专题升级训练25 解答题专项训练(立体几何)1．下图是一个几何体的直观图及它的三视图(其中正(主)视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧(左)视图为直角三角形，尺寸如图所示)．(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若G为BC的中点，求证：AE⊥PG.2．有一根长为3πcm，底面半径为2cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？3.如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE⊥平面CBB1.(1)证明：DE∥平面ABC；(2)求四棱锥CABB1A1与圆柱OO1的体积比．4.(2012·安徽江南十校二模，文18)如图所示，菱形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE＝90°，∠DAB＝60°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2.(1)求四面体BDEF的体积；(2)求证：平面EAC⊥平面EBD；(3)求证：AC∥平面BEF.5.已知正四面体ABCD(图1)，沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A)．(1)证明：AB⊥CD；(2)当A1D＝10，A1A2＝8时，求四面体ABCD的体积．-6-\n6.如图，已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PB，AB，BC的中点．求证：(1)PA∥平面CDM；(2)SN⊥平面CDM.7.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：MN⊥平面A1B1C；(3)求三棱锥MA1B1C的体积．8．(2012·合肥市第三次质检，文18)在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝4，AC与BD交于O，将△ACD沿着AC折起，使D点至点D′，且D′点到平面ABC的距离为，如右图所示．(1)求证：AC⊥BD′；(2)E是BO的中点，过C作平面ABC的垂线l，直线l上是否存在一点F，使EF∥平面AD′C？若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．-6-\n参考答案1．解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，所以VPABCD＝PA·S正方形ABCD＝×4×4×4＝.(2)证明：连接BP.因为＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，所以△EBA∽△BAP，所以∠PBA＝∠AEB，所以∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，所以PB⊥AE.由题易证BC⊥平面APEB，所以BC⊥AE.又因为PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为PG平面PBC，所以AE⊥PG.2．解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为5πcm.3．(1)证明：连接EO，OA.∵E，O分别为B1C，BC的中点，∴EO∥BB1.又DA∥BB1，且DA=EO=BB1.∴四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA.又DE平面ABC，AO平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)解：由题意知DE⊥平面CBB1，且由(1)知DE∥OA，∴AO⊥平面CBB1，∴AO⊥BC，∴AC=AB.因BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB.而AA1⊥CA，AA1∩AB=A，∴CA⊥平面AA1B1B，即CA为四棱锥的高．设圆柱高为h，底面半径为r，则V柱=πr2h，V锥=，∴V锥∶V柱=.-6-\n4．解：(1)取AD中点为G，连接BG，则BG⊥AD，又平面ABCD⊥平面ADEF，所以BG⊥平面ADEF.在正△ABD中，BG＝，可求△DEF的面积为2，所以四面体BDEF的体积＝VBDEF＝×2×＝.(2)证明：因为平面ABCD⊥平面ADEF，∠ADE＝90°，所以ED⊥平面ABCD，故ED⊥AC.又ABCD是菱形，所以BD⊥AC.故AC⊥平面BDE.所以平面EAC⊥平面EBD.(3)证明：设AC∩BD＝O，取BE中点H，连接FH，OH，所以OH綉DE.又AF綉DE，所以AF綉OH，所以四边形AFHO是平行四边形．所以AO∥HF，故AC∥平面BEF.5．(1)证明：在四面体ABCD中，∵AB⊥平面ACDAB⊥CD.(2)解：在题图2中作DE⊥A2A3于E.∵A1A2=8，∴DE=8.又∵A1D=A3D=10，∴EA3=6，A2A3=10+6=16.又A2C=A3C，∴A2C=8.即图1中AC=8，AD=10，由A1A2＝8，A1B＝A2B得题图1中AB＝4.∴S△ACD＝S△A3CD＝DE·A3C＝×8×8＝32.又∵AB⊥面ACD，∴VBACD＝×32×4＝.6．证明：(1)在三棱锥PABC中，因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA.因为MD平面CMD，PA平面CMD，所以PA∥平面CMD.(2)因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA.因为PA⊥平面ABC，所以MD⊥平面ABC，又SN平面ABC，所以MD⊥SN.在△ABC中，连接DS，因为D，S分别为AB，BC的中点，所以DS∥AC且DS＝AC.又AB⊥AC，所以∠ADS＝∠BAC＝90°.-6-\n因为AC＝AB，所以AC＝AD，所以∠ADC＝45°，因此∠CDS＝45°.又AB＝4AN，所以DN＝AD＝AC，即DN＝DS，故SN⊥CD.又MD∩CD＝D，所以SN⊥平面CMD.7.(1)证明：连接BC1，AC1.由题知点N在AC1上且为AC1的中点．∵M是AB的中点，∴MN∥BC1.又∵MN平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.(2)证明：∵三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C.连接A1M，由∠ABC=∠MAA1=90°，BM=AM，BC=AA1得△AMA1≌△BMC.∴A1M=CM.又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C.∵B1C与A1C相交于点C，∴MN⊥平面A1B1C.(3)解：由(2)知MN是三棱锥MA1B1C的高．在直角△MNC中，MC=，NC=，∴MN=.又S△A1B1C=，∴VMA1B1C=MN·S△A1B1C=.8．解：(1)证明：设AC∩BD＝O，在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴AC⊥OD′，AC⊥OB.又∵OD′∩OB＝O，OD′平面BOD′，OB平面BOD′，∴AC⊥平面BOD′.∴AC⊥BD′.(2)过D′作D′H⊥DO于H，连接CH，AH，AE，CE.由(1)得平面BOD′⊥平面ABC，故HD′⊥平面ABC，故D′H＝，所以OH＝＝1＝OE.∴四边形AECH为平行四边形，∴CH∥AE，CH＝AE.在l上截取CF＝，∵HD′⊥平面ABC，CF⊥平面ABC，∴CF∥D′H.又CF＝D′H＝，∴四边形CFD′H为平行四边形，∴CH∥D′F，CH＝D′F，而CH∥AE，CH＝AE，∴AE∥D′F，D′F＝AE，-6-\n∴四边形D′AEF为平行四边形，∴AD′∥EF.又EF平面AD′C，AD′平面ADC，∴EF∥平面AD′C，故存在F，使EF∥平面AD′C，此时CF＝.-6-
