课时知能训练一、选择题1．(2012·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为2，此抛物线方程为( )A．y2＝2xB．y2＝6xC．y2＝－2x或y2＝6xD．以上都不对3．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )A．k＞－B．k＜C．k＞或k＜－D．－＜k＜4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )A．2B.C.D.5．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于( )A.B．2C.D．3二、填空题6．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．7．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．8．(2012·惠州调研)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．三、解答题6\n图8－9－29．如图8－9－2，过椭圆＋＝1内一点M(1,1)的弦AB.(1)若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；(2)求过点M的弦的中点的轨迹方程．10．(2012·佛山模拟)已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,2)，离心率为.(1)求椭圆P的方程；(2)是否存在过点E(0，－4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足·＝.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．11．(2012·青岛模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x＝(a、c分别为椭圆的长半轴和半焦距的长)上的点P(2，)，满足线段PF1的中垂线过点F2.过原点O且斜率均存在的直线l1、l2互相垂直，且截椭圆所得的弦长分别为d1、d2.(1)求椭圆C的方程；(2)求d＋d的最小值及取得最小值时直线l1、l2的方程．答案及解析1．【解析】 设过点(0,1)斜率为k的直线方程为y＝kx＋1.由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，(*)当k＝0时，方程(*)只有一根，当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝－16k＋16，由Δ＝0，即－16k＋16＝0得k＝1，∴k＝0，或k＝1时，直线与抛物线只有一个公共点，又直线x＝0和抛物线只有一个公共点，故选C.【答案】 C2．【解析】 由得x2＋(2－2p)x＋1＝0.x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.∴2＝·＝·.解得p＝－1或p＝3，6\n∴抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.【答案】 C3．【解析】 由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜.【答案】 D4．【解析】 设椭圆与直线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则有x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝，当t＝0时，|AB|max＝.【答案】 C5．【解析】 kAB＝＝－1，且y2－y1＝2(x－x)，得x2＋x1＝－，又(，)在直线y＝x＋m上，∴＝＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m.2(x＋x)＝x2＋x1＋2m，∴2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m,2m＝3，m＝.【答案】 A6．【解析】 设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．则＋＝1，且＋＝1，两式相减得＝－，又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.【答案】 x＋2y－8＝07．【解析】 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．∴m≥1，且m≠5.6\n【答案】 m≥1，且m≠58．【解析】 设直线l′平行于直线x＋y＋5＝0，且与抛物线相切，设l′：y＝－x＋m，由得y2＋2y－2m＝0，由Δ＝4＋8m＝0得m＝－.则两直线距离d＝＝，即|PQ|min＝.【答案】 9．【解】 (1)设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为y－1＝k(x－1)，由消去y得(1＋4k2)x＋8k(1－k)x＋4(1－k)2－16＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，又M(1,1)是AB中点，则＝1.综上，得＝2，解得k＝－.∴直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋4y－5＝0.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为P(x，y)，则由①－②得(－)·＝，而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.∴(－)·＝.整理，得轨迹方程为x2＋4y2－x－4y＝0.10．【解】 (1)设椭圆P的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得b＝2，e＝＝，∴a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，c2＝4，c＝2，a＝4，∴椭圆P的方程为＋＝1.6\n(2)假设存在满足题意的直线l.易知当直线l的斜率不存在时，·＜0不满足题意．故可设直线l的方程为y＝kx－4，R(x1，y1)，T(x2，y2)．∵·＝，∴x1x2＋y1y2＝.由，得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0，由Δ＞0得，(－32k)2－4(3＋4k2)×16＞0，解得k2＞.①∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16，故x1x2＋y1y2＝＋－＋16＝，解得k2＝1，②由①②解得k＝±1，∴直线l的方程为y＝±x－4.故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意．11．【解】 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意有|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以解得所以，b＝1，所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)设kl1＝k，则kl2＝－，直线l1：y＝kx与椭圆＋y2＝1，联立得：x2＝，y2＝，所以，d＝4(x2＋y2)＝＝4＋，同理可得：d＝8－，6\n所以，d＋d＝12＋＝12－＝12－≥12－＝，当且仅当2k2＝，即k＝±1时等号成立，∴d＋d的最小值为，此时直线l1与l2的方程分别为y＝±x.6
