第八章第7课时双曲线课时闯关（含解析）一、选择题1．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±4xD．y＝±x解析：选A.由题意＝，所以a2＝4b2.故双曲线的方程可化为－＝1，故其渐近线方程为y＝±x.2．(2012·保定质检)已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支D．一条射线解析：选C.∵|PM|－|PN|＝3<4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又∵|PM|>|PN|，∴点P的轨迹为双曲线的右支．3．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是( )A.B.C.D．2解析：选A.由已知可知c＝，a＝1，∴b＝1，∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．将y＝代入可求P的横坐标为x＝－.∴点P到原点的距离为＝.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1是左焦点，O是坐标原点，若双曲线上存在点P，使|PO|＝|PF1|，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A．(1,2]B．(1，＋∞)C．(1,3)D．[2，＋∞)解析：选D.由|PO|＝|PF1|得点P的横坐标x1＝－，因为P在双曲线的左支上，所以－≤－a，即e＝≥2.故选D.5．(2011·高考课标全国卷)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )A.B.C．2D．33\n解析：选B.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，∴y＝±，故|AB|＝，依题意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.二、填空题6．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且以y＝±x为渐近线的双曲线方程为________．解析：双曲线焦点在x轴上，且半焦距c＝＝5.又＝，a2＋b2＝c2，∴a＝3，b＝4，所求双曲线方程为－＝1.答案：－＝17．(2012·武汉调研)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程为________．解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴a2＋b2＝4－1＝3，又－＝1，解得a2＝2，b2＝1，∴双曲线的方程为－y2＝1.答案：－y2＝18．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝________.解析：因为F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，所以F1(－，0)，F2(，0)．由题意知|＋|＝2||＝|F1F2|＝2.答案：2三、解答题9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解：椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴＝3，得a＝3，b＝4，3\n∴双曲线G的方程为－＝1.10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解：(1)由题意，得解得a＝1，c＝，∴b2＝c2－a2＝2，∴所求双曲线C的方程为x2－＝1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)，∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且点(4，－)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵点(4，－)在双曲线上，∴λ＝42－(－)2＝6.∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3.由双曲线x2－y2＝6知焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝9－(2)2＋m2＝0，即⊥，故点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝×|F1F2|×|m|＝2×＝6.3
