（江苏专用）2013高考数学总复习《第43讲空间几何体的结构》基础达标演练（含解析）理苏教版A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．答案 ②④2．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题的个数是________个．解析 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不准确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④是正确的．答案 33．给出下列四个命题：①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线其中正确命题的个数为________个．解析 ①错误，如图(1)，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．②错误，如图(2)(3)所示，若△ABC6\n不是直角三角形，或如果是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．③错误，若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．④正确．答案 14．给出下列四个命题：①过球面上任意两点有且只有一个大圆；②球心与截面圆心的连线垂直于截面；③球面上任意两点间的大圆劣弧长度总小于过这两点的任意的球的小圆劣弧的长度；④球的大圆互相平行．其中正确命题的个数是________．解析 命题①不正确，这是因为过直径两端点的球的大圆有无数个；命题②正确；命题③正确，这是因为球面上两点间大圆劣弧长度为两点的球面距离，此为球面上两点之间的最短距离；命题④不正确．答案 25．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的喜好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余的酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系有下列四种表述： 其中表述一定正确的是________．解析 本题若用公式推导将费时费力，只要把握住所剩酒为原来的一半以及酒杯的形状，h4为原来高度的一半应最小，第二个杯子为圆锥形，液面高度应该最高，故只有①正确．答案 ①6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析 ①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1DBC满足条件．答案 ①③④⑤6\n7．如图，一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h，则h1∶h2∶h＝________.解析 如图，设三棱锥PABE的各棱长为a，则四棱锥PABCD的各棱长也为a，于是h1＝＝a，h2＝＝a＝h，∴h1∶h2∶h＝∶2∶2.答案 ∶2∶2二、解答题(每小题15分，共45分)8．直平行六面体的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面的面积是Q1和Q2，求它的侧面积．解 如图，设直平行六面体A1C的底面菱形边长为a，侧棱长为l，A1C是直平行六面体⇒A1ACC1、B1BDD1是矩形，∴Q1＝l·AC⇒AC＝.同理BD＝，又底面是菱形⇒a2＝2＋2＝⇒2a·l＝，S侧＝4al＝2.9．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求由A到C1在长方体表面上的是短距离为多少？6\n解 展开1如图(1)：AC1＝＝；展开2如图(2)：AC1＝＝3；展开3如图(3)：AC1＝＝2.由A到C1在长方体表面上的最短距离为3.10．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解 如图所示，正四棱锥SABCD中，高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，在Rt△SOA中，OA＝＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，∴SE＝，即侧面上的斜高为.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：50分)一、填空题(每小题5分，共20分)1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上．其中假命题是________(填序号)．解析 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即①正确；底面四边形必有一个外接圆，即③正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即④6\n正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题②为假命题．选②.答案 ②2．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为________．解析 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则4(x＋y＋z)＝24，且2xy＋2yz＋2xz＝11.则x2＋y2＋z2＝(x＋y＋z)2－2xy－2yz－2xz＝36－11＝25，从而对角线长为5.答案 53．用一个平面去截正方体，所得的截面可能是下列图形________(写出序号)．①六边形；②菱形；③梯形；④直角三角形．解析 若截面是三角形，则一定是锐角三角形．答案 ①②③4．如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是________(填序号)．①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体；②该组合体仍然关于轴l对称；③该组合体中的圆锥和球只有一个公共点；④该组合体中的球和半球只有一个公共点．解析 半圆绕l旋转后，可得半球，故组合体中只有一个球，所以①不正确，其余都正确．答案 ①二、解答题(每小题15分，共30分)5．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．解 利用三角形相似比，由底面积之比为1∶16.可设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r.根据相似三角形的性质得＝，解得l＝9.6\n所以，圆台的母线长为9cm.6．一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长．解 如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为xcm，则OC＝x，∴＝，解得x＝120(3－2)，∴正方体的棱长为120(3－2)cm.6
