第八章第9课时圆锥曲线的综合问题课时闯关（含解析）一、选择题1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )A．m>4 B．m>1且m≠3C．m>3D．m>0且m≠3解析：选B.由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，求得m<0或m>1.又由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上，得m的取值范围是m>1且m≠3.故选B.2．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·等于( )A.B．－C．3D．－3解析：选B.法一：(特殊值法)抛物线的焦点为F(，0)，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)，∴·＝(，1)·(，－1)＝－1＝－.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1.∴·＝－1＝－.3．椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A．3x＋2y－4＝0B．4x＋6y－7＝0C．3x－2y－2＝0D．4x－6y－1＝0解析：选B.依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点的连线的斜率为＝，所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.4．(2010·高考课标全国卷)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B.∵kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3.4\n由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则－＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2×(－12)．∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.∴双曲线E的方程为－＝1.5．(2012·成都调研)抛物线y＝x2到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是( )A．(，)B．(1,1)C．(，)D．(2,4)解析：选B.设P(x，y)为抛物线y＝x2上任一点，则P到直线的距离d＝＝＝，∴x＝1时，d取最小值，此时P(1,1)．二、填空题6．若圆x2＋y2－ax－2＝0与抛物线y2＝4x的准线相切，则a的值是________．解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，圆的方程变形为2＋y2＝＋2，由题意得＝，即＋a＋1＝＋2，∴a＝1.答案：17．若m＞0，点P(m，)在双曲线－＝1上，则点P到该双曲线左焦点的距离为________．解析：点P(m，)在双曲线－＝1上，且m＞0，代入双曲线方程解得m＝3，双曲线左焦点F1(－3,0)，故|PF1|＝＝.答案：8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.4\n解析：如图，由AB的斜率为，知α＝60°，又＝，∴M为AB的中点．过点B作BP垂直准线l于点P.则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.∴|BP|＝|AB|＝|BM|.∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.答案：2三、解答题9．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)．直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，求此双曲线方程．解：设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝，则a2＋b2＝7.①由MN中点横坐标为－知，中点坐标为.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，得2b2＝5a2.②由①，②求得a2＝2，b2＝5，故所求方程为－＝1.10．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两点，m＝，n＝，且m·n＝0，椭圆离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．(1)求椭圆方程；(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求k的值．解：(1)由，解得a＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为＋x2＝1.(2)设AB方程为y＝kx＋.由⇒(k2＋4)x2＋2kx－1＝0，x1＋x2＝，x1·x2＝.由已知：0＝m·n＝＋＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝·＋k·＋.解得k＝±.11．中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点为B(0，－1)，右焦点到直线m：x－y＋2＝0的距离为3.4\n(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率k≠0的直线l与C交于M，N两点，使|BM|＝|BN|？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，b2＝1，设右焦点为F(c,0)，则d＝＝3，即|c＋2|＝3.解得c＝，又a2＝c2＋b2＝3，∴a2＝3.∴所求椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)假设存在k满足条件，设l与C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．则两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.设MN的中点为P(x0，y0)，∴k·kOP＝－，即k＝－.又∵BP⊥l，∴＝－.解得即P.∵要使|BM|＝|BN|，须＋y<1.∴＋<1，∴k2<1且k≠0.∴存在－1<k<0或0<k<1满足题设．4
