第十四章 推理与证明1.[2020安徽省示范高中名校联考]某校高一年级组织五个班的学生参加学农活动,每班从“农耕”“采摘”“酿酒”“野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践,且各班的选择互不相同.已知1班既不选“农耕”,也不选“采摘”;2班既不选“农耕”,也不选“酿酒”;3班既不选“野炊”,也不选“农耕”;5班选择“采摘”或“酿酒”;如果1班不选“酿酒”,那么4班不选“农耕”.则选择“饲养”的班级是( )A.2班B.3班C.4班D.5班2.[2020河南省实验中学模拟]在平面几何中有射影定理:在三角形ABC中,AB⊥AC,D是点A在BC上的射影,则AB2=BD·BC.拓展到空间,在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,点O是点A在平面BCD内的射影,且O在△BCD内,类比平面三角形中的射影定理,得出的正确结论是( )A.S△ABC2=S△BCD·S△BCOB.S△ABD2=S△BCD·S△BCOC.S△ADC2=S△DOC·S△BOCD.S△BDC2=S△ABD·S△ABC3.[2020安徽模拟]观察图14-1中各正方形图案,记第n个图案中圆点的总数为Sn.图14-1按此规律推出Sn与n的关系式为( )A.Sn=2nB.Sn=4nC.Sn=2nD.Sn=4n-44.[2020江西模拟]用反证法证明命题“若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈Z)有有理根,那么当a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( )A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数\n5.某市为了缓解交通压力,实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行,B车昨天限行,从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是( )A.今天是周四B.今天是周六C.A车周三限行D.C车周五限行6.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位分布示意图如图14-2所示,则下列座位号码符合要求的可以是( )窗口12过道345窗口6789101112131415……………图14-2A.25,26B.33,34C.64,65D.72,737.[2020陕西高三摸底]甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试,当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时,甲说:“丙或丁申请了.”乙说:“丙申请了.”丙说:“甲和丁都没有申请.”丁说:“乙申请了.”如果这四位同学中只有两人说的是对的,那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 . 8.[2020太原4月模拟][解法创新]“斐波那契数列”是数学史上的一个著名数列,在斐波那契数列{an}中,a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),记{an}的前n项和为Sn,已知S2020=m,则a2022= . 9.[2021长春市高三质监]如图14-3,在面积为1的正方形A1B1C1D1内作四边形A2B2C2D2,使A1A2=2A2B1,B1B2=2B2C1,C1C2=2C2D1,D1D2=2D2A1,以此类推,在四边形A2B2C2D2内再作四边形A3B3C3D3,……,记四边形AIBICIDI的面积为aI(I=1,2,3,…,n),则a1+a2+a3+…+an=( )A.95[1-(49)n]B.94[1-(59)n]C.32[1-(13)n]D.3[1-(23)n]图14-310.[2020江西省红色七校第一次联考]我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是一种寻找精确分数来表示天文数据或数学常数的内插法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc(a,b,c,d∈N*),则b+da+c是\nx的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e=2.71828…,若令135<e<145,则第一次用“调日法”后可得2710是e的更为精确的不足近似值,即2710<e<145.若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得e的更为精确的近似值为( )A.10940B.197C.6825D.1676011.[2020陕西省百校第一次联考]在一次考试后,为了分析成绩,从1,2,3班中抽取了三名同学(每班一人),记这三名同学分别为A,B,C,已知来自2班的同学比B的成绩低,A与来自2班的同学的成绩不同,C的成绩比来自3班的同学的成绩高.下列推断正确的为( )A.A来自1班B.B来自1班C.C来自3班D.A来自2班12.[2020陕西省部分学校摸底检测]我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”通过圆内接正多边形割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为πn,那么用圆的内接正2n边形逼近圆,算得圆周率的近似值π2n可表示成( )A.πncos180°nB.πncos360°nC.πnsin360°nD.πncos90°n13.[2020南昌市测试]自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在,如开关的开和关、电路的通和断等,非常适合表示计算机中的数,所以现在使用的计算机设计为二进制计算机.二进制以2为基数,只用0和1两个数码表示数,逢2进1,二进制数同十进制数遵循一样的运算规则,它们可以相互转化,如521(10)=1×29+0×28+0×27+0×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1000001001(2).我国数学史上,对数制的研究不乏其人,清代汪莱的《参两算经》系统论述了非十进制数,十进制数与八进制数的对应转化如下:49(10)=61(8),42(10)=52(8),35(10)=43(8),….类比二进制与十进制转化的运算,数1010011100(2)对应的八进制数( )A.446(8)B.1134(8)C.1234(8)D.4321(8)14.[数学文化题]我国古代十部著名的数学著作《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》,被称为《算经十书》.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣.一天,他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话,甲:“乙阅读的本数比丁少.”乙:“甲阅读的本数比丙多.”丙:“我阅读的本数比丁多.”丁:“丙阅读的本数比乙多.”有趣的是,他们说的这些话中,只有一个人说的是真实的,而这个人正是他们四个人中阅读的本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读的本数各不相同).甲、乙、丙、丁按各人阅读的本数由少到多的排列是 . 15.已知函数f(x)=a-sinxx,0<x<π.\n(1)若x=x0时,f(x)取得极小值f(x0),求f(x0)的取值范围;(2)当a=π,0<m<π时,证明:f(x)+mlnx>0.答案第十四章 推理与证明1.B 解法一 由题意可知五个班级和五项活动一一对应,作出如下表格(不选的活动项目打“✕”,选择的活动项目打“√”),当5班选“采摘”时,4班选“农耕”,根据“如果1班不选‘酿酒’,那么4班不选‘农耕’”,得1班选“酿酒”,再根据五个班级和五项活动一一对应,易得选“饲养”的是3班.农耕采摘酿酒野炊饲养1班✕✕√2班✕✕√3班✕✕√4班√5班√当5班选“酿酒”时,4班选“农耕”,根据“如果1班不选‘酿酒’,那么4班不选‘农耕’”,得1班选“酿酒”,则1班和5班都选“酿酒”,与题意矛盾,舍去这种情况.综上可知,选B.\n解法二 由题意知,1班、2班、3班、5班均不选“农耕”,所以4班选“农耕”,根据“如果1班不选‘酿酒’,那么4班不选‘农耕’”,得1班选“酿酒”,则5班选“采摘”,又3班不选“野炊”,所以2班选“野炊”,3班选“饲养”.故选B.2.A 由已知得在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,D是垂足,则AB2=BD·BC.类比这一性质,推理出:在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,连接AO,则AO⊥平面BCD,O为垂足,连接BO,CO,则S△ABC2=S△BCD·S△BCO.故选A.【解后反思】 本题通过对类比推理的应用,把平面几何中的线线垂直转化为立体几何中的线面垂直,利用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,考查了学生的类比能力.3.B 第一个图案中圆点的总数S1=4;第二个图案中圆点的总数S2=8;第三个图案中圆点的总数S3=12.S1=4=4×1,S2=8=4×2,S3=12=4×3,由此得到第n个图案中圆点的总数Sn=4n.故选B.【方法总结】 从特殊情形出发,发现图案中圆点的总数的规律,猜想归纳出一般结论.一般地,由特殊情形归纳出一般结论的步骤是:从特殊出发→发现规律→归纳结论.4.B 命题“a,b,c中至少有一个是偶数”的否定是“a,b,c都不是偶数”,故选B.5.A 在限行政策下,要保证每天至少有四辆车可以上路行驶,周一到周五每天只能有一辆车限行.由周末不限行,B车昨天限行知,今天不是周一,也不是周日;由E车周四限行且明天可以上路可知,今天不是周三;由E车周四限行,B车昨天限行知,今天不是周五;从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,如果今天是周二,A,C两车连续行驶到周五,只能同时在周一限行,不符合题意;如果今天是周六,则B车周五限行,A,C两车连续行驶到周二,只能同时在周三限行,不符合题意.所以今天是周四.故选A.【解题关键】 求解这类逻辑推理题,一般用代入法解答,将选项逐一代入题干,判断是否符合题目要求.读懂题意并抓住关键即可轻松解题.6.C 设靠左、右窗的座位号码分别为an,bn,则由火车上的座位号码规律可得,an=5n-4,bn=5n.因此33号、34号、72号与73号都不是靠窗的座位号,所以选项B和D均不符合要求;25号与65号都是靠右窗的座位号码,但25号、26号是不相邻的,64号与65号是相邻的,故选C.7.乙 (1)如果申请的同学是甲,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,不满足题意.(2)如果申请的同学是乙,则甲、乙两人说的是错的,丙、丁两人说的是对的,满足题意.(3)如果申请的同学是丙,则甲、乙、丙三人说的是对的,不满足题意.(4)如果申请的同学是丁,则只有甲说的是对的,不满足题意.故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙.【方法总结】 求解推理问题的主要方法如下:(1)利用表格将条件中给出的相关结果呈现出来,观察表格得出结论;(2)利用假设法进行求解.8.m+1 解法一(归纳推理) a3=a1+a2=2,a4=a2+a3=3,a5=a3+a4=5,a6=a4+a5=8,…S1=1=a3-1,S2=a1+a2=2=a4-1,S3=S2+a3=4=a5-1,S4=S3+a4=7=a6-1,…由此猜想:Sn=an+2-1.所以a2022=S2020+1=m+1.解法二(演绎推理) 因为a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),\n所以a1+a2=a3,a2+a3=a4,a3+a4=a5,……,a2020+a2021=a2022.以上各式累加得a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+a2020+a2021=a3+a4+…+a2022,所以a1+a2+a3+a4+…+a2020=a2022-a2,a2022=S2020+a2=m+1.9.B 由A1A2=2A2B1,B1B2=2B2C1,C1C2=2C2D1,D1D2=2D2A1可得|A2B2|=5|A2B1|=53|A1B1|,依次有|A3B3|=53|A2B2|,……,|Ai+1Bi+1|=53|AiBi|,其中i=1,2,…,n-1,根据正方形的面积比等于边长比的平方可得ai+1=59ai(i=1,2,…,n-1),即四边形的面积依次构成以1为首项、59为公比的等比数列,所以a1+a2+a3+…+an=1-(59)n1-59=94[1-(59)n],故选B.10.B 第一次用“调日法”后得2710,即2710<e<145;第二次用“调日法”后得4115,即2710<e<4115;第三次用“调日法”后得6825,即2710<e<6825;第四次用“调日法”后得9535=197,故选B.11.B 依题意得知,B不来自2班,A不来自2班,因此C来自2班.又B的成绩比来自2班的同学的成绩高,C的成绩比来自3班的同学的成绩高,所以B不能来自3班,只能来自1班,所以A来自3班,故选B.12.A 设圆的半径为R,由题意得n2R2sin360°n=πnR2,所以n=2πnsin360°n,又2n×12R2sin360°2n=π2nR2,所以π2n=2πnsin360°nsin180°n=πncos180°n,故选A.13.C 1010011100(2)=1×29+1×27+1×24+1×23+1×22=668(10),668(10)=1×83+2×82+3×81+4×80=1234(8).故选C.14.甲丙乙丁 由题意可列表如下:甲乙丙丁甲说丁>乙乙说甲>丙丙说丙>丁丁说丙>乙若甲说的是真实的,则甲阅读的本数最少,可得四人阅读的本数由少到多的排列是甲丙乙丁;若乙说的是真实的,则乙阅读的本数最少,与丁<乙,丙<乙矛盾,不符合题意;若丙说的是真实的,则丙阅读的本数最少,与丙>丁,甲<丙矛盾,不符合题意;若丁说的是真实的,则丁阅读的本数最少,与丙<丁矛盾,不符合题意.综上,甲说的是真实的,甲、乙、丙、丁按各人阅读的本数由少到多的排列是甲丙乙丁.15.(1)由函数f(x)=a-sinxx,0<x<π,得f'(x)=-xcosx-a+sinxx2,因为当x=x0时,f(x)取得极小值f(x0),所以f'(x0)=0,所以a=sinx0-x0cosx0,\n所以f(x0)=-x0cosx0x0=-cosx0,因为0<x<π,所以cosx0∈(-1,1),所以f(x0)∈(-1,1).(2)当a=π时,f(x)=π-sinxx(0<x<π),要证当0<m<π时f(x)+mlnx=π-sinxx+mlnx>0成立,即证mxlnx>sinx-π成立,令g(x)=mxlnx,h(x)=sinx-π,则h(x)=sinx-π∈(-π,1-π],而g'(x)=m(lnx+1),令g'(x)=0,得x=1e,则当0<x<1e时,g'(x)<0,此时g(x)单调递减,当1e<x<π时,g'(x)>0,此时g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1e)=-me,显然∀m∈(0,π),-me>1-π,所以当0<m<π时,mxlnx>sinx-π成立,即0<m<π时,f(x)+mlnx>0.【易错警示】 求解该题第(2)问时易出现的问题主要有两个方面:一是在证明不等式的过程中易漏步骤,从而导致证明过程不完整;二是不能根据所转化的不等式的结构特征将其转化为两个函数的最值之间的关系.不等式的证明要根据其结构特征合理选用相应的方法,找到比所证不等式更易证明的等价不等式是关键.一般可通过构造函数,利用函数的最值进行证明;如果要证不等式中涉及两类不同性质的函数,如该题中存在对数函数与三角函数两种类型,无法直接构造函数并求其最值,则需要对不等式进行变形,利用两个函数的最值进行证明.
