专题检测（二十）导数的几何意义及简单应用A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足下列条件：①f′(x)>0时，x<－1或x>2；②f′(x)<0时，－1<x<2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是( )解析：选A 根据条件知，函数f(x)在(－1，2)上是减函数.在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，故选A.2.设函数f(x)＝xex＋1，则( )A.x＝1为f(x)的极大值点B.x＝1为f(x)的极小值点C.x＝－1为f(x)的极大值点D.x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D 由题意得，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1为f(x)的极小值点，故选D.3.已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为( )A.ln2 B.1C.1－ln2D.1＋ln2解析：选D 由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)·(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.4.若x＝是函数f(x)＝(x2－2ax)ex的极值点，则函数y＝f(x)的最小值为( )A.e－B.0C.eD.－e\n解析：选C f(x)＝(x2－2ax)ex，f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex，由已知得，f′＝0，所以2＋2－2a－2a＝0，解得a＝1.所以f(x)＝(x2－2x)ex，所以f′(x)＝(x2－2)ex，所以函数的极值点为－，，当x∈时，f′(x)＜0；所以函数y＝f(x)是减函数，当x∈或x∈时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)是增函数.又当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x2－2x＞0，f(x)＞0，当x∈(0，2)时，x2－2x＜0，f(x)＜0，所以f(x)min在x∈(0，2)上，又当x∈时，函数y＝f(x)递减，当x∈时，函数y＝f(x)递增，所以f(x)min＝f＝e.5.已知函数f(x)＝(2x＋lnx－a)ex在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是( )A.5－ln2B.5－2ln2C.2－ln2D.5＋2ln2解析：选A ∵f(x)＝(2x＋lnx－a)ex，∴f′(x)＝(2x＋lnx＋＋2－a)ex，x∈(0，＋∞).依题意，知x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，即a≤2x＋lnx＋＋2在(0，＋∞)上恒成立.设g(x)＝2x＋lnx＋＋2，则g′(x)＝2＋－＝＝，x∈(0，＋∞).令g′(x)＝0，得x＝或x＝－1(舍去).令g′(x)＜0，则0＜x＜，令g′(x)＞0，则x＞，∴当x＝时，函数g(x)取得最小值，g(x)min＝g＝5－ln2，∴a≤5－ln2，即实数a的最大值是5－ln2.故选A.6.已知函数f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)＝－4－x，设a＝f(log30.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(－31.1)，则( )A.c＞a＞bB.a＞b＞cC.c＞b＞aD.b＞a＞c解析：选A 因为函数f(x)为偶函数，所以a＝f(log30.2)＝f(－log30.2)，c＝f(－31.1)＝f(31.1).\n因为log3＜log30.2＜log3，所以－2＜log30.2＜－1，所以1＜－log30.2＜2，所以31.1＞3＞－log30.2＞1＞3－0.2.因为y＝在(0，＋∞)上为增函数，y＝－4－x在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(31.1)＞f(－log30.2)＞f(3－0.2)，所以c＞a＞b，故选A.二、填空题7.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.解析：设A(m，n)，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e).再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).答案：(e，1)8.若函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________.解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋，要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在(0，＋∞)上有解，即x＝－a，∴a<0.答案：(－∞，0)9.设定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x).如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x0)(b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”.那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2，2]上的“中值点”为________.解析：由f(x)＝x3－3x求导可得f′(x)＝3x2－3，设x0为函数f(x)在区间[－2，2]上的“中值点”，则f′(x0)＝＝1，即3x－3＝1，解得x0＝±.答案：±三、解答题10.已知函数f(x)＝x2＋ax－alnx.(1)若曲线y＝f(x)在x＝2处的切线与直线x＋3y－2＝0垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围.\n解：(1)f′(x)＝2x＋a－＝(x＞0)，依题意有f′(2)＝＝3，∴a＝－2.(2)依题意有2x2＋ax－a≥0在x∈[2，3]上恒成立，即a≥在[2，3]上恒成立，∵′＝≤0(x∈[2，3]),∴y＝在[2，3]上单调递减，∴当x∈[2，3]时，＝－8，∴实数a的取值范围为[－8，＋∞).11.(2019·重庆市七校联合考试)设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数).(1)证明：当x＞1时，f(x)＞0；(2)讨论g(x)的单调性.解：(1)证明：f(x)＝，令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1，当x＞1时，s′(x)＞0，所以s(x)在(1，＋∞)上单调递增，又s(1)＝0，所以s(x)＞0，从而当x＞1时，f(x)＞0.(2)g′(x)＝2ax－＝(x＞0)，当a≤0时，g′(x)＜0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，当a＞0时，由g′(x)＝0得x＝.当x∈时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈时，g′(x)＞0，g(x)单调递增.12.已知函数f(x)＝asinx＋bcosx(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y＝x－.(1)求a，b的值；(2)求函数g(x)＝在上的最小值.解：(1)由切线方程知，当x＝时，y＝0，所以f＝a＋b＝0.\n因为f′(x)＝acosx－bsinx.所以由切线方程知，f′＝a－b＝1，所以a＝，b＝－.(2)由(1)知，f(x)＝sinx－cosx＝sin，所以函数g(x)＝，g′(x)＝，设u(x)＝xcosx－sinx，则u′(x)＝－xsinx＜0，故u(x)在上单调递减，所以u(x)＜u(0)＝0，即g′(x)＜0在上恒成立，所以g(x)在上单调递减，所以函数g(x)在上的最小值为g＝.B组——大题专攻强化练1.设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.解：(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞).则g′(x)＝－2a＝.当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；当a＞0时，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减.所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)，当a＞0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f′(1)＝0.\n①当a≤0时，f′(x)单调递增，所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意.②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，x∈时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意.③当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不符合题意.④当a＞时，0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为a＞.2.已知函数f(x)＝－x2＋ax－lnx(a∈R).(1)若函数f(x)是单调递减函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在区间(0，3)上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.解：(1)f′(x)＝－2x＋a－＝(x＞0)，因为函数f(x)是单调递减函数，所以f′(x)≤0在(0，＋∞)恒成立，所以－2x2＋ax－1≤0在(0，＋∞)恒成立，即a≤2x＋对(0，＋∞)恒成立，因为2x＋≥2＝2，所以a≤2.(2)因为函数f(x)在(0，3)上既有极大值又有极小值，所以f′(x)＝＝0在(0，3)上有两个相异实根，\n即2x2－ax＋1＝0在(0，3)上有两个相异实根，令g(x)＝2x2－ax＋1，则得即2＜a＜.所以实数a的取值范围是.3.(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围.解：(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减.(2)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在[0，1]的最小值为f＝－＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.于是m＝－＋2，M＝所以M－m＝\n当0<a<2时，可知2－a＋单调递减，所以M－m的取值范围是.当2≤a<3时，单调递增，所以M－m的取值范围是.综上，M－m的取值范围是.4.已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x.(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围.解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋2＝.当a＝－4时，f′(x)＝.∴当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，即f(x)单调递增.∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln2.(2)∵f′(x)＝，∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a<0时，由f′(x)>0得，x>－，∴f(x)在上单调递增；由f′(x)<0得，x<－，∴f(x)在上单调递减.∴当a<0时，f(x)的最小值为f＝aln＋2.根据题意得f＝aln＋2≥－a，即a[ln(－a)－ln2]≥0.∵a<0，∴ln(－a)－ln2≤0，解得a≥－2，∴实数a的取值范围是[－2，0).
