10-5古典概型与几何概型基础巩固强化1.4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件，∴所求概率为P＝＝.2．(2011·潍坊二检)若在区间[－，]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 当－≤x≤时，由0≤cosx≤，得－≤x≤－或≤x≤，根据几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.3．已知函数f(x)＝sinx，a等于抛掷一颗骰子得到的点数，则y＝f(x)在[0,4]上至少有5个零点的概率是( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 抛掷一颗骰子共有6种情况．当a＝1,2时，y＝f(x16\n)在[0,4]上的零点少于5个；当a＝3,4,5,6时，y＝f(x)在[0,4]上的零点至少有5个，故P＝＝，选C.4．(2011·天津六校联考)某学校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二女生的概率为0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则三年级应抽取的学生人数为( )一年级二年级三年级女生373xy男生377370zA.24B．18C．16D．12[答案] C[解析] 由题意得，＝0.19.解得x＝380.∴y＋z＝2000－(373＋380＋377＋370)＝500.设三年级应抽取n人，则＝.∴n＝16.故选C.5．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 投掷两颗骰子，共向上的点数m、n，用(m，n)记录基本事件，则基本事件构成集合Ω＝{(m，n)|1≤m≤6,1≤n≤6，m，n∈N}，∵(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，它为实数的等价条件是m2＝n2，又m、n均为正整数，∴m＝n.故所求事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，Ω中共有36个基本事件，∴P＝＝.故选C.6．(文)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是( )16\nA.B.C.D.[答案] C[解析] 设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为π3＝πa3，故点M在球O内的概率为＝.(理)(2011·北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )A.B．1－C.D．1－[答案] B[解析] 以点O为圆心，半径为1的半球的体积为V＝×πR3＝，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：点P到点O的距离大于1的概率为P(A)＝1－＝1－，故选B.7．(2011·皖南八校联考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，设向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈的概率是________．[答案] [解析] ∵cosθ＝，θ∈，∴m≥n，满足条件m＝n的概率为＝，m>n的概率与m<n的概率相等，∴m>n的概率为×＝，∴满足m≥n的概率为P＝＋＝.16\n8．(文)(2012·浙江文，12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．[答案] [解析] 由五个点中随机取两点共有10种取法．由图可知两点间的距离为的是中心和四个顶点组成的4条线段，故概率为P＝＝，概率问题一定要弄明白概率模型．(理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．[答案] [解析] ∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线m16\n＝n恰好将矩形平分，∴p＝.9．(文)(2012·河北保定市模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．[答案] [解析] ∵直线与圆有公共点，∴≤1，∴－≤k≤.故所求概率为P＝＝.(理)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2－有不等实数根的概率为________．[答案] [解析] 方程x＝2－化为x2－2x＋2b＝0，∵方程有两个不等实根，∴Δ＝8a－8b>0，∴a>b，如图可知，所求概率p＝.16\n10．(2012·天津文，15)某地区有小学21所，中学14所，大学7所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，(ⅰ)列出所有可能的抽取结果；(ⅱ)求抽取的2所学校均为小学的概率．[分析] (1)根据抽样比例＝＝进行抽取．(2)由(1)知抽取的6所学校中有小学3所，用列举法求出基本事件总数n和2所均为小学的抽法数m，用古典概型公式P＝求解．[解析] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为6×＝3,6×＝2,6－3－2＝1.(2)(ⅰ)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．(ⅱ)从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P(B)＝＝.[点评] 本小题主要考查分层抽样方法、用列举法求基本事件数、古典概型及其概率计算公式，同时考查学生数据处理能力，运用概率知识解决实际问题的能力.能力拓展提升11.(2012·安徽六校教育研究会联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m、n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈(0，)的概率为( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 连续投掷两次骰子的点数m、n，构成的向量a＝(m，n)，共有36个，a与b的夹角α∈(0，)，∴cosα＝＝∈(，1)，即<<1，16\n∴n<m，满足要求的向量a有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)共15个，∴所求概率P＝＝.12．(文)(2012·辽宁文，11)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 在长为12cm的线段AB上任取一点C，设AC＝x，则BC＝12－x，∴x(12－x)>20，∴2<x<10，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C1与C2之间的部分，如图∴P＝＝.关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm2”所表示区域的长度．(理)(2012·湖北理，8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )16\nA．1－B.－C.D.[答案] A[分析] 在扇形OAB内随机取一点，此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题，关键是求阴影部分的面积，如图设阴影部分两块的面积分别为S1、S2，OA＝R，则S1＝2(S扇形DOC－S△DOC)，S2＝S扇形OAB－S⊙D＋S1.[解析] 设图中阴影面积分别为S1，S2，令OA＝R，由图形知，S1＝2(S扇ODC－S△ODC)＝2[－·()2]＝，S2＝S扇形OAB－S⊙D＋S1＝πR2－π·()2＋＝，∴所求概率P＝＝＝1－.[点评] 1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．13．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}和Q＝{－2，－1，1,2,3,4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，函数y＝f(x16\n)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________．[答案] [解析] 函数f(x)＝ax2－4bx＋1图象的对称轴为x＝.要使y＝f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，应有a>0且≤1，∴a≥2b且a>0.①若a＝1，则b＝－2，－1；②若a＝2，则b＝－2，－1,1；③若a＝3，则b＝－2，－1,1；④若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；⑤若a＝5，则b＝－2，－1,1,2，∴该事件包含基本事件数为16，∴所求概率P＝＝.14．(文)若区域M＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，在区域M内的点的坐标为(x，y)，则x2－y2≥0的概率是________．[答案] [解析] 区域M是以(－2,0)，(2,0)，(0，－2)，(0,2)为顶点的正方形，如图所示，其中满足y2≤x2的是直线y＝x和y＝－x所夹的包含(－2,0)，(2,0)的两块区域即阴影部分，这个区域的面积恰好是区域M面积的一半，故所求的概率为.(理)(2012·昆明第一中学测试)设曲线y＝，直线x＝1，x轴所围成的平面区域为M，Ω＝，向区域Ω内随机投一点A，则点A落在M内的概率为________．[答案] [解析] 区域Ω的面积S＝1，区域M的面积S1＝dx＝x|＝，故所求概率P＝.16\n15．设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m、n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．[解析] (1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2由于m、n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝＝.16．(文)(2011·江西文，16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．[解析] 将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1、2、3表示A饮料，编号4、5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)，共有10种令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P(D)＝，(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.(理)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①设事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取两个实数x、y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．16\n[解析] (1)由题意可知：＝，解得n＝2.(2)将标号为2的小球记作a1，a2①两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a1)，(0，a2)，(1,0)，(1，a1)，(1，a2)，(a1,0)，(a1,1)，(a1，a2)，(a2,0)，(a2,1)，(a2，a1)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共4个．∴P(A)＝＝.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B所构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，x，y∈Ω}，∴P(B)＝＝＝1－.1．(2011·新课标全国文，6)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A. B. C. D.[答案] A[解析] 甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为32＝9种，甲、乙参加同一个小组的选法有3种，所以其概率为＝.故选A.2．(2011·福建文，7)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )16\nA.B.C.D.[答案] C[解析] 本题属于几何概型求概率问题，设矩形长为a，宽为b，则点取自△ABE内部的概率P＝＝＝.3．有5条长度分别为1、3、5、7、9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 构不成三角形的为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(3,5,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，能构成三角形的有(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，∴所求概率为.4．从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个．f(x)若有变号零点，不论a>0还是a<0，均应有Δ>0，即b2－4ac>0，∴b2>4ac.①首先b取0时，a、c须异号，a＝－1，则c有2种，a取1或2，则c只能取－1，∴共有4种．②b＝1时，若c＝0，则a有2种，若c＝－1，a只能取2.若c＝2，则a＝－1，共有4种．③若b＝－1，则c只能取0，有2种．16\n④若b＝2，取a有2种，取c有2种，共有2×2＝4种．综上所述，满足b2>4ac的取法有4＋4＋2＋4＝14种，∴所求概率P＝＝.5．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 寻找直角非等腰三角形构成的特征．方法1：相对棱AB与C1D1的四个顶点所构成的四边形中，任取三个顶点构成的三角形，符合条件，故有C种情形，由于正方体有6对相对棱，故可得到的直角非等腰三角形有6C个，因此，所求的概率为：＝＝，∴选C.方法2：以A为直角顶点的直角非等腰三角形仅有：Rt△D1AB、Rt△B1AD、Rt△A1AC三个，故共有直角非等腰三角形8×3＝24个，因此，所求的概率为：＝＝，∴选C.[点评] 探求规律特征，或从特殊点出发思考，是解这类问题的一般思路．把问题改为求“所得三角形恰为直角三角形”的概率，则答案为＝.6．已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a、b∈{1,2,3,4,5,6}．(文)直线l1∥l2的概率为________．(理)直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为______．16\n[分析] a，b∈{1,2,3,4,5,6}相当于放回取样，也就是说a与b的值可以重复．[答案] (文) (理)[解析] (文)依题意知，直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝.设事件A为“直线l1∥l2”．a、b∈{1,2,3,4,5,6}的基本事件记作(a，b)，有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(6,5)，(6,6)，共36种．若l1∥l2，则b＝2a.满足条件的实数对(a，b)有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3种．所以P(A)＝＝.∴直线l1∥l2的概率为.(理)由得(b≠2a)∵两直线的交点在第一象限，∴∴b>2a.a，b∈{1,2,3,4,5,6}的基本事件共6×6＝36个，其中满足b>2a的基本事件(a，b)有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6个．∴其概率P＝＝.7．(2011·北京文，16)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)[解析] (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10.16\n所以平均数为＝＝；方差为s2＝[(8－)2＋(8－)2＋(9－)2＋(10－)2]＝.(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11：乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)．用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C)＝＝.8．(2011·四川文，17)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．[解析] (1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A，B，则P(A)＝1－－＝，P(B)＝1－－＝.∴甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.(2)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，所付租车费之和为0元、2元、4元的概率分别为P1、P2、P3，则P1＝×＝，P2＝×＋×＝，P3＝×＋×＋×＝，16\n∴P(C)＝P1＋P2＋P3＝.∴甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为.9．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1、2、3、4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．[解析] (1)从袋中取球编号之和不大于4的基本事件有1和2,1和3两个，而随机取两球其一切可能的基本事件有6个．∴所求概率为P＝＝.(2)由题意其一切结果设为(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，P1＝.故满足条件n<m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.16
