专题七 概率与统计第2讲 概率、统计与统计案例真题试做1．(2012·山东高考，理4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )．A．7B．9C．10D．152．(2012·陕西高考，理6)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )．A.甲＜乙，m甲＞m乙B.甲＜乙，m甲＜m乙C.甲＞乙，m甲＞m乙D.甲＞乙，m甲＜m乙3．(2012·广东高考，理7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )．A.B.C.D.4．(2012·广东高考，理17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．考向分析概率部分主要考查了概率的概念、条件概率、互斥事件的概率加法公式、对立事件的求法，以及古典概型与几何概型的计算，均属容易题．统计部分选择、填空都是独立考查本节知识，解答题均与概率的分布列综合．预测下一步概率部分会更加注重实际问题背景，考查分析、推理能力，统计部分在直方图、茎叶图、相关性部分都可单独命题，且多为一个小题，解答题仍会与分布列结合．热点例析-10-\n热点一 随机事件的概率【例1】(2012·江西高考，理18)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望E(V)．规律方法高考中，概率解答题一般有两大方向．一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数、中位数、频数、频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率、独立事件的概率、随机变量的期望与方差等．需要注意第一种方向的考查．变式训练1(2012·北京昌平二模，理16)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分；在B区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是和p(0＜p＜1)．(1)若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率；(2)我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围．热点二 古典概型与几何概型【例2】(2012·北京高考，理2)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )．A. B. C. D.规律方法较为简单的问题可以直接使用古典概型公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接解法，先求事件A的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率．变式训练2(1)在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为( )．A.B.C.D.(2)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为( )．A.B.C.D.热点三 线性相关【例3】设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )．A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(，)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg规律方法-10-\n线性回归的基本思想及应用主要按以下步骤完成：①画散点图，检验是否线性相关；②数据计算，求回归方程；③利用回归方程，进行科学预测．变式训练3假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程＝x＋的回归系数，；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？热点四 独立性检验【例4】为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．两个班同学的成绩(百分制)的茎叶图如图所示：按照大于或等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩．(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：成绩与专业列联表优秀非优秀总计A班20B班20总计40(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为环保知识测试成绩与专业有关？附：K2＝P(K2≥k)0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828规律方法独立性检验是指利用2×2列联表，通过计算随机变量K2来确定在多大程度上两个分类变量有关系的方法．K2值越大，说明两个分类变量X与Y有关系的可能性越大．要会用倍度表判断X与Y有关系的可信程度．变式训练4为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2的观测值k＝.思想渗透-10-\n数形结合思想——解答统计问题用数形结合思想解答的统计问题主要有：(1)通过频率分布直方图研究数据分布的总体趋势．(2)根据样本数据散点图确定两个变量是否存在相关关系．求解时注意的问题：(1)频率分布直方图中纵轴表示，每个小长方形的面积等于这一组的频率．(2)在频率分布直方图中，组距是一个固定值，故各小长方形高的比就是频率之比．【典型例题】下表给出了某校120名12岁男孩的身高资料．(单位：cm)区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人数58102233区间界限[142,146)[146,150)[150,154)[154,158)人数201165(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)根据样本的频率分布图，估计身高小于134cm的人数约占总人数的百分比．解：(1)频率分布表如下：区间人数频数频率[122,126)5[126,130)8[130,134)10[134,138)22[138,142)33[142,146)20[146,150)11[150,154)6[154,158)5(2)频率分布直方图如图：(3)由图估计，身高小于134cm的学生数约占总数的19%.-10-\n1．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取各职称的人数分别为( )．A．5,10,15B．3,9,18C．3,10,17D．5,9,162．(2012·江西高考，理9)样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0＜α＜，则n，m的大小关系为( )．A．n＜mB．n＞mC．n＝mD．不能确定3．(2012·安徽高考，理5)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )．A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差4．(2012·福建高考，理6)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )．A.B.C.D.5．(2012·广东韶关模拟，理7)下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③从总体中抽取的样本(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，若记＝i，＝i，则回归直线y＝bx＋a必过点(，)；④已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ＞2)＝0.2.其中正确的有( )．A．0个B．1个C．2个D．3个6．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为( )．A.B.C．5D．37．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成．-10-\n第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数．(1)求P(ξ＝2)；(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望．8．(2012·广东深圳高级中学期末，理17)计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，.所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？(2)求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；(3)用ξ表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．C 解析：由题意可得，抽样间隔为30，区间[451,750]恰好为10个完整的组，所以做问卷B的有10人，故选C.2．B 解析：由题图可得甲＝＝21.5625，m甲＝20，乙＝＝28.5625，m乙＝29，所以甲＜乙，m甲＜m乙．故选B.3．D 解析：在个位数与十位数之和为奇数的两位数中：(1)当个位数是偶数时，由分步计数乘法原理知，共有5×5＝25个；(2)当个位数是奇数时，由分步计数乘法原理知，共有4×5＝20个．综上可知，基本事件总数共有25＋20＝45(个)，满足条件的基本事件有5×1＝5(个)，∴概率P＝＝.4．解：(1)0.006×10×3＋0.01×10＋0.054×10＋x×10＝1x＝0.018.(2)成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12(人)，其中成绩在90分以上(含90分)的人数为0.06×10×50＝3.随机变量ξ可取0,1,2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝＝.所以随机变量ξ的分布列为ξ012P所以ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.精要例析·聚焦热点热点例析-10-\n【例1】解：(1)从6个点中随机选取3个点总共有C36＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有＝12种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.(2)V的所有可能取值为0，，，，，因此V的分布列为V0P由V的分布列可得E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝.【变式训练1】解：(1)设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得3分”为事件N，则事件M与事件N为对立事件，P(M)＝·0·3＝，P(N)＝1－P(M)＝1－＝.(2)设选手甲在A区射击的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,3,6,9.P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝3)＝··2＝；P(ξ＝6)＝·2·＝；P(ξ＝9)＝3＝.所以ξ的分布列为ξ0369P∴E(ξ)＝0×＋3×＋6×＋9×＝.设选手甲在B区射击的得分为η，则η的可能取值为0,2,4.P(η＝0)＝(1－p)2；P(η＝2)＝·p·(1－p)＝2p(1－p)；P(η＝4)＝p2.所以η的分布列为η024P(1－p)22p(1－p)p2∴E(η)＝0×(1－p)2＋2·2p(1－p)＋4·p2＝4p.根据题意，有E(η)＞E(ξ)，∴4p＞，∴＜p＜1.【例2】D解析：由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A的是阴影部分区域μA，故由几何概型的概率公式得：P(A)=.-10-\n【变式训练2】(1)D 解析：AM的长介于6～9cm之间，这是一个几何概型，p＝＝.(2)C 解析：总事件数为36种，而满足条件的(X，Y)为(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情形．p＝＝.【例3】D 解析：D选项中，若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重约为：0.85×170－85.71＝58.79(kg)．故D不正确．【变式训练3】解：(1)制表如下：i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3＝4，＝5，i2＝90，i2＝140.78，iyi＝112.3于是有＝＝＝1.23；＝－＝5－1.23×4＝0.08.(2)回归直线方程为＝1.23x＋0.08，当x＝10年时，＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．【例4】解：(1)成绩与专业列联表优秀非优秀总计A班14620B班71320总计211940(2)根据列联表中的数据，得到k＝≈4.912＞3.841.所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为环保知识测试成绩与专业有关．【变式训练4】解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为14%.(2)K2的观测值k＝≈9.967.-10-\n由于9.967＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．创新模拟·预测演练1．B 解析：高级、中级、初级职称的人数所占比例分别为＝0.1，＝0.3，＝0.6.故选B.2．A 解析：由已知，得x1＋x2＋…＋xn＝n，y1＋y2＋…＋ym＝m，＝＝＝α＋(1－α)，整理，得(－)[αm＋(α－1)n]＝0，∵≠，∴αm＋(α－1)n＝0，即＝.又0＜α＜，∴0＜＜1，∴0＜＜1.又n，m∈N＋，∴n＜m.3．C 解析：由图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，故A错；而甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B错；s甲2＝＝2，s乙2＝＝2.4，故C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，故D错．4．C 解析：∵由图象知阴影部分的面积是＝＝－＝，∴所求概率为＝.5．B 解析：①中，平均数应是，故①错；②中，a＝14.7，b＝15，c＝17，故c＞b＞a，所以②错；③正确；④中，P(ξ＞2)＝＝0.1，故④错；所以选B.6．A 解析：∵ξ～N(3,4)，P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，∴2a－3与a＋2关于μ＝3对称，∴＝3，解得a＝.7．解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码．∴P(ξ＝2)＝＝.(2)由题意可知ξ的取值为2,3,4三种情形．若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2，则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4.∴P(ξ＝3)＝＝.-10-\n若ξ＝4，则P(ξ＝4)＝＝或P(ξ＝4)＝1－－＝，∴ξ的分布列为：ξ234P∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.8．解：记“甲理论考试合格”为事件A1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3，记为Ai的对立事件，i＝1,2,3；记“甲上机考试合格”为事件B1，“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3.(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，则P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝，有P(B)＞P(C)＞P(A)，故丙获得“合格证书”可能性最大；(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D.P(D)＝P＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)＝×××××＝，所以，这三人该课程考核都合格的概率为.(3)用ξ表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，则ξ可以取0,1,2,3，故ξ的分布列如下：ξ0123P(ξ)ξ的数学期望：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.-10-
