专题四 数列第1讲 等差数列、等比数列真题试做1．(2012·辽宁高考，文4)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )．A．12B．16C．20D．242．(2012·安徽高考，文5)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )．A．1B．2C．4D．83．(2012·北京高考，文6)已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是( )．A．a1＋a3≥2a2B．a12＋a32≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3＞a1，则a4＞a24．(2012·广东高考，文12)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝__________.5．(2012·广东高考，文19)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．考向分析高考中对等差(等比)数列的考查主、客观题型均有所体现，一般以等差、等比数列的定义或以通项公式、前n项和公式为基础考点，常结合数列递推公式进行命题，主要考查学生综合应用数学知识的能力以及计算能力等，中低档题占多数．考查的热点主要有三个方面：(1)对于等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，属于低档题；(2)对于等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题，属中低档题；(3)对于等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节．热点例析热点一 等差、等比数列的基本运算【例2】(2012·福建莆田质检，20)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，等式an＋an＋2＝2an＋1对任意n∈N*均成立．(1)若a4＝10，求数列{an}的通项公式；(2)若a2＝1＋t，且存在m≥3(m∈N*)，使得am＝Sm成立，求t的最小值．规律方法此类问题应将重点放在通项公式与前n项和公式的直接应用上，注重五个基本量a1，an，Sn，n，d(q)之间的转化，会用方程(组)的思想解决“知三求二”问题．我们重在认真观察已知条件，在选择a1，d(q)两个基本量解决问题的同时，看能否利用等差、等比数列的基本性质转化已知条件，否则可能会导致列出的方程或方程组较为复杂，无形中增大运算量．同时在运算过程中注意消元法及整体代换的应用，这样可减少计算量．特别提醒：(1)解决等差数列{an}前n项和问题常用的有三个公式Sn＝；Sn＝na1＋d；Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，灵活地选用公式，解决问题更便捷；(2)利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论．变式训练1(2012·山东青岛质检，20)已知等差数列{an}的公差大于零，且a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且满足b3＝a3，S3＝13.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；-7-\n(2)若数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前n项和Tn.热点二 等差、等比数列的性质【例2】(1)在正项等比数列{an}中，a2，a48是方程2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为( )．A.B．9C．±9D．35(2)正项等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )．A.或B.C.D.规律方法(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”这一性质与求和公式Sn＝的综合应用．变式训练2(1)(2012·江西玉山期末，3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＝25π，则tana8的值是( )．A.B．－C．±D．－(2)(2012·广西桂林调研，7)已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若公比q＝2，S4＝1，则S8＝( )．A．17B．16C．15D．256热点三 等差、等比数列的判定与证明【例3】(2012·广东韶关第一次调研，文19)已知函数f(x)＝logx，且数列{f(an)}是首项为2，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)设bn＝an·f(an)，求数列{bn}的前n项和Sn的最小值．规律方法证明数列{an}为等差或等比数列有两种基本方法：(1)定义法an＋1－an＝d(d为常数){an}为等差数列；＝q(q为常数){an}为等比数列．(2)等差、等比中项法2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*){an}为等差数列；a＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*){an}为等比数列．我们要根据题目条件灵活选择使用，一般首选定义法．利用定义法一种思路是直奔主题，例如本题方法；另一种思路是根据已知条件变换出要解决的目标，如本题还可这样去做：由an＝2an－1＋2n－1，得an－1＝2an－1－2＋2n，所以an－1＝2(an－1－1)＋2n，上式两边除以2n，从而可得＝＋1，由此证得结论．特别提醒：(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可；(3)a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.变式训练3(2012·广东两校联考，文19)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an-7-\n－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求证：{an－3n}是等比数列并求数列{an}的通项公式．思想渗透1．函数方程思想——等差(比)数列通项与前n项和的计算问题：(1)已知等差(比)数列有关条件求数列的通项公式和前n项和公式，及由通项公式和前n项和公式求首项、公差(比)、项数及项，即主要指所谓的“知三求二”问题；(2)由前n项和求通项；(3)解决与数列通项、前n项和有关的不等式最值问题．2．求解时主要思路方法为：(1)运用等差(比)数列的通项公式及前n项和公式中的5个基本量，建立方程(组)，进行运算时要注意消元的方法及整体代换的运用；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的函数解析式，因此在解决数列问题时，应用函数的思想求解．【典型例题】在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．解：(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25.又an＞0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4.而q∈(0,1)，∴a3＞a5.∴a3＝4，a5＝1，q＝，a1＝16.∴an＝16×n－1＝25－n.(2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列．∴Sn＝，＝，∴当n≤8时，＞0；当n＝9时，＝0；当n＞9时，＜0.∴当n＝8或9时，＋＋…＋最大．1．(2012·河北冀州一模，5)在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}前11项的和S11等于( )．A．24B．48C．66D．1322．在等比数列{an}中，an＞0，若a1·a5＝16，a4＝8，则a5＝( )．A．16B．8C．4D．323．(2012·广东汕头质检，2)已知等比数列{an}的公比q为正数，且2a3＋a4＝a5，则q的值为( )．A.B．2C.D．34．(2012·河北衡水调研，6)等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S20＝S40-7-\n，则下列结论中正确的是( )．A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值C．S30＝0D．S60＝05．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为________．6．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且满足a1000＋a1013＝π，b1b13＝2，则tan＝__________.7．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝pSn＋r(n∈N*)，p，r∈R，Sn为数列{an}的前n项和．(1)当p＝2，r＝0时，求a2，a3，a4的值；(2)是否存在实数p，r，使得数列{an}为等比数列？若存在，求出p，r满足的条件；若不存在，说明理由．8．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．B 解析：由等差数列的性质知，a2＋a10＝a4＋a8＝16，故选B.2．A 解析：由题意可得，a3·a11＝a27＝16，∴a7＝4.∴a5＝＝＝1.3．B 解析：A中当a1，a3为负数，a2为正数时，a1＋a3≥2a2不成立；B中根据等比数列的性质及均值不等式得，a12＋a32≥2＝2a22；C中取a1＝a3＝1，a2＝－1，显然a1≠a2；D中取a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，可知a4＞a2不成立．综上可知，仅有B正确．4. 解析：由等比数列的性质得a2·a4＝a1·a5＝a＝，∴a1·a·a5＝.5．解：(1)当n＝1时，T1＝2S1－1.因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，求得a1＝1.(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1.①所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1.②②－①，得an＋1＝2an＋2，所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)，求得a1＋2＝3，a2＋2＝6，则＝2.所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．所以an＋2＝3·2n－1.所以an＝3·2n－1－2，n∈N*.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】解：(1)∵an＋an＋2＝2an＋1对n∈N*都成立，-7-\n∴数列{an}为等差数列．设数列{an}公差为d，∵a1＝1，a4＝10，∴a4＝a1＋3d＝10.∴d＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.∴数列{an}的通项公式为an＝3n－2.(2)∵a2＝1＋t，∴公差d＝a2－a1＝t.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)t.Sn＝na1＋d＝n＋t.由am＝Sm得1＋(m－1)t＝m＋t，∴(m－1)t＝(m－1)＋t.∴t＝1＋t.∴t＝.∵m≥3，∴－2≤t＜0.∴t的最小值为－2.【变式训练1】解：(1)设{an}的公差为d(d＞0)，{bn}的公比为q(q＞0)，则由x2－18x＋65＝0，解得x＝5或x＝13.因为d＞0，所以a2＜a4，则a2＝5，a4＝13.则解得a1＝1，d＝4，所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3.因为解得b1＝1，q＝3.所以bn＝3n－1.(2)当n≤5时，Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝n＋×4＝2n2－n；当n＞5时，Tn＝T5＋(b6＋b7＋b8＋…＋bn)＝(2×52－5)＋＝，所以Tn＝【例2】(1)B 解析：依题意知a2·a48＝3.又a1·a49＝a2·a48＝a＝3，a25＞0，∴a1·a2·a25·a48·a49＝a255＝9.(2)C 解析：因为a2，a3，a1成等差数列，所以a3＝a1＋a2.∴q2＝1＋q.又q＞0，解得q＝，故＝＝＝.【变式训练2】(1)B 解析：∵S15＝15a8＝25π，∴a8＝.∴tana8＝tan＝tan＝－tan＝－.(2)A 解析：S8＝S4＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝S4＋q4S4＝17.【例3】解：(1)证明：由题意f(an)＝2＋(n－1)×2＝2n，即logan＝2n，-7-\n∴an＝2n＝2n.∴＝＝2.∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，bn＝an·f(an)＝n·2n＋1.∴Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，①2Sn＝1·23＋2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2，②②－①，得Sn＝－22－23－24－…－2n＋1＋n·2n＋2＝－＋n·2n＋2，∴Sn＝(n－1)2n＋2＋4.因为{Sn}是递增数列，所以Sn的最小值等于S1＝4.【变式训练3】解：(1)由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2)，∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15.故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝5×3n，∴(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)．故数列{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列，∴an－3n＝2(－2)n－1，即an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n.创新模拟·预测演练1．D 解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a9＝a12＋6得a1＋8d＝(a1＋11d)＋6，整理得a1＋5d＝12，即a6＝12，∴S11＝11a6＝132.2．A 解析：∵a1·a5＝a2·a4＝16，∴a2＝2.∴q2＝＝4.又an＞0，∴q＝2.∴a5＝a2q3＝2×23＝16.3．B 解析：由2a3＋a4＝a5得2a3＋a3q＝a3q2，∴q2－q－2＝0，解得q＝2，q＝－1(舍去)．4．D 解析：由S20＝S40得a21＋a22＋a23＋…＋a40＝0，∴a21＋a40＝0.∴S60＝(a1＋a60)×60＝(a21＋a40)×60＝0.5. 解析：由a7＝a6＋2a5，得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴aman＝a1qm－1·a1qn－1＝16a.∴qm＋n－2＝2m＋n－2＝24.∴m＋n－2＝4.∴m＋n＝6.∴＋＝··(m＋n)＝≥×(5＋4)＝(当且仅当4m2＝n2时，“＝”成立)．6．－ 解析：因为数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，所以由它们的性质可得a1000＋a1013＝a1＋a2012＝π，b1b13＝b72＝2，则tan＝tan＝－.7．解：(1)由a1＝1，an＋1＝pSn＋r，当p＝2，r＝0时，an＋1＝2Sn，-7-\n∴a2＝2a1＝2，a3＝2S2＝2(a1＋a2)＝2×(1＋2)＝6，a4＝2S3＝2(a1＋a2＋a3)＝2×(1＋2＋6)＝18.(2)∵an＋1＝pSn＋r，∴an＝pSn－1＋r(n≥2)．∴an＋1－an＝(pSn＋r)－(pSn－1＋r)＝pan，即an＋1＝(p＋1)an，其中n≥2.∴若数列{an}为等比数列，则公比q＝p＋1≠0.∴p≠－1.又a2＝p＋r＝a1q＝a1(p＋1)＝p＋1，故r＝1.∴当p≠－1，r＝1时，数列{an}为等比数列．8．解：(1)设数列{an}的公比为q(q＞1)．由已知得即即解得a1＝1，q＝2或a1＝4，q＝(舍去)．∴an＝2n－1.(2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2，∴bn＋1－bn＝3ln2.∴{bn}是以b1＝3ln2为首项，公差为3ln2的等差数列．∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝，即Tn＝.-7-
