第十四章 推理与证明练好题·考点自测1.[改编题]下面结论正确的个数是( )(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.(5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思想与方法,再用综合法展现解决问题的过程.(6)证明不等式2+7<3+6可以用分析法.A.1B.2C.3D.4图14-12.[2020全国卷Ⅱ,3,5分][文]如图14-1,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称ai,aj,ak为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称ai,aj,ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为( )A.5B.8C.10D.153.[2021贵州模拟]泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称.现有四条登泰山的线路:红门盘道徒步线路,桃花峪登山线路,天外村汽车登山线路,天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时,发现三人走的线路均不同,且均没走天外村汽车登山线路,三人向其余旅友进行如下陈述:甲:我走红门盘道徒步线路,乙走桃花峪登山线路.乙:甲走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路.丙:甲走天烛峰登山线路,乙走红门盘道徒步线路.事实上,甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半,根据以上信息,可判断下面说法正确的是( )A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路4.[2021江西省模拟]数式1+11+11+…中省略号“…”代表无限重复,但该式是一个固定值,可以用如下方法求得:令原式=t(t>0),则1+1t=t,t2-t-1=0,取正值得t=5+12.用类似方法可得12+12+12+…= . \n5.[2020山东章丘四中检测]两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图14-2中的实心点个数1,5,12,22,…被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a1=1,第2个五角形数记作a2=5,第3个五角形数记作a3=12,第4个五角形数记作a4=22,…,若按此规律继续下去,得数列{an},则an-an-1= (n≥2);对n∈N*,an= . 图14-2拓展变式[2017全国卷Ⅱ,9,5分][文]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案第十四章 推理与证明1.B (1)错误,综合法和分析法都是直接证明;(2)错误,寻找的是使结论成立的充分条件;(3)错误,应假设“a≤b”;(4)错误,反证法是只否定结论,推出矛盾;(5)(6)正确.2.C 解法一 由题意,知ai,aj,ak构成原位大三和弦时,j=k-3,i=j-4,所以ai,aj,ak为原位大三和弦的情况有:k=12,j=9,i=5;k=11,j=8,i=4;k=10,j=7,i=3;k=9,j=6,i=2;k=8,j=5,i=1.共5种.ai,aj,ak构成原位小三和弦时,j=k-4,i=j-3,所以ai,aj,ak为原位小三和弦的情况有:k=12,j=8,i=5;k=11,j=7,i=4;k=10,j=6,i=3;k=9,j=5,i=2;k=8,j=4,i=1.共5种.所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10,故选C.\n解法二 由题意,知当ai,aj,ak为原位大三和弦时,k-j=3且j-i=4,又1≤i<j<k≤12,所以5≤j≤9,所以这12个键可以构成的原位大三和弦的个数为5.当ai,aj,ak为原位小三和弦时,k-j=4且j-i=3,又1≤i<j<k≤12,所以4≤j≤8,所以这12个键可以构成的原位小三和弦的个数为5.所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10,故选C.3.D 解法一 因为甲、乙的陈述都只对了一半,所以若乙的陈述中,“甲走桃花峪登山线路”正确,则甲的陈述全部错误,与题意不符,故乙的陈述中,“甲走桃花峪登山线路”不正确,“丙走红门盘道徒步线路”正确,故甲的陈述中,“乙走桃花峪登山线路”正确,丙的陈述中,“甲走天烛峰登山线路”正确,故选D.解法二 若A选项正确,由甲的陈述得,“甲走红门盘道徒步线路”错误,“乙走桃花峪登山线路”正确,此时甲和乙都走桃花峪登山线路,与“三人走的线路均不同”矛盾,所以A选项错误.若B选项正确,由甲的陈述得,“乙走桃花峪登山线路”错误,“甲走红门盘道徒步线路”正确,此时甲与乙都走红门盘道徒步线路,与“三人走的线路均不同”矛盾,所以B选项错误.若C选项正确,由甲的陈述得,“乙走桃花峪登山线路”错误,“甲走红门盘道徒步线路”正确.再由乙的陈述得,“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确,与“丙走桃花峪登山线路”矛盾,所以C选项错误.若D选项正确,由甲的陈述得,“甲走红门盘道徒步线路”错误,“乙走桃花峪登山线路”正确,再由乙的陈述得,“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确,由丙的陈述得,“乙走红门盘道徒步路线”错误,此时满足甲、乙、丙三人的陈述都只对一半.故选D.【方法点拨】 逻辑推理问题常用代入法或反证法,根据推理是否出现矛盾,判断各选项是否正确.4.4 根据已知代数式的求值方法,令12+12+12+…=m(m>0),两边平方得,12+12+12+12+…=m2,即12+m=m2,解得m=4.5.3n-2(n≥2) n(3n-1)2 因为a1=1,a2=5,a3=12,a4=22,…,所以a1=1,a2-a1=4,a3-a2=7,a4-a3=10,…,an-an-1=3n-2(n≥2),以上n个式子等号两边分别相加,得an=1+4+7+10+…+3n-2=n(3n-1)2.综上,an-an-1=3n-2(n≥2);对n∈N*,an=n(3n-1)2.D 依题意,由于甲看后还是不知道自己的成绩,说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好,则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好,因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩就可以知道自己的成绩,综合以上信息可知,乙、丁可以知道自己的成绩.
