2013高考总复习江苏专用（理科）：第七篇不等式《第40讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·合肥二模)不等式组所表示的平面区域的面积等于________．解析 画图可知，不等式组所表示的平面区域是一个三角形，且三个顶点的坐标分别是，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积S＝××1＝.答案 2．(2011·全国卷改编)若变量x、y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为________．解析 作出可行域(如图)，当目标函数过点A(1,1)时取最小值，故zmin＝2×1＋3×1＝5，答案 53．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为________元．解析 设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．由线性规划知识可知，当时，zmin＝2200元．答案 22004．不等式组所表示的平面区域的整点的个数是________．答案 65．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________.解析 由题意可得，解得m＝－3.答案 －36\n6．(2011·扬州调研)已知实数x，y满足则z＝x·y的最小值为________．解析 可行域如图所示，当直线2x＋y＝t经过点B(1,2)时，tmax＝4，又z＝2x＋y，所以zmin＝4＝.答案 7．(2011·盐城调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为35，则a＋b的最小值为________．解析 可行域如图所示，当直线abx＋y＝z(a＞0，b＞0)过点B(2,3)时，z取最大值2ab＋3，于是有2ab＋3＝35，ab＝16，所以a＋b≥2＝2＝8，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以(a＋b)min＝8.答案 8二、解答题(每小题15分，共45分)8．用不等式组表示图中阴影部分表示的区域．解 先求出四边形各边所在的直线方程如下AB：2x－11y＋17＝0，BC：2x－y－3＝0，CD：2x－11y＋67＝0，DA：2x－y＋7＝0.∴所求不等式组为9．画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求出所有正整数解．6\n解 先将所给不等式转化为而求正整数解则意味着x，y满足限制条件，即求的整数解．所给不等式等价于依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)．对于2x－3＜y≤3的正整数解，再画出表示的平面区域．如图(2)所示：可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组．10．已知x，y满足条件且M(2,1)，P(x，y)，求：(1)的取值范围；(2)x2＋y2的最大值和最小值；(3)·O的最大值；(4)||cos∠MOP的最小值．解 画出不等式组表示的平面区域如图所示．其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)．(1)表示区域内点P(x，y)与点D(－4，－7)连线的斜率，所以kDB≤≤kCD，即≤≤9.(2)x2＋y2表示区域内点P(x，y)到原点距离的平方，所以(x2＋y2)max＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x2＋y2)min＝0.(3)设·＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝t，则当直线2x＋y＝t经过点A(4,1)时，zmax＝2×4＋1＝9.(4)设||cos∠MOP＝＝＝＝z，则当直线2x＋y＝z6\n经过点B(－1，－6)时，zmin＝[2×(－1)－6]＝－.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是________．解析 如图所示，画出可行域，直线y＝kx－3k过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－.答案 2．(2011·佛山调研)若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝________. A．－2B．－1C．1D．2解析 作出满足题设条件的可行域如图所示，设x＋y＝9，显然只有在x＋y＝9与直线2x－y－3＝0的交点处满足要求．联立方程组解得即点A(4,5)在直线x－my＋1＝0上，∴4－5m＋1＝0，得m＝1.答案 13．(2011·南京模拟)已知集合P＝，Q＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－b)2≤r2，r＞0}．若“点M∈P”是“点M∈Q”的必要条件，则当r最大时，ab的值是________．解析 集合P所在区间如图阴影部分所示，由题意，Q⊆P，且AB⊥BC，所以当r6\n最大时，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2是四边形OABC的内切圆，从而a＝b＝r，于是由＝a且＝a，解得a＝b＝，所以ab＝.答案 4．已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.解析 由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部．当m＞0时，z＝x＋my与x＋y－4＝0重合时满足题意，得m＝1，当m＜0时，z＝x＋my在点A处取得最小值，不合题意，当m＝0时不合题意，综上m＝1.答案 15．(2011·日照调研)若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．解析 平面区域A如图所示，所求面积为S＝×2×2－××＝2－＝.答案 6．(2011·菏泽模拟)已知平行四边形ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在平行四边形ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是________．解析 设D(m，n)，则由＝，得即D(0，－4)，当直线2x－5y＝z经过点B时，zmin＝2×3－5×4＝－14，当直线2x－5y＝z经过点D时，zmax＝2×0－5×(－4)＝20.6\n答案 [－14,20]二、解答题(每小题15分，共30分)7．若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积．解 作出线性约束条件对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax＋by≤1恒成立，只要ax＋by的最大值不超过1即可．令z＝ax＋by，则y＝－x＋.因为a≥0，b≥0，则－1＜－≤0时，b≤1，或－≤－1时，a≤1.此时对应的可行域如图，所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为1.8．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足即让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．6
