第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·汕头一模)在平面直角坐标系中，满足不等式x2－y2≤0的点(x，y)的集合所对应的阴影部分是( )．解析 不等式x2－y2≤0⇔(x－y)(x＋y)≤0⇔或作图可知选D.答案 D2．(2022·淮安质检)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )． A．(－∞，5)B．[7，＋∞)C．[5,7)D．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析 画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a<7.答案 C3．(2022·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)则z＝O·O的最大值为( )．A．4B．36\nC．4D．3解析 如图作出区域D，目标函数z＝x＋y过点B(，2)时取最大值，故z的最大值为×＋2＝4，故选C.答案 C4．(2022·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )．A．1吨B．2吨C．3吨D.吨解析 设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品，生产y吨乙产品，x、y满足的条件为所获得的利润z＝x＋3y，作出如图所示的可行域．作直线l0：x＋3y＝0，平移直线l0，显然，当直线经过点A时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·安徽卷)若x，y满足约束条件则x－y的取值范围是________．解析 记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B6\n(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3.答案 [－3,0]6．(2022·大纲全国卷)若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．解析 画出可行域，如图所示，将直线y＝3x－z移至点A(0,1)处直线在y轴上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1.答案 －1三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·合肥模拟)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x、y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．8．(13分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数z＝x＋0.5y.6\n上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2、随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．分层B级 创新能力提升1．(2022·临沂一模)实数x，y满足若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为( )． A．4B．3C．2D.解析 作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.答案 C2．(2022·苏州一模)如果点P在平面区域内，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为( )．A.－1B.－1C．2－1D.－1解析 根据题设条件，画出可行域，如图所示．由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q6\n的距离最小为可行域上的点到圆心(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ|min＝－1＝－1，故选A.答案 A3．(2022·济南月考)若线性目标函数z＝x＋y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________．解析 作出可行域如图，由图可知直线y＝－x与y＝－x＋3平行，若最大值只有一个，则直线y＝a必须在直线y＝2x与y＝－x＋3的交点A(1,2)的下方，故a≤2.答案 (－∞，2]4．(2022·咸阳一模)设实数x、y满足则的最大值是________．解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设＝t，则y＝tx，求的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．显然y＝tx过A点时，t最大．由解得A.代入y＝tx，得t＝.所以的最大值为.答案 5．(2022·黄山模拟)若x，y满足约束条件(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x－y＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.∴z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4<a<2.6\n故所求a的取值范围是(－4,2)．6．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？项目`用量产品工人(名)资金(万元)甲420乙85解 (1)依题意得解得故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x、y应满足的约束条件为且z＝0.65x＋0.4y.作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l0：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，此时z取得最大值．解方程组得x＝2，y＝3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x＝2，y＝3时，z取最大值为2.5.6
