重庆市第八中学校2021届高考数学上学期适应性月考卷（三）一、选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{x|y＝lg（1-x）}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝A．（-∞，1）B．（0，1）C．（0，＋∞）D．（1，＋∞）2．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a＝A．-3B．C．3D．3．若圆心在（3，2）的圆与y轴相切，则该圆与直线3x＋4y-2＝0的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．不确定4．已知向量，满足：，，则A．1B．C．2D．5．函数的图象大致为A．B．C．D．6．底面周长为8的某圆柱的三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱的体积为A．B．C．D．7．已知抛物线C：y2＝4x的准线l与x轴的交点为D，过F（1，0）的直线与C的一个交点为A，与准线l相交于点B，若，则三角形BDF的面积为A．B．C．D．13\n8．已知α，β满足，且，则A．B．C．D．1二、选择题（本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．）9．函数f（x）=Asin（2x+φ）在上是单调函数的一个充分条件是A．A＞0，B．A＞0，C．A＜0，D．A＜0，10．设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则A．ab的最大值为B．a2＋4b2的最小值为C．的最小值为8D．2a＋4b的最小值为11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，过F的直线l与C的两条渐近线的交点分别为A，B，且与其中一条渐近线垂直，△OAB的面积为（O为坐标原点），则A．直线l与C的左、右两支各有一个交点B．C的焦距为C．点O到直线l的距离为D．若P为C右支上一点，则|PF|的最小值为12．设f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，若对任意x∈R，都有2f（x）＋xf'（x）＞0，则下列说法一定正确的是A．4f（2）＞f（1）B．f（x）为增函数C．f（x）没有零点D．f（x）没有极值点三、填空题13．展开式中的常数项为________．14．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝6，若2a5，a3，3a4成等差数列，则a2＝________．15．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为1个单位）的顶点A处，然后通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定棋子的走向，若硬币正面朝上，则沿正方形的边按逆时针方向行走1个单位，若硬币反面朝上，则沿正方形的边按顺时针方向行走1个单位，一直循环下去．则某人抛掷4次硬币后棋子恰好又回到点A处的概率为________．16．如图，过原点O的直线AB交椭圆C：（a＞b＞0）于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于一点M，若13\n，则椭圆C的离心率是________．四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①2asinC=3csin2A；②3bcosA-acosC=ccosA；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并解答．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，，________，求b＋c．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，．（1）求{an}的通项公式；（2）设，求m，k（m，k∈N*）的值，使得bm＋1＋bm＋2＋...＋bm＋k＝240．19．某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x（单位：万元）对月销售量y（单位：千件）的影响，收集了2020年3月至2020年8月共6个月的月宣传费x和月销售量y的数据如表：月份345678宣传费x5678910月销售量y0.43.55.27.08.610.7现分别用模型①和模型②对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如表：（模型①和模型②的残差分别为和，残差＝实际值-预报值）x5678910y0.43.55.37.08.610.7-0.60.540.280.12-0.24-0.1-0.631.712.101.63-0.7-5.42（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来拟合月宣传费x与月销售量y的关系较为合适，简要说明理由；13\n（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据（x，y）剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测月宣传费为12万元时，该公司的月销售量．（剔除数据前的参考数据：，，，，z＝lny．，，ln10.7≈2.37，e4.034≈56.49．）参考公式：，20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB//CD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，CD＝2，点E在棱PB上，且PE＝2EB，AC与BD相交于O，M为OC的中点，平面PDM∩平面AEC＝MN．（1）求证：PD//MN；（2）求二面角E-AN-B的正弦值．21．已知f（x）＝ex-ax-1（a≤1）．（1）设x＝0是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（2）若x≥0时，|f（x）|≥x，求a的取值范围．22．动点P在圆x2＋y2＝2上，过点P作y轴的垂线，垂足为H，点E满足，设点E的轨迹为曲线C1．（1）求C1的方程；（2）已知抛物线C2：x2＝4y的焦点F，设过点F的动直线l与曲线C2交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C2的两条切线l1，l2，设l1，l2相交于点G，直线FG交曲线C1于M，N两点.①求证：AB⊥MN；②求的最小值．13\n重庆市第八中学2021届高考适应性月考卷（三）数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BABBDCAD【解析】1．由题，，，故选B．2．，由于为实数，则，所以，故选A．3．该圆为，圆心到直线的距离，故相切，故选B．4．因为，所以，则，又，则，所以，所以，故选B.5．由为偶函数知，选项A错误；由及知，选项B，C错误，故选D．6．圆柱A，B位置如图1所示，故高，，故选C．图17．直线l过该抛物线的焦点，过A作l的垂线，垂足为E，则．由相似知，故，，，，故选A．8．由，得，所以，故选D．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）13\n题号9101112答案BDABDABAC【解析】9．由三角函数单调性可知，故选BD．10．，得，当且，时取等号，故A正确；，当且仅当，时取等号，故B正确；，当且仅当时取等号，故C错误；，当且仅当，时取等号，故D正确，故选ABD．11．设C的焦距为，由，得，于是渐近线方程为，故A错；设l与垂直，且垂足为A，则l的斜率为，于是l与双曲线左、右两支各有一个交点，故A正确；设与y轴的夹角为，由的斜率为2，可知：，则．又易知：，，则，从而，则的面积为，解得，故，所以，故C的焦距为，故B正确，C错误；当P在双曲线右支上时，的最小值为，故D错误，故选AB．12．令，则，由题知，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以选项A正确；又，所以时，，即；又由知，所以对，有，所以选项C正确；取，则满足题设条件，所以选项BD错误，故选AC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号1314151613\n答案603【解析】13．由题意，常数项是．14．设的公比为q，又，则，得或（舍），故．15．棋子恰好又回到点A处可能的情况为：四正，四反，两正两反，故共有：，故概率．16．设，，则，，，由，则①，由B，M，Q三点共线，则，即②．又因为，，即，③，将①②代入③得．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：选择条件①．由正弦定理可得，所以，…………………………………………………………（3分）．…………………………………………………………（5分）由于的面积为，所以，则．…………………………………………………………（7分）又，由余弦定理，13\n所以．…………………………………………………………（10分）选择条件②：，整理得，，所以，…………………………………………………………（3分）．……………………………………………………………（5分）由于的面积为，所以，则．……………………………………………………（7分）又，由余弦定理，所以．……………………………………………………（10分）选择条件③：．化简可得，所以，…………………………………………………………（3分）．…………………………………………………………（5分）由于的面积为，所以，则．…………………………………………………………（7分）又，由余弦定理，所以．…………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）由，可知：，可得，从而，由于，13\n可得．………………………………………………（3分）又，解得(舍)或，……………………………………………………（5分）所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以的通项公式为．…………………………………………（6分）（2）由题知：，则，………………………………………………（9分）则，经检验，仅有，成立，故，．…………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）应选择模型①，………………………………………………（2分）因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．………………………………………………（4分）（2）由（1）知，需剔除第一组数据，…………………………………………………（5分）则剔除后的，，……………………………………………（7分），，，．∴，．得①的回归方程为．………………………………………（11分）则当时，．故月宣传费为12万元时，该公司的月销售量为14.12千件．13\n……………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：如图2，因，则，即，又，则，连接OE，则．图2又，，从而．……………………………………………………（3分）又平面，且，故．………………………………………………………………（5分）（2）解：设CD的中点为F，连接AF，则，即四边形ABCF是正方形，如图，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则点，，，．设，则，，由，得解得，有，．由（1）知，故而，且M为OC的中点，所以N为EC的中点，有．……………………………………………………（7分）设是平面AEC的一个法向量，则令，得．设是平面ABN的一个法向量，13\n则令，得．………………………………………………………（10分）设二面角的平面角为，则，所以，故而二面角的正弦值为．………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1），由题设知：，则，…………………………………………………（2分）从而，当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………………（4分）（2）由（1）知：当时，，即，因为，，，从而，时，，…………………………………………（6分）则此时，令，则．①当时，由，则，从而时，，于是在上单调递增，所以，符合题意；…………………………………………（9分）②当时，令，得，从而当时，；时，，所以在上单调递减，故当时，，不符合题意.13\n综上所述：a的取值范围是．…………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）设，，则，由，得，则，，代入，得的方程为．………………………………………………（3分）（2）（ⅰ）证明：由题意可设AB的方程为，代入，得，设，，则…………………………………（4分）由有，所以，的方程分别为，，故，即，………………………………………（6分）①当时，，则直线FG的方程为，而AB的方程为，所以，即；②当时，，从而．………………………………………………（7分）（ⅱ）①当时，AB的方程为，MN的方程为，不妨设，，，，则；②当时，设MN的方程为，代入，得，设，，则所以13\n．………………………………………………（10分）令，，则，设，则在上单调递增，所以，综合①③可知：当时，的最小值为5．………………………………………………（12分）13
