课时知能训练一、选择题1．已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是( )A．a∥α，b⊂αB．a∥α，b∥αC．a∥c，b∥cD．a∥α，α∩β＝b2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m3．(2012·佛山质检)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．04．下列命题中，是假命题的是( )A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b、c、d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件图7－4－105．如图7－4－10，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱6\nD．Ω是棱台二、填空题6．过三棱柱ABC—A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有________条．7．(2012·广州模拟)如图7－4－11，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．图7－4－11图7－4－128．如图7－4－12，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为________．(1)AC⊥BD；(2)AC∥截面PQMN；(3)AC＝BD；(4)异面直线PM与BD所成的角为45°.三、解答题图7－4－139．如图7－4－13，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，试问：平面AMN与平面EFDB有怎样的位置关系？并证明你的结论．10．如图7－4－14所示，正三棱柱ABC—A1B1C1，AA1＝3，AB＝2，若N为棱AB的中点．6\n图7－4－14(1)求证：AC1∥平面NB1C；(2)求四棱锥C1－ANB1A1的体积．图7－4－1511．(2011·北京高考)如图7－4－15，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP.(2)求证：四边形DEFG为矩形．(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．答案及解析1．【解析】 由平行公理知C正确，A中a与b可能异面．B中a，b可能相交或异面，D中a，b可能异面．【答案】 C2．【解析】 A中，l⊂α，得不到l⊥α，A为假命题．由线面垂直的性质，知m⊥α，B为真命题．C中，l∥m或l与m异面，C是假命题．D中l与m相交、平行或异面，为假命题．【答案】 B3．【解析】 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m.②中l与m也可能异面．③中⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，正确．【答案】 C4．【解析】 6\n若两个平面平行，则一条直线与这两个平面所成的角相等，但是一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行或相交，故D错误．【答案】 D5．【解析】 ∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1，∴EH∥平面BB1C1C.由线面平行性质，EH∥FG.同理EF∥GH.且B1C1⊥面EB1F.由直棱柱定义知几何体B1EF—C1HG为直三棱柱，∴四边形EFGH为矩形，Ω为五棱柱．【答案】 D6．【解析】 如图，E、F、G、H分别是A1C1、B1C1、BC、AC的中点，则与平面ABB1A1平行的直线有EF，GH，FG，EH，EG，FH共6条．【答案】 67．【解析】 设BC1∩B1C＝O，连结OD，∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.【答案】 18．【解析】 ∵PQMN是正方形，∴MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥平面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故(1)(2)正确．又∵BD∥MQ，∴异面直线PM与BD所成的角即为∠PMQ＝45°，故(4)正确．【答案】 (3)9．【解】 平面AMN∥平面EFDB.证明如下：∵MN∥EF，EF⊂平面EFDB，MN⊄平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.又AM∥DF，同理可证AM∥平面EFDB.∵MN⊂平面AMN，AM⊂平面AMN，且MN∩AM＝M，∴平面AMN∥平面EFDB.6\n10．【解】 (1)证明 法一 如图所示连结BC1和CB1交于O点，连结ON.∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴O为BC1的中点．又N为棱AB中点，∴在△ABC1中，NO∥AC1，又NO⊂平面NB1C，AC1⊄平面NB1C，∴AC1∥平面NB1C.法二 如图所示取A1B1中点M，连结AM，C1M，∵N是AB中点，∴AN綊B1M，∴四边形ANB1M是平行四边形，∴AM∥B1N，∴AM∥平面CNB1，同理可证C1M∥平面CNB1.∵AM∩C1M＝M，∴平面AMC1∥平面CNB1.∴AC1∥平面CNB1.(2)∵ANB1A1是直角梯形，AN＝1，A1B1＝2，AA1＝3，∴四边形ANB1A1面积为，∵CN⊥平面ANB1A1，∴CN的长度等于四棱锥C1－ANB1A1的高，∴四棱锥C1－ANB1A1的体积为.11．【证明】 (1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为6\nAP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连结DF，EG，设Q为EG的中点．如图所示．由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.分别取PC，AB的中点M，N，连结ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG，所以Q为满足条件的点．6
