区域如图，结合图象可知所求概率应为P＝＝＝.答案：三、解答题9．(2010·高考山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．5\n解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝＝.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.10．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；(2)若以落在区域C内的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)九个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)四个，∴所求概率为P1＝.(2)∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，∴所求概率为P2＝＝.一、选择题1．第16届广州亚运会的吉祥物取名“乐洋洋”，形象是运动时尚的五只羊，分别取名“阿祥”、“阿和”、“阿如”、“阿意”、“乐洋洋”，表达了广州亚运会将给亚洲人民带来“祥和如意乐洋洋”的美好祝愿，甲、乙两位好友分别从同一组吉祥物中各随机选择一个留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的吉祥物中，“阿意”和“乐洋洋”恰好只有一个被选中的概率为( )A.B.C.D.解析：选C.甲、乙两位好友选择吉祥物的方法共有5×4＝20(种)，而“阿意”和“乐洋洋”恰好只有一个被选中的选法有CCC＝12(种)，则“阿意”和“乐洋洋”恰好只有一个被选中的概率为＝，选择C.2．(2012·漳州质检)甲乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.B.5\nC.D.解析：选D.甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|>1”，即|a－b|＝2，包含2个基本事件，∴P(B)＝，∴P(A)＝1－＝.二、填空题3．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0，2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________．(结果用分数表示)解析：基本事件总数为C.∵B、C、D三点共线，A、C、E、F四点共线，∴从六个点中任取三点能构成三角形的取法共有C－C－C(种)，故所求概率为P＝＝.答案：4．(2012·泉州质检)向面积为9的△ABC内任投一点P，那么△PBC的面积小于3的概率是________．解析：如图，由题意，△PBC的面积小于3，则点P应落在梯形BCED内，∵＝2，∴S△ADE＝4，∴S梯形BCED＝5，∴P＝.答案：三、解答题5．(2012·厦门质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)由题意可知：＝，解得n＝2.(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P(A)＝＝.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，5\n则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}，∴P(B)＝＝＝1－.6．已知10件产品中有3件是次品．(1)任意取出3件产品进行检验，求其中至少有1件是次品的概率；(2)为了保证3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品进行检验？解：(1)任意取出3件产品进行检验，全部是正品的概率为＝.故至少有一件是次品的概率为1－＝.(2)设抽取n(3≤n≤10，且n∈N)件产品进行检验，则3件次品全部检验出的概率为＝.由>0.6，得>·.整理得：n(n－1)(n－2)>9×8×6，∵n∈N,3≤n≤10，∴当n＝9或n＝10时上式成立．即为了保证3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品进行检验．5
