专题升级训练22 解答题专项训练(函数与导数)1．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．2．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．3．(2012·合肥六中冲刺卷，文18)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4，其中a为实数．(1)若函数y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线倾斜角为，求单调递减区间；(2)若存在x0∈(0，＋∞)，使得f(x0)＞0，求a的取值范围．4．某高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设f(n)表示前n年的纯收入．(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业；问哪种方案最合算？5.已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．(1)讨论f(x)＝ex－ax－1(a∈R)的单调性；(2)若a＝1，求证：当x≥0时，f(x)≥f(－x)．6．(2012·安徽江南十校二模，文19)已知函数f(x)＝alnx＋bx2在点(1，f(1))处的切线方程为x－y－1＝0.(1)求f(x)的表达式；(2)求函数g(x)＝f(x)＋在[1，e]上的最小值(注：e为自然对数的底数)．7．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．8．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a＞0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x＞0)．-4-\n参考答案1．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，即2x－≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立，只需a≤(2x3)min，x∈[2，＋∞)，∴a≤16.∴a的取值范围是(－∞，16]．2．解：(1)f(x)＝ax＋＋b≥2＋b＝b＋2，当且仅当ax＝1时，f(x)取得最小值为b＋2.(2)由题意得：f(1)＝a＋＋b＝，①f′(x)＝a－f′(1)＝a－＝，②由①②得：a＝2，b＝－1.3．解：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax，所以f′(1)＝1，即－3＋2a＝1，所以a＝2.由f′(x)＝－3x2＋4x＝－3x＜0，得x＜0或x＞，所以单调递减区间是(－∞，0)，.(2)f′(x)＝－3x，x∈(0，＋∞)，①当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x)＜f(0)＝－4，所以a≤0时，不存在x0∈(0，＋∞)，使得f(x0)＞0.②当a＞0时，f(x)在上递增，在上递减，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)的极大值为f＝－4，令－4＞0，得a＞3.综上所述，a的取值范围是(3，＋∞)．4．解：由题意知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列，则f(n)＝500n－－720＝－20n2＋400n－720.(1)获取纯利润就是要求f(n)＞0，故有－20n2＋400n－720＞0，解得2＜n＜18.又n∈N*，知从第三年开始获取纯利润．(2)①年平均利润＝400－20≤160，当且仅当n＝6时取等号．故此方案获利6×160＋480＝1440(万元)，此时n＝6.②f(n)＝－20n2＋400n－720＝－20(n－10)2＋1280，当n＝10时，f(n)max＝1280.故此方案共获利1280＋160＝1440(万元)．比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．-4-\n5．(1)解：f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞lna；令f′(x)＜0，得x＜lna.综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，增区间是(lna，＋∞)，减区间是(－∞，lna)．(2)证明：令g(x)＝f(x)－f(－x)＝ex－－2x，g′(x)＝ex＋e－x－2≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)≥g(0)＝0，∴f(x)≥f(－x)．6．解：(1)根据题意，由f(1)＝0，,f′(1)＝1，解得a＝1，b＝0，f(x)＝lnx.(2)g(x)＝f(x)＋＝lnx＋(x＞0)，∴令g′(x)＝－＝0，得x＝.当x∈(1，)时，g′(x)＜0；当x∈(，e)时，g′(x)＞0.∴g(x)在x＝处取唯一的极小值，即最小值，此时，g(x)min＝g()＝.函数g(x)在[1，e]上的最小值为.7．解：(1)f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2＝ex－f(0)x＋x2f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x，令x＝1得：f(0)＝1.f(x)＝f′(1)ex－1－x＋x2f(0)＝f′(1)e－1＝1f′(1)＝e，得：f(x)＝ex－x＋x2.令g(x)＝f′(x)＝ex－1＋x，则g′(x)＝ex＋1＞0y＝g(x)在x∈R上单调递增，∴f′(x)在R上单调递增，f′(x)＞0＝f′(0)x＞0，f′(x)＜0＝f′(0)x＜0，得：f(x)的解析式为f(x)＝ex－x＋x2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．(2)令h(x)＝f(x)－x2－ax－b，则h(x)＝ex－(a＋1)x－b≥0，h′(x)＝ex－(a＋1)．①当a＋1≤0时，h′(x)＞0y＝h(x)在x∈R上单调递增，x→－∞时，h(x)→－∞与h(x)≥0矛盾．②当a＋1＞0时，h′(x)＞0x＞ln(a＋1)，h′(x)＜0x＜ln(a＋1)，得：当x＝ln(a＋1)时，h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－b≥0，(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)，(a＋1＞0)．令F(x)＝x2－x2lnx(x＞0)，则F′(x)＝x(1－2lnx)，F′(x)＞00＜x＜，F′(x)＜0x＞.当x＝时，F(x)max＝.-4-\n当a＝－1，b＝时，(a＋1)b的最大值为.8．(1)解：设曲线y＝f(x)与y＝g(x)(x＞0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，∴依题意得即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)，则b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.令h(t)＝t2－3t2lnt(t＞0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)，由h′(t)＝0得t＝或t＝0(舍去)．当t变化时，h′(t)，h(t)的变化情况如下表：t(0，)(，＋∞)h′(t)＋0－h(t)↗极大值↘于是函数h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h()＝，即b的最大值为.(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x＞0)，则F′(x)＝x＋2a－＝(x＞0)，由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)．当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)↘极小值↗结合(1)可知函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝f(a)－g(a)＝0.故当x＞0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x＞0时，f(x)≥g(x)．-4-
