专题升级训练12 点、直线、平面之间的位置关系(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．在空间中，下列命题正确的是( )．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )．A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m3．已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，下列命题错误的是( )．A．若m∥β，则m∥lB．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥lD．若m⊥l，则m⊥β4．平面α∥平面β的一个充分条件是( )．A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α5．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，下面命题不正确的是( )．A．有水的部分始终呈棱柱形B．棱A1D1始终与水面所在的平面平行C．当容器倾斜如图(3)所示时，BE·BF为定值D．水面EFGH所在四边形的面积为定值6．如图所示是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是( )．A．①②③B．②④C．③④D．②③④二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．在四面体ABCD中，M，N分别为△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个平面中与MN平行的是__________．-6-\n8．如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝4，当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，可以取__________(填正确的序号)．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是__________(填上所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.11．(本小题满分15分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，M，N，G分别是棱CC1，AB，BC的中点，且CC1＝AC.(1)求证：CN∥平面AMB1；(2)求证：B1M⊥平面AMG.12．(本小题满分16分)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．-6-\n(1)证明直线BC∥EF；(2)求棱锥FOBED的体积．-6-\n参考答案一、选择题1．D2．B 解析：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，故选B.3．D 解析：对于A，由定理“若一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线平行于交线”可知，A正确．对于B，由定理“若平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线平行于这个平面”可知，B正确．对于C，由定理“一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线”可知，C正确．对于D，若一条直线与一个平面内的一条直线垂直，这条直线未必垂直于这个平面，因此D不正确．综上所述，选D.4．D 解析：A，B，C都可以推出α与β相交．5．D 解析：由题意知有水部分左、右两个面一定平行，且由于BC水平固定，故BC∥水平面，由线面平行的性质可知BC∥FG，BC∥EH.又BC∥A1D1，故A1D1∥水平面．在题图(3)中，有水部分始终是以面BEF和面CHG为底面的三棱柱，且高确定，因此底面积确定，即BE·BF为定值．选D.6．C 解析：把展开图还原成正方体，如图所示，由图知BM与ED是异面直线，CN∥BE.∴①②错误．二、填空题7．平面ABC和平面ABD 解析：如图，取CD的中点E，则AE过M，且AM＝2ME，BE过N，且BN＝2NE.则AB∥MN，∴MN∥平面ABC和平面ABD.8．①② 解析：如图，连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ.又PQ⊥QD，所以AQ⊥QD.故Rt△ABQ∽Rt△QCD.令BQ＝x，则有＝，整理得x2－2x＋a2＝0.由题意可知方程x2－2x＋a2＝0有正实根，所以0＜a≤1.9．②④ 解析：①错误，PA平面MOB；②正确；③错误，若OC⊥平面PAC，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.三、解答题-6-\n10．证明：(1)连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA.又∵PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PA.又PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.又∵PA平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.11．解：(1)取AB1的中点P，连接NP，MP.∵CMAA1，NPAA1，∴CMNP.∴四边形CNPM是平行四边形．∴CN∥MP.∵CN平面AMB1，MP平面AMB1，∴CN∥平面AMB1.(2)∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1B1B⊥平面ABC.∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B.∴B1M⊥AG.∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC.设AC＝2a，则CC1＝2a.在Rt△MCA中，AM＝＝a.同理，B1M＝a.∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∴AB1＝＝＝2a，∴AM2＋B1M2＝AB12，∴B1M⊥AM.又∵AG∩AM＝A，∴B1M⊥平面AMG.12．(1)证明：设G是线段DA与EB延长线的交点．由于△OAB与△ODE都是正三角形．所以OBDE，OG＝OD＝2.-6-\n同理，设G′是线段DA与FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2.又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合．在△GED和△GFD中，由OBDE和OCDF，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.(2)解：由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△EOB＝，而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED＝.所以S四边形OBED＝S△EOB＋S△OED＝.过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ＝，所以VFOBED＝FQ·S四边形OBED＝.-6-
