专题升级训练12 点、直线、平面之间的位置关系(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．在空间中，下列命题正确的是( )．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )．A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m3．(2012·江西重点中学盟校联考，文4)已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确命题的个数是( )．A．1B．2C．3D．44．平面α∥平面β的一个充分条件是( )．A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α5．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，下面命题不正确的是( )．A．有水的部分始终呈棱柱形B．棱A1D1始终与水面所在的平面平行C．当容器倾斜如图(3)所示时，BE·BF为定值D．水面EFGH所在四边形的面积为定值6．如图所示是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是( )．-6-\nA．①②③B．②④C．③④D．②③④二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．在四面体ABCD中，M，N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个平面中与MN平行的是__________．8．如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝4，当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，可以取__________(填正确的序号)．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是__________(填上所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.-6-\n(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.11．(本小题满分15分)(2012·江西六校联考，文18)如图，三棱锥A－BCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°，E，F分别为BC，BD的中点，G为AC上的动点，满足＝λ(0＜λ＜1)．(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；(2)当λ取何值时，AF∥平面EDG，说明理由．12．(本小题满分16分)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．(1)证明直线BC∥EF；(2)求棱锥FOBED的体积．-6-\n参考答案一、选择题1．D2．B 解析：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，故选B．3．B 解析：对于①，由定理“一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直”知，①正确．对于②，注意到直线m，n可能是平面α内的两条平行直线，此时不能断定α∥β，因此②不正确．对于③，满足条件的直线n可能平行于平面α，因此③不正确．对于④，由定理“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行”知，直线n平行于平面α，β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数是2，选B．4．D 解析：A，B，C都可以推出α与β相交．5．D 解析：由题意知有水部分左、右两个面一定平行，且由于BC水平固定，故BC∥水平面，由线面平行的性质可知BC∥FG，BC∥EH．又BC∥A1D1，故A1D1∥水平面．在题图(3)中，有水部分始终是以面BEF和面CHG为底面的三棱柱，且高确定，因此底面积确定，即BE·BF为定值．选D．6．C 解析：把展开图还原成正方体进行判断．二、填空题7．平面ABC和平面ABD 解析：如图，取CD的中点E，则AE过M，且AM＝2ME，BE过N，且BN＝2NE．则AB∥MN，∴MN∥平面ABC和平面ABD．8．①② 解析：如图，连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ．又PQ⊥QD，所以AQ⊥QD．故Rt△ABQ∽Rt△QCD．令BQ＝x，则有＝，整理得x2－2x＋a2＝0．由题意可知方程x2－2x＋a2＝0有正实根，所以0＜a≤1．9．②④ 解析：①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，若OC⊥平面PAC，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC．-6-\n三、解答题10．证明：(1)连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA．又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA．又PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD．又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD．又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．11．解：(1)∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∴AC⊥BC，BD⊥CD．∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCD．又BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，又AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACD，又BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD．(2)连接CF，交DE于点O，连接OG，∵E，F分别为BC，BD的中点，∴O为△BCD的重心，从而CO∶OF＝2∶1，若CG∶GA＝2∶1，则AF∥GO，又AF平面EDG，OG⊂平面EDG，∴AF∥平面EDG，即当λ＝时，AF∥平面EDG．12．(1)证明：设G是线段DA与EB延长线的交点．由于△OAB与△ODE都是正三角形．所以OBDE，OG＝OD＝2．-6-\n同理，设G′是线段DA与FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2．又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合．在△GED和△GFD中，由OBDE和OCDF，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF．(2)解：由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△EOB＝，而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED＝．所以S四边形OBED＝S△EOB＋S△OED＝．过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F－OBED的高，且FQ＝，所以VF－OBED＝FQ·S四边形OBED＝．-6-
