2013高考总复习江苏专用（理科）：第二篇函数与基本初等函数《第6讲 函数的奇偶性》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·大纲全国卷改编)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.解析 f＝－f＝－f＝－2××＝－.答案 －2．(2011·苏北四市调研)若函数f(x)＝＋m为奇函数，则实数m＝________.解析 由题意，得f(0)＝0，所以＋m＝0，即m＝－1.答案 －13．(2011·南通无锡调研)设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1，则f(2011)＝________解析 因为f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2011)＝f(3×670＋1)＝f(1)＝1.答案 14．(2011·苏锡常镇扬调研)已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x，则f(－9)＝________.解析 由题意，得f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(－4－x)，所以f(－9)＝f(－4＋9)＝f(5)＝－f(－5)＝－f(1)＝－2.答案 －25．(2011·盐城市检测)设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝，则a的取值范围是________．7\n解析 因为f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＜－1，即＋1＜0，＜0，解得－1＜a＜.答案 6．(2011·扬州市冲刺)函数f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f(－1)＝－1，则满足f(x)≤t2＋2at＋1对所有的x∈[－1,1]及a∈[－1,1]都成立的t的取值范围是________．解析 由题意，f(x)max＝f(1)＝－f(－1)＝1，所以t2＋2at＋1≥1，即t2＋2at≥0对a∈[－1,1]恒成立，t＝0时，显然成立；t≥0时，由t≥－2a恒成立，得t≥2；t＜0时，由t≤－2a恒成立，得t≤－2.综上，得t≤－2或t＝0或t≥2.答案 (－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．(2011·南通无锡调研)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为________．解析 因为f(－x)＝－f(x)，所以由＝＜0，得或因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，所以由f(x)＜f(1)，得0＜x＜1.又f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上为增函数，所以由f(x)＞f(－1)，得－1＜x＜0.综上所述，－1＜x＜0或0＜x＜1.答案 (－1,0)∪(0,1)二、解答题(每小题15分，共45分)8．设f(x)＝ex＋ae－x(a∈R，x∈R)．(1)讨论函数g(x)＝xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是个偶函数，解不等式f(x2－2)≤f(x)．解 (1)a＝1时，f(x)＝ex＋e－x是偶函数，所以g(x)＝xf(x)是奇函数；a＝－1时，f(x)＝ex－e－x是奇函数，所以g(x)＝xf(x)是偶函数．a≠±1，由f(x)既不是奇函数又不是偶函数，得g(x)＝xf(x)是非奇非偶函数．(2)当g(x)是偶函数时，a＝－1，f(x)＝ex－e－x是R上的单调增函数，于是由f(x2－2)≤f(x)得x2－2≤x，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.9．(2011·山东省莱芜测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x7\n－3·2－x.(1)当x＜0时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)＝，求x的值．解 (1)当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝2－x－3·2x，又f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝2－x－3·2x，即当x＜0时f(x)＝－2－x＋3·2x.(2)当x＜0时，－2－x＋3·2x＝，即6·22x－2x－2＝0.解得2x＝或2x＝－(舍)，所以x＝1－log23.当x＞0时，2x－3·2－x＝，即2·22x－2x－6＝0.解得2x＝2或2x＝－(舍去)．所以x＝1.综上可得x＝1－log23或x＝1.10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x∈(－∞，0)∪(0.＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，若x＝±1，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a＝0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．(2)设2≤x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)＜0恒成立．7\n∵x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．又∵x1＋x2＞4，∴x1x2(x1＋x2)＞16.∴a的取值范围是(－∞，16]．B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数，则k的值为________．解析 由f(－x)＝f(x)，得log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，即2kx＝log4－log4(4x＋1)＝log4＝－x，所以k＝－.答案 －2．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)＜f(lgx)的解集是________．解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，于是由f(－1)＜f(lgx)，得f(1)＜f(|lgx|)，又由f(x)在(－∞，0)内单调递减得f(x)在(0，＋∞)内单调递增，所以有|lgx|＞1，即lgx＜－1或lgx＞1，解得x＜或x＞10.答案 ∪(10，＋∞)3．(2011·南通无锡调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜－的解集是________．解析 若x＞0，则由f(x)＝1－2－x＜－，得x＞，这与x＞0时，x＜1矛盾．若x＜0，则由f(x)为奇函数，得f(x)＝－f(－x)＝－1＋2x＜－，得2x＜＝2－1，解得x＜－1.答案 (－∞，－1)4．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；7\n②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．解析 ∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确．又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，∴y＝f(x)的图象关于x＝1对称，②正确．又∵f(x)为偶函数且在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x＝1，∴f(x)在[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．答案 ①②⑤5．函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝＋f(x)的奇偶性为________．解析 因为f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝，所以F(－x)＝＋f(－x)＝－f(x)＝－f(x)＝－f(x)＝2f(x)＋－f(x)＝＋f(x)＝F(x)．所以F(x)是偶函数．答案 偶函数6．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的单调函数，其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析 ①由f＝－f(x)，得f(x＋3)7\n＝－f＝f(x)，所以①正确．②由y＝f为奇函数，得f(x)图象关于点对称，所以②不正确．③由f＝－f，得f(x)＝－f，又f＝－f(x)，所以f＝f，所以f(x)是偶函数，③正确．由③正确知④不正确．答案 ①③二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·盐城市检测)已知函数f(x)＝(a≠0)是奇函数，并且函数f(x)的图象经过点(1,3)．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的值域．解 (1)因为函数f(x)＝是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以＝－.因为a≠0，所以－x＋b＝－x－b.所以b＝0.又函数f(x)的图象经过点(1,3)，所以f(1)＝3.所以＝3.因为b＝0，故a＝2.(2)由(1)知f(x)＝＝2x＋(x≠0)．当x＞0时，2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取等号．当x＜0时，(－2x)＋≥2＝2.7\n所以2x＋≤－2.当且仅当－2x＝，即x＝－时取等号．综上可知，函数f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．8．(2011·泰兴重点中学调研)设f(x)＝loga为奇函数，g(x)＝f(x)＋loga[(x－1)(ax＋1)](a＞1，且m≠1)．(1)求m的值；(2)求g(x)的定义域；(3)若g(x)在上恒正，求a的取值范围．解 (1)f(x)是奇函数，f(x)＝－f(－x)，loga＝－loga＝loga，∴＝，x2－1＝(mx)2－1，∴(m2－1)x2＝0，又m≠1，∴m＝－1.(2)由(1)f(x)＝loga，g(x)＝loga＋loga[(x－1)·(ax＋1)]，x必须满足又a＞1，∴x＜－1或x＞1，∴g(x)的定义域为{x|x＜－1或x＞1}．(3)a＞1，g(x)在上恒正，即(x＋1)(ax＋1)＞1⇒ax＋1＜⇒ax＜－⇒a＞－，∵x∈，∴－≤－＝2，∴a＞2，∴a的取值范围是(2，＋∞)．7
